資料分析（數學Ⅰ，日本高中必修的第一門數學）

平均數＝總和÷個數＝(2+4+6+8+10)/5=30/5=6。等間隔排列的資料，正中間的值會等於平均數。別忘了要除以個數 5。

由小到大排列為 2, 3, 4, 7, 9。共 5 筆（奇數），所以取正中間的第 3 筆，中位數是 4。平均數為 25/5=5，中位數與平均數一般並不相同。別忘了要先排序。

由小到大排列為 2, 3, 5, 7, 8, 9。共 6 筆（偶數），所以取中間兩筆（第 3 與第 4）的平均，(5+7)/2=6。只取中間其中一筆而答 5 或 7 是錯的。

眾數是出現次數最多的值。9 出現 3 次，其餘都不超過 2 次，所以眾數是 9。8 是平均數、8.5 是中位數，這三個代表值是不同的東西。

全距＝最大值−最小值＝10−2=8。別直接把最大值 10 當成答案，也別和四分位距混淆。只要出現一個離群值，全距就會大幅改變。

中位數是 4。下半部 1, 2, 3 的中位數為 Q1=2，上半部 5, 6, 7 的中位數為 Q3=6。四分位距＝Q3−Q1=6−2=4。別和全距（7−1=6）混淆。

共 8 筆，下半部是 1, 3, 4, 5，上半部是 6, 8, 9, 10。Q3 是上半部的中位數，(8+9)/2=8.5。5.5 是整體的中位數 Q2。別忘了要取上半部中間兩筆的平均。

盒子的左端是 Q1、右端是 Q3，所以盒子的長度代表 Q3−Q1，也就是四分位距。全距是從一端的鬚到另一端的鬚（最大值−最小值）。標準差無法從盒狀圖讀出。

IQR=16−10=6，界線是 16+1.5×6=16+9=25。超過它的 26 就是離群值。24 與 20 都在界線 25 以下，不是離群值。別忘了要把 1.5×IQR 加在 Q3 上。

總和為 98+102+101+99+100=500，500/5=100。以 100 當假平均，各差為 −2, +2, +1, −1, 0，其平均是 0，也可看出平均數是 100。100.5 是漏掉 98 這一筆、只用其餘 4 筆求平均的值。

原本的總和是 10×5=50。改正之後總和變成 50−8+13=55，平均為 55/5=11。也可以想成：多出來的 5 除以筆數 5，平均增加 1。

平均數是 3，各離差為 −2, −1, 0, 1, 2，變異數＝(4+1+0+1+4)/5=10/5=2。別忘了要把離差平方和 10 除以筆數。√2 是標準差。

平均數是 5，變異數＝(9+1+1+9)/4=20/4=5。標準差是它的正平方根，即 √5。別把變異數 5 直接當成標準差。

平均數是 4，平方的平均是 (1+9+25+49)/4=84/4=21。變異數＝21−4²=21−16=5。21 是停在平方的平均、16 是停在平均的平方，都是忘了相減的錯誤。用定義式算也是 5。

標準差＝√(變異數)＝√9=3。81 是又把變異數平方了；√3 則是多開了一次根號。要記牢：變異數的正平方根就是標準差。

y=bx+a 時標準差變為 |b| 倍，所以是 2×4=8。+3 只是把整體平移，不改變分散程度。11 是連常數也加上去、算成 2×4+3 的錯誤；16 則是與變異數的倍率 b²=4 混淆。

y=bx+a 時變異數變為 b² 倍，所以是 3²×2=18。6 是只乘了 3 倍的錯誤（那是標準差的倍率）。−2 不影響變異數。標準差是 |b| 倍、變異數是 b² 倍，兩者要分清楚。

整體總分為 4×5+6×10=20+60=80 分，平均為 80/10=8 分。忽略人數而算成 (5+10)/2=7.5 是典型錯誤。要依人數加權，從總分求平均。

標準差變為 |b| 倍，所以是 |−2|×2=4。標準差代表分散的大小，不會是負的，所以 −4 是錯的；把符號變號並不改變分散的幅度。8 則是與 b²=4 倍（變異數的倍率）混淆。

每個人都加上同一個值時，平均數會增加同樣的量，但每個值與平均數的差（離差）沒有改變，所以變異數與標準差維持原樣。可以想成分散的形狀只是整體平移而已。

由變異數＝(平方的平均)−(平均的平方)，得平方的平均＝6+4²=22，所以平方的總和是 22×5=110。50 是算成 (6+4)×5 的錯誤。把公式反過來用成「平方的平均＝變異數＋平均的平方」即可。

往右上升（x 增加時 y 也有增加的傾向）是正相關，往右下降則是負相關。要注意：只憑散布圖的形狀，並不能判斷有沒有因果關係。

相關係數是共變異數除以兩個標準差之積，必定落在 −1≦r≦1 之內。端點 ±1 在所有點恰好排成一直線時真的會取到，所以含等號。它也可以是負值。

r 接近 −1，表示強烈的負相關，也就是點會聚集在一條往右下降的直線附近。若是往右上升，r 會是正的。r 衡量的是直線關係，所以排成拋物線狀時不會出現 −0.9 這樣的值。

所有點排成一直線時相關係數是 ±1，往右下降則 r=−1。r=−1 表示強度已達極限的負相關；0 是沒有相關的情形，1 則是排在往右上升的直線上的情形。

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8。若不是除以標準差（√2）而是除以變異數（2）的乘積，就會得到 0.4 這個錯誤答案。也別把共變異數 1.6 直接當成答案。

相關關係不能當作因果關係的證據。在這個例子中，較自然的想法是氣溫這第三個變數同時使兩者上升。相關的強弱（r 的大小）與有沒有因果，是兩回事。

氣溫愈高，熱咖啡的銷售額通常愈少，屬於往右下降，也就是負相關。身高與體重、讀書時間與分數、人口與店家數量，都是一方增加另一方也增加的正相關。

在公正這個前提之下，觀察到的結果其機率 1/256≒0.4% 小於標準 5%。與其認為極罕見的事情真的發生了，不如懷疑前提本身，所以要棄卻該假設，判斷這枚硬幣容易出現正面。比較的對象不是 50%，而是標準的 5%。

機率 6% 在標準 5% 以上，還談不上極罕見，所以無法棄卻該假設。不過無法棄卻並不等於證明了假設正確。看到結果之後才更動標準，是不正確的態度。