Lycée · Maths au lycée : labo des contrôles
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Quelle est la moyenne de la série 2, 4, 6, 8, 10 ?
La moyenne est la somme divisée par l'effectif : (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. Pour des données régulièrement espacées, la valeur centrale coïncide avec la moyenne. Il ne faut pas oublier de diviser par l'effectif 5.
Quelle est la médiane de la série 2, 9, 4, 7, 3 ?
Rangées dans l'ordre croissant : 2, 3, 4, 7, 9. L'effectif 5 étant impair, la médiane est la troisième valeur, soit 4. La moyenne vaut 25/5=5 : médiane et moyenne ne coïncident pas en général. Il ne faut pas oublier de ranger les valeurs.
Quelle est la médiane de la série 2, 5, 3, 8, 9, 7 ?
Rangées dans l'ordre croissant : 2, 3, 5, 7, 8, 9. L'effectif 6 étant pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, la troisième et la quatrième : (5+7)/2=6. Ne retenir qu'une seule des deux valeurs centrales et répondre 5 ou 7 est une erreur.
Quel est le mode de la série 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 ?
Le mode est la valeur la plus fréquente. La valeur 9 apparaît 3 fois, les autres au plus 2 fois : le mode est 9. La valeur 8 est la moyenne et 8.5 la médiane : ces trois indicateurs de position sont distincts.
Quelle est l'étendue de la série 3, 8, 2, 10, 7 ?
L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : 10−2=8. Il ne faut ni répondre simplement le maximum 10, ni confondre avec l'écart interquartile. L'étendue est fortement modifiée par une seule valeur aberrante.
Quel est l'écart interquartile de la série 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ?
La médiane vaut 4. La médiane de la moitié inférieure 1, 2, 3 donne Q1=2 et celle de la moitié supérieure 5, 6, 7 donne Q3=6. L'écart interquartile vaut Q3−Q1=6−2=4. Il ne faut pas le confondre avec l'étendue, qui vaut 7−1=6.
Quel est le troisième quartile Q3 de la série 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, rangée dans l'ordre croissant et comptant 8 valeurs ?
L'effectif étant 8, la moitié inférieure est 1, 3, 4, 5 et la moitié supérieure 6, 8, 9, 10. Q3 est la médiane de la moitié supérieure : (8+9)/2=8.5. La valeur 5.5 est la médiane Q2 de l'ensemble. Il ne faut pas oublier de faire la moyenne des deux valeurs centrales de la moitié supérieure.
Que représente la longueur de la boîte dans un diagramme en boîte ?
Le bord gauche de la boîte est Q1 et le bord droit Q3, donc la longueur de la boîte représente Q3−Q1, c'est-à-dire l'écart interquartile. L'étendue va d'une extrémité de moustache à l'autre, soit maximum moins minimum. L'écart type ne se lit pas sur un diagramme en boîte.
Pour une série, le premier quartile vaut 10 et le troisième quartile 16. Avec le critère « est aberrante toute valeur supérieure à Q3+1.5×IQR », quelle valeur est aberrante ?
IQR=16−10=6, donc le seuil vaut 16+1.5×6=16+9=25. La valeur 26, qui le dépasse, est aberrante. Les valeurs 24 et 20 sont inférieures ou égales au seuil 25 et ne le sont pas. Il ne faut pas oublier d'ajouter 1.5×IQR à Q3.
Quelle est la moyenne de la série 98, 102, 101, 99, 100 ?
La somme vaut 98+102+101+99+100=500, et 500/5=100. On peut aussi partir d'une moyenne provisoire 100 : les écarts −2, +2, +1, −1, 0 ont une moyenne nulle, ce qui confirme la moyenne 100.
La moyenne de 5 données valait 10, mais l'une d'elles, égale à 8, était erronée : sa vraie valeur est 13. Quelle est la moyenne correcte ?
La somme initiale vaut 10×5=50. Après correction, elle devient 50−8+13=55, et la moyenne 55/5=11. On peut aussi raisonner ainsi : la somme augmente de 5, donc la moyenne augmente de 1 puisque l'effectif est 5.
Quelle est la variance de la série 1, 2, 3, 4, 5 ?
La moyenne vaut 3. Les écarts sont −2, −1, 0, 1, 2 et la variance vaut (4+1+0+1+4)/5=10/5=2. Il ne faut pas oublier de diviser par l'effectif la somme des carrés des écarts, égale à 10. La valeur √2 est l'écart type.
Quel est l'écart type de la série 2, 4, 6, 8 ?
La moyenne vaut 5 et la variance (9+1+1+9)/4=20/4=5. L'écart type en est la racine carrée positive, √5. Il ne faut pas donner la variance 5 comme écart type.
Pour la série 1, 3, 5, 7, quelle est la variance obtenue avec la formule « variance = moyenne des carrés moins carré de la moyenne » ?
La moyenne vaut 4 et la moyenne des carrés (1+9+25+49)/4=84/4=21. La variance vaut donc 21−4²=21−16=5. La réponse 21 est la moyenne des carrés et 16 le carré de la moyenne : dans les deux cas la soustraction a été oubliée. La définition donne également 5.
Si la variance d'une série vaut 9, quel est son écart type ?
L'écart type est la racine carrée de la variance : √9=3. La réponse 81 vient d'avoir élevé la variance au carré, et √3 d'avoir pris une racine carrée de trop. Il faut retenir précisément que l'écart type est la racine carrée positive de la variance.
Si l'écart type de la variable x vaut 4, quel est l'écart type de la variable y définie par y=2x+3 ?
Pour y=bx+a, l'écart type est multiplié par |b|, donc 2×4=8. L'ajout de 3 ne fait que translater l'ensemble et ne modifie pas la dispersion. La réponse 11 vient d'avoir ajouté la constante, 2×4+3, et 16 d'une confusion avec le coefficient b²=4 qui s'applique à la variance.
Si la variance de la variable x vaut 2, quelle est la variance de la variable y définie par y=3x−2 ?
Pour y=bx+a, la variance est multipliée par b², donc 3²×2=18. La réponse 6 vient d'avoir multiplié seulement par 3, ce qui est le coefficient de l'écart type. Le terme −2 n'a aucun effet sur la variance. Il faut distinguer : l'écart type est multiplié par |b| et la variance par b².
La moyenne des 4 élèves du groupe A vaut 5 points et celle des 6 élèves du groupe B vaut 10 points. Quelle est la moyenne des 10 élèves réunis ?
La somme totale vaut 4×5+6×10=20+60=80 points, donc la moyenne vaut 80/10=8 points. L'erreur typique consiste à ignorer les effectifs et à calculer (5+10)/2=7.5. Il faut pondérer par les effectifs et repartir de la somme.
Si l'écart type de la variable x vaut 2, quel est l'écart type de la variable y définie par y=−2x+1 ?
L'écart type est multiplié par |b|, donc |−2|×2=4. Un écart type mesure une dispersion et ne peut pas être négatif : la réponse −4 est donc fausse. Changer le signe ne modifie pas l'amplitude de la dispersion. La réponse 8 vient d'une confusion avec le coefficient b²=4 propre à la variance.
Si l'on ajoute 5 points à toutes les notes d'un contrôle, que deviennent la moyenne et la variance ?
Ajouter la même valeur à toutes les données augmente la moyenne d'autant, mais les écarts à la moyenne restent identiques, donc la variance et l'écart type ne changent pas. On peut se représenter la distribution comme simplement translatée.
Pour 5 données de moyenne 4 et de variance 6, quelle est la somme des carrés x₁²+x₂²+…+x₅² ?
De « variance = moyenne des carrés moins carré de la moyenne », on tire moyenne des carrés = 6+4²=22, donc la somme des carrés vaut 22×5=110. La réponse 50 vient du calcul erroné (6+4)×5. On utilise ici la formule en sens inverse : moyenne des carrés = variance + carré de la moyenne.
Lorsque, sur un nuage de points, l'alignement d'ensemble est ascendant vers la droite, que peut-on dire des deux variables ?
Un nuage ascendant vers la droite, c'est-à-dire où y tend à croître avec x, traduit une corrélation positive ; un nuage descendant traduit une corrélation négative. Attention : la forme du nuage seule ne permet pas de conclure à un lien de cause à effet.
Dans quel intervalle le coefficient de corrélation r se situe-t-il nécessairement ?
Le coefficient de corrélation est la covariance divisée par le produit des écarts types, et il appartient toujours à −1≦r≦1. Les valeurs extrêmes ±1 sont effectivement atteintes lorsque tous les points sont alignés, d'où les inégalités larges. Le coefficient peut aussi être négatif.
Le coefficient de corrélation de deux variables vaut −0.9. Quelle description du nuage de points convient le mieux ?
Comme r est proche de −1, la corrélation négative est forte : les points se rassemblent près d'une droite descendante vers la droite. Un nuage ascendant donnerait un r positif. Le coefficient mesurant une liaison linéaire, une disposition parabolique ne donnerait pas une valeur comme −0.9.
Tous les points d'un nuage sont alignés sur une même droite descendante vers la droite. Que vaut le coefficient de corrélation ?
Lorsque tous les points sont alignés, le coefficient de corrélation vaut ±1 ; la droite étant descendante, r=−1. La valeur r=−1 traduit la corrélation négative la plus forte possible ; 0 correspond à l'absence de corrélation et 1 à des points alignés sur une droite ascendante.
Pour 5 couples de données x : 1, 2, 3, 4, 5 et y : 3, 5, 4, 7, 6, la variance de x vaut 2, celle de y vaut 2 et la covariance vaut 1.6. Que vaut le coefficient de corrélation ?
r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Diviser par le produit des variances, égal à 2, au lieu du produit des écarts types √2 conduit à la réponse erronée 0.4. Il ne faut pas non plus donner directement la covariance 1.6.
On observe une forte corrélation positive entre les ventes de glaces et le nombre de personnes transportées à l'hôpital pour coup de chaleur. Quelle interprétation convient le mieux ?
Une corrélation ne constitue pas une preuve de causalité. Dans cet exemple, il est naturel de penser qu'une troisième variable, la température, fait augmenter les deux grandeurs. La force de la corrélation, c'est-à-dire la valeur de r, est une question distincte de l'existence d'un lien causal.
Quel couple de variables présente le plus vraisemblablement une corrélation négative ?
Plus la température monte, plus les ventes de café chaud tendent à baisser : cela correspond à un nuage descendant, donc à une corrélation négative. La taille et le poids, le temps de travail et la note, la population et le nombre de commerces sont au contraire des couples où les deux grandeurs augmentent ensemble, donc en corrélation positive.
On lance une pièce 8 fois et l'on obtient 8 fois pile. Sous l'hypothèse « la pièce est équilibrée », c'est-à-dire que pile a la probabilité 1/2, la probabilité d'obtenir 8 fois pile de suite vaut (1/2)⁸=1/256, soit environ 0.4%. Avec un seuil de 5%, quelle conclusion donne la démarche du test d'hypothèse ?
Sous l'hypothèse d'une pièce équilibrée, la probabilité du résultat observé, 1/256≒0.4%, est inférieure au seuil de 5%. Plutôt que d'admettre qu'un événement très rare s'est produit, il est plus naturel de mettre en doute l'hypothèse : on la rejette et l'on conclut que la pièce favorise pile. La comparaison se fait avec le seuil de 5%, et non avec 50%.
Lors d'un test d'hypothèse, la probabilité du résultat observé sous l'hypothèse est calculée à 6%. Avec un seuil de 5%, quelle conclusion convient le mieux ?
La probabilité 6% étant supérieure ou égale au seuil de 5%, on ne peut pas dire que le résultat soit très improbable : l'hypothèse ne peut pas être rejetée. Mais ne pas pouvoir rejeter une hypothèse ne prouve pas qu'elle est vraie. Modifier le seuil après avoir vu le résultat est une démarche fautive.
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