Analiza datelor (matematică Ⅰ, programa japoneză)

Media este suma împărțită la numărul de valori: (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. Pentru date așezate la intervale egale, valoarea din mijloc coincide cu media. Nu trebuie uitată împărțirea la numărul de valori, 5.

Ordonate crescător, datele sunt 2, 3, 4, 7, 9. Fiind 5 valori, adică un număr impar, mediana este a treia, cea din mijloc, deci 4. Media este 25/5=5, ceea ce arată că mediana și media nu coincid în general. Ordonarea datelor nu trebuie omisă.

Ordonate crescător, datele sunt 2, 3, 5, 7, 8, 9. Fiind 6 valori, adică un număr par, mediana este media celor două valori din mijloc, a treia și a patra: (5+7)/2=6. A lua doar una dintre valorile din mijloc și a răspunde 5 sau 7 este greșit.

Valoarea modală este cea care apare cel mai des. Valoarea 9 apare de 3 ori, iar celelalte cel mult de 2 ori, deci valoarea modală este 9. Valoarea 8 este media, iar 8.5 este mediana: cei trei indicatori de tendință centrală sunt mărimi diferite.

Amplitudinea este valoarea maximă minus valoarea minimă: 10−2=8. Nu trebuie dat drept răspuns chiar maximul, 10, și nici confundată amplitudinea cu abaterea intercuartilică. Amplitudinea se modifică mult chiar și în prezența unei singure valori extreme.

Mediana este 4. Mediana jumătății inferioare 1, 2, 3 este Q1=2, iar mediana jumătății superioare 5, 6, 7 este Q3=6. Abaterea intercuartilică este Q3−Q1=6−2=4. Ea nu trebuie confundată cu amplitudinea, care aici este 7−1=6.

Fiind 8 valori, jumătatea inferioară este 1, 3, 4, 5, iar cea superioară 6, 8, 9, 10. Cuartila Q3 este mediana jumătății superioare, adică (8+9)/2=8.5. Valoarea 5.5 este mediana întregului set, Q2. Nu trebuie uitată media celor două valori din mijlocul jumătății superioare.

Marginea din stânga a cutiei este Q1, iar cea din dreapta este Q3, deci lungimea cutiei reprezintă Q3−Q1, adică abaterea intercuartilică. Amplitudinea se măsoară de la un capăt al mustăților la celălalt, ca diferență între valoarea maximă și cea minimă. Abaterea standard nu poate fi citită dintr-o astfel de diagramă.

Avem IQR=16−10=6, iar pragul este 16+1.5×6=16+9=25. Valoarea care îl depășește este 26, deci ea este valoarea extremă. Valorile 24 și 20 sunt sub pragul 25, deci nu sunt extreme. Nu trebuie uitată adunarea lui 1.5×IQR la Q3.

Suma este 98+102+101+99+100=500, iar 500/5=100. Se poate raționa și cu o medie de lucru: abaterile față de 100, adică −2, +2, +1, −1, 0, au media 0, deci media este tot 100.

Suma inițială este 10×5=50. După corectare suma devine 50−8+13=55, iar media 55/5=11. Se poate raționa și așa: creșterea de 5 împărțită la cele 5 valori înseamnă că media crește cu 1.

Media este 3. Abaterile sunt −2, −1, 0, 1, 2, deci dispersia este (4+1+0+1+4)/5=10/5=2. Nu trebuie uitată împărțirea sumei pătratelor abaterilor, 10, la numărul de valori. Valoarea √2 este abaterea standard.

Media este 5, iar dispersia este (9+1+1+9)/4=20/4=5. Abaterea standard este rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei, adică √5. Dispersia 5 nu trebuie dată drept abatere standard.

Media este 4, iar media pătratelor este (1+9+25+49)/4=84/4=21. Dispersia este 21−4²=21−16=5. Valorile 21 și 16 corespund opririi la media pătratelor, respectiv la pătratul mediei, adică uitării scăderii. Și formula de definiție dă tot 5.

Abaterea standard este rădăcina pătrată a dispersiei: √9=3. Valoarea 81 apare când dispersia este ridicată din nou la pătrat, iar √3 când rădăcina este extrasă de prea multe ori. Relația exactă este că abaterea standard este rădăcina pătrată pozitivă a dispersiei.

Pentru y=bx+a, abaterea standard se înmulțește cu |b|, deci 2×4=8. Termenul +3 doar translatează toate valorile și nu schimbă împrăștierea. Valoarea 11 apare când se adună și constanta, calculând 2×4+3, iar 16 din confuzia cu factorul b²=4, care este al dispersiei.

Pentru y=bx+a, dispersia se înmulțește cu b², deci 3²×2=18. Valoarea 6 apare când se înmulțește doar cu 3, care este factorul abaterii standard. Termenul −2 nu influențează dispersia. Trebuie făcută distincția: abaterea standard se înmulțește cu |b|, iar dispersia cu b².

Suma totală este 4×5+6×10=20+60=80 de puncte, iar media este 80/10=8 puncte. Greșeala tipică este să se ignore efectivele și să se calculeze (5+10)/2=7.5. Mediile trebuie ponderate cu efectivele, pornind de la sumă.

Abaterea standard se înmulțește cu |b|, deci |−2|×2=4. Fiind o măsură a împrăștierii, abaterea standard nu poate fi negativă, deci −4 este greșit: schimbarea semnului nu modifică lățimea împrăștierii. Valoarea 8 provine din confuzia cu factorul b²=4, care este al dispersiei.

Dacă tuturor li se adaugă aceeași valoare, media crește cu acea valoare, dar diferențele dintre fiecare valoare și medie, adică abaterile, rămân aceleași, deci dispersia și abaterea standard nu se schimbă. Imaginea potrivită este că forma împrăștierii doar se translatează.

Din dispersia = media pătratelor − pătratul mediei rezultă media pătratelor = 6+4²=22, deci suma pătratelor este 22×5=110. Valoarea 50 provine din calculul greșit (6+4)×5. Formula se folosește aici în sens invers: media pătratelor = dispersia + pătratul mediei.

O direcție ascendentă spre dreapta, adică tendința ca y să crească atunci când x crește, înseamnă corelație pozitivă; o direcție descendentă spre dreapta înseamnă corelație negativă. Trebuie reținut că din simpla formă a diagramei de dispersie nu se poate deduce o relație de cauzalitate.

Coeficientul de corelație este covarianța împărțită la produsul abaterilor standard și se încadrează întotdeauna în −1≦r≦1. Valorile extreme ±1 sunt efectiv atinse atunci când toate punctele se află pe o singură dreaptă, deci egalitatea este inclusă. Coeficientul poate lua și valori negative.

Fiind aproape de −1, coeficientul indică o corelație negativă puternică, deci punctele se strâng în jurul unei drepte descendente spre dreapta. Dacă dreapta ar fi ascendentă, r ar fi pozitiv. Coeficientul măsoară legătura liniară, deci o dispunere în formă de parabolă nu ar da o valoare precum −0.9.

Când toate punctele se află pe o dreaptă, coeficientul de corelație este ±1, iar pentru o dreaptă descendentă spre dreapta avem r=−1. Valoarea r=−1 înseamnă cea mai puternică corelație negativă posibilă; 0 corespunde absenței corelației, iar 1 unei drepte ascendente spre dreapta.

Avem r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Dacă se împarte la produsul dispersiilor, adică 2, în loc de produsul abaterilor standard, √2, se obține greșit 0.4. Covarianța 1.6 nu trebuie dată direct drept răspuns.

O corelație nu este o dovadă de cauzalitate. În acest exemplu este firesc să se considere că o a treia variabilă, temperatura, le face să crească pe amândouă. Puterea corelației, adică mărimea lui r, este o chestiune diferită de existența unei legături cauzale.

Este de așteptat ca vânzările de cafea fierbinte să scadă pe măsură ce temperatura crește, ceea ce corespunde unei direcții descendente spre dreapta, adică unei corelații negative. La înălțime și greutate, la timpul de studiu și punctaj, ca și la populație și numărul de magazine, se așteaptă o corelație pozitivă, în care creșterea uneia o însoțește pe a celeilalte.

Sub ipoteza că moneda este corectă, probabilitatea rezultatului observat, 1/256≒0.4%, este mai mică decât pragul de 5%. Este mai firesc să punem la îndoială ipoteza decât să admitem că s-a produs un eveniment foarte rar, deci ipoteza se respinge și se consideră că stema este favorizată. Termenul de comparație nu este 50%, ci pragul de 5%.

Probabilitatea de 6% este mai mare sau egală cu pragul de 5%, deci nu se poate spune că rezultatul este foarte rar, iar ipoteza nu poate fi respinsă. Faptul că ipoteza nu poate fi respinsă nu constituie însă o dovadă că este adevărată. A schimba pragul după ce se vede rezultatul este o atitudine greșită.