Karinoya 학습실

고등학교 · 고교 수학 정기고사 랩

자료의 분석 (수학Ⅰ: 일본 고교 수학 I)

문제와 해설을 한국어(으)로 읽을 수 있습니다. 강의(해설 기사)는 일본어판에만 있습니다.

일본어판(강의 포함) 보기 →

문제 1 | 평균

자료 2, 4, 6, 8, 10 의 평균은 어느 것인가.

  1. 6
  2. 7
  3. 8
  4. 5
정답A. 6

평균=합계÷개수=(2+4+6+8+10)/5=30/5=6 이다. 일정한 간격으로 늘어선 자료에서는 한가운데 값이 평균과 일치한다. 개수 5 로 나누는 것을 잊지 않도록 한다.

문제 2 | 중앙값(홀수 개)

자료 2, 9, 4, 7, 3 의 중앙값은 어느 것인가.

  1. 5
  2. 3
  3. 4
  4. 7
정답C. 4

작은 순으로 늘어놓으면 2, 3, 4, 7, 9 이다. 5개(홀수)이므로 한가운데인 3번째 값, 즉 중앙값은 4 이다. 평균은 25/5=5 이며, 중앙값과 평균은 일반적으로 일치하지 않는다. 늘어놓는 것을 잊지 않도록 한다.

문제 3 | 중앙값(짝수 개)

자료 2, 5, 3, 8, 9, 7 의 중앙값은 어느 것인가.

  1. 7
  2. 5
  3. 5.5
  4. 6
정답D. 6

작은 순으로 늘어놓으면 2, 3, 5, 7, 8, 9 이다. 6개(짝수)이므로 한가운데 2개(3번째와 4번째)의 평균인 (5+7)/2=6 이다. 한가운데의 한쪽만 취해 5 나 7 이라고 답하는 것은 잘못이다.

문제 4 | 최빈값

자료 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10 의 최빈값은 어느 것인가.

  1. 8
  2. 9
  3. 8.5
  4. 7
정답B. 9

최빈값은 가장 많이 나타나는 값이다. 9 는 3번 나타나고 나머지는 모두 2번 이하이므로 최빈값은 9 이다. 8 은 평균, 8.5 는 중앙값이며, 세 대푯값은 서로 다른 것이다.

문제 5 | 범위

자료 3, 8, 2, 10, 7 의 범위는 어느 것인가.

  1. 7
  2. 10
  3. 5
  4. 8
정답D. 8

범위=최댓값−최솟값=10−2=8 이다. 최댓값 10 을 그대로 답하거나 사분위범위와 혼동하지 않도록 한다. 범위는 이상값이 하나만 있어도 크게 달라진다.

문제 6 | 사분위범위

자료 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 의 사분위범위는 어느 것인가.

  1. 6
  2. 2
  3. 3
  4. 4
정답D. 4

중앙값은 4 이다. 아래 절반 1, 2, 3 의 중앙값 Q1=2, 위 절반 5, 6, 7 의 중앙값 Q3=6 이다. 사분위범위=Q3−Q1=6−2=4 이다. 범위(7−1=6)와 혼동하지 않도록 한다.

문제 7 | 제3사분위수

자료 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10(작은 순, 8개)의 제3사분위수 Q3 은 어느 것인가.

  1. 5.5
  2. 9
  3. 8
  4. 8.5
정답D. 8.5

8개이므로 아래 절반은 1, 3, 4, 5, 위 절반은 6, 8, 9, 10 이다. Q3 은 위 절반의 중앙값이므로 (8+9)/2=8.5 이다. 5.5 는 전체의 중앙값 Q2 이다. 위 절반의 가운데 2 개의 평균을 취하는 것을 잊지 않는다.

문제 8 | 상자그림

상자그림에서 '상자의 길이'가 나타내는 것은 어느 것인가.

  1. 표준편차
  2. 평균으로부터의 편차
  3. 범위
  4. 사분위범위
정답D. 사분위범위

상자의 왼쪽 끝이 Q1, 오른쪽 끝이 Q3 이므로 상자의 길이는 Q3−Q1, 즉 사분위범위를 나타낸다. 범위는 수염 끝에서 수염 끝까지(최댓값−최솟값)이다. 상자그림에서 표준편차는 읽어 낼 수 없다.

문제 9 | 이상값

어떤 자료의 제1사분위수가 10, 제3사분위수가 16 이다. 'Q3+1.5×IQR 을 넘는 값을 이상값으로 한다'는 기준에서 이상값에 해당하는 것은 어느 것인가.

  1. 24
  2. 20
  3. 12
  4. 26
정답D. 26

IQR=16−10=6 이다. 경계는 16+1.5×6=16+9=25 이다. 이를 넘는 26 이 이상값이다. 24 나 20 은 경계 25 이하이므로 이상값이 아니다. 1.5×IQR 을 Q3 에 더하는 것을 잊지 않는다.

문제 10 | 평균의 계산

자료 98, 102, 101, 99, 100 의 평균은 어느 것인가.

  1. 100.5
  2. 100
  3. 99
  4. 101
정답B. 100

합계는 98+102+101+99+100=500 이고 500/5=100 이다. 가평균 100 과의 차 −2, +2, +1, −1, 0 의 평균이 0 이라는 점으로도 평균이 100 임을 알 수 있다.

문제 11 | 수정 후의 평균

5개 자료의 평균이 10 이었으나, 그중 1 개의 값 8 은 잘못된 것이고 올바른 값은 13 이었다. 올바른 평균은 어느 것인가.

  1. 11.5
  2. 12
  3. 10.5
  4. 11
정답D. 11

원래 합계는 10×5=50 이다. 잘못된 값을 고치면 합계는 50−8+13=55 가 되고 평균은 55/5=11 이다. 늘어난 5 를 개수 5 로 나누어 '평균은 1 늘어난다'고 생각해도 좋다.

문제 12 | 분산의 정의

자료 1, 2, 3, 4, 5 의 분산은 어느 것인가.

  1. 10
  2. 2
  3. 4
  4. √2
정답B. 2

평균은 3 이다. 편차는 −2, −1, 0, 1, 2 이고 분산=(4+1+0+1+4)/5=10/5=2 이다. 편차의 제곱의 합 10 을 개수로 나누는 것을 잊지 않는다. √2 는 표준편차이다.

문제 13 | 표준편차

자료 2, 4, 6, 8 의 표준편차는 어느 것인가.

  1. 5
  2. √5
  3. √10
  4. 25
정답B. √5

평균은 5 이다. 분산=(9+1+1+9)/4=20/4=5 이다. 표준편차는 그 양의 제곱근이므로 √5 이다. 분산 5 를 그대로 표준편차라고 답하지 않도록 한다.

문제 14 | 계산 공식

자료 1, 3, 5, 7 에 대하여 '분산=(제곱의 평균)−(평균의 제곱)'을 써서 분산을 구하면 어느 것인가.

  1. √5
  2. 16
  3. 5
  4. 21
정답C. 5

평균은 4 이고 제곱의 평균은 (1+9+25+49)/4=84/4=21 이다. 분산=21−4²=21−16=5 이다. 21 은 제곱의 평균 그대로, 16 은 평균의 제곱 그대로 두어 빼기를 잊은 오답이다. 정의식으로도 5 가 된다.

문제 15 | 분산에서 표준편차로

어떤 자료의 분산이 9 일 때, 표준편차는 어느 것인가.

  1. 9
  2. 81
  3. √3
  4. 3
정답D. 3

표준편차=√(분산)=√9=3 이다. 81 은 분산을 한 번 더 제곱한 오답이고, √3 은 제곱근을 한 번 더 취한 오답이다. '분산의 양의 제곱근이 표준편차'라는 관계를 정확히 익힌다.

문제 16 | 변환과 표준편차

변량 x 의 표준편차가 4 일 때, y=2x+3 으로 정해지는 변량 y 의 표준편차는 어느 것인가.

  1. 8
  2. 16
  3. 11
  4. 4
정답A. 8

y=bx+a 일 때 표준편차는 |b| 배가 되므로 2×4=8 이다. +3 은 전체를 평행이동할 뿐 흩어진 정도를 바꾸지 않는다. 11 은 2×4+3 처럼 상수까지 더한 오답이고, 16 은 분산의 배율 b²=4 와 혼동한 오답이다.

문제 17 | 변환과 분산

변량 x 의 분산이 2 일 때, y=3x−2 로 정해지는 변량 y 의 분산은 어느 것인가.

  1. 18
  2. 2 그대로
  3. 6
  4. 4
정답A. 18

y=bx+a 일 때 분산은 b² 배가 되므로 3²×2=18 이다. 6 은 3 배만 한 오답이다(그것은 표준편차의 배율이다). −2 는 분산에 영향을 주지 않는다. 표준편차는 |b| 배, 분산은 b² 배로 구별한다.

문제 18 | 합친 평균

A 반 4 명의 평균 점수는 5 점, B 반 6 명의 평균 점수는 10 점이다. 10 명 전체의 평균 점수는 어느 것인가.

  1. 7.5
  2. 8.5
  3. 7
  4. 8
정답D. 8

전체 합계는 4×5+6×10=20+60=80 점이다. 평균은 80/10=8 점이다. 인원수를 무시하고 (5+10)/2=7.5 로 하는 것이 전형적인 오답이다. 인원수의 가중치를 붙여 합계에서 구한다.

문제 19 | 음수 계수

변량 x 의 표준편차가 2 일 때, y=−2x+1 로 정해지는 변량 y 의 표준편차는 어느 것인가.

  1. 4
  2. −4
  3. 8
  4. 2
정답A. 4

표준편차는 |b| 배이므로 |−2|×2=4 이다. 표준편차는 흩어진 정도의 크기이므로 음수가 될 수 없고 −4 는 잘못이다. 부호를 바꾸어도 흩어진 폭은 같다. 8 은 b²=4 배(분산의 배율)와 혼동한 것이다.

문제 20 | 일률적으로 점수 더하기

시험 점수 전원에게 일률적으로 5 점을 더했을 때, 평균과 분산은 각각 어떻게 되는가.

  1. 평균은 변하지 않고 분산이 5 늘어난다
  2. 평균도 분산도 5 늘어난다
  3. 평균은 5 늘어나고 분산은 변하지 않는다
  4. 평균도 분산도 변하지 않는다
정답C. 평균은 5 늘어나고 분산은 변하지 않는다

전원에게 같은 값을 더하면 평균은 그만큼 늘어나지만, 각 값과 평균의 차(편차)는 변하지 않으므로 분산과 표준편차는 그대로이다. 흩어진 모양이 평행이동할 뿐이라고 생각하면 좋다.

문제 21 | 제곱의 합

5개 자료의 평균이 4, 분산이 6 일 때, 자료의 제곱의 합 x₁²+x₂²+…+x₅² 은 어느 것인가.

  1. 30
  2. 50
  3. 80
  4. 110
정답D. 110

분산=(제곱의 평균)−(평균의 제곱) 이므로 제곱의 평균=6+4²=22 이다. 따라서 제곱의 합은 22×5=110 이다. 50 은 (6+4)×5 로 한 오답이다. 공식을 '제곱의 평균=분산+평균의 제곱'으로 거꾸로 쓴다.

문제 22 | 양의 상관

산점도에서 점들의 배열이 전체적으로 오른쪽 위로 올라갈 때, 두 변량 사이에 있다고 할 수 있는 것은 어느 것인가.

  1. 인과관계
  2. 상관이 없다
  3. 음의 상관
  4. 양의 상관
정답D. 양의 상관

오른쪽 위로 올라가는 모양(x 가 늘면 y 도 느는 경향)은 양의 상관, 오른쪽 아래로 내려가는 모양은 음의 상관이다. 산점도의 모양만으로는 인과관계까지 알 수 없다는 점에 주의한다.

문제 23 | r 의 범위

상관계수 r 이 반드시 취하는 값의 범위는 어느 것인가.

  1. −1 < r < 1
  2. −1 ≦ r ≦ 1
  3. r ≧ 0
  4. 0 ≦ r ≦ 1
정답B. −1 ≦ r ≦ 1

상관계수는 공분산을 표준편차의 곱으로 나눈 값이며 반드시 −1≦r≦1 안에 들어간다. 끝값 ±1 도 모든 점이 한 직선 위에 놓일 때 실제로 취할 수 있으므로 등호를 포함한다. 음수 값도 취한다.

문제 24 | r=−0.9

두 변량의 상관계수가 −0.9 였다. 산점도의 모습으로 가장 적절한 것은 어느 것인가.

  1. 오른쪽 아래로 내려가는 직선 주변에 몰려 있다
  2. 전체에 고르게 흩어져 있다
  3. 오른쪽 위로 올라가는 직선 주변에 몰려 있다
  4. 곡선 y=x² 과 같은 모양으로 늘어서 있다
정답A. 오른쪽 아래로 내려가는 직선 주변에 몰려 있다

r 이 −1 에 가까우므로 강한 음의 상관, 즉 점들은 오른쪽 아래로 내려가는 직선 근처에 모인다. 오른쪽 위로 올라가면 r 은 양수이다. r 은 직선적인 관계의 지표이므로 포물선 모양의 배열에서는 −0.9 같은 값이 나오지 않는다.

문제 25 | 직선 위의 점

산점도의 모든 점이 오른쪽 아래로 내려가는 하나의 직선 위에 놓여 있다. 이때의 상관계수는 어느 것인가.

  1. 0
  2. 1
  3. −1
  4. −0.5
정답C. −1

모든 점이 한 직선 위에 놓일 때 상관계수는 ±1 이고, 오른쪽 아래로 내려가면 r=−1 이다. r=−1 은 더 이상 없이 강한 음의 상관이며, 0 은 상관이 없는 경우, 1 은 오른쪽 위로 올라가는 직선 위인 경우이다.

문제 26 | r 의 계산

5 쌍의 자료 x: 1, 2, 3, 4, 5 와 y: 3, 5, 4, 7, 6 에 대하여 x 의 분산은 2, y 의 분산은 2, 공분산은 1.6 이다. 상관계수는 어느 것인가.

  1. 1.6
  2. 0.4
  3. −0.8
  4. 0.8
정답D. 0.8

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8 이다. 표준편차(√2)가 아니라 분산(2)끼리의 곱으로 나누면 0.4 라는 오답이 된다. 공분산 1.6 을 그대로 답하지 않도록 한다.

문제 27 | 상관과 인과

'아이스크림 매출'과 '온열질환 이송자 수'에 강한 양의 상관이 보였다. 이에 대한 해석으로 가장 적절한 것은 어느 것인가.

  1. 이송자 수를 줄이려면 아이스크림 판매를 규제하면 된다
  2. 상관이 강하므로 한쪽이 다른 쪽의 원인이라고 할 수 있다
  3. 아이스크림이 온열질환의 원인이다
  4. 기온이라는 공통 요인이 양쪽에 영향을 주고 있을 가능성이 있다
정답D. 기온이라는 공통 요인이 양쪽에 영향을 주고 있을 가능성이 있다

상관관계는 인과관계의 증거가 되지 않는다. 이 예에서는 '기온'이라는 제3의 변량이 양쪽을 늘리고 있다고 보는 것이 자연스럽다. 상관의 강함(r 의 크기)은 인과의 유무와는 별개의 이야기이다.

문제 28 | 음의 상관의 예

두 변량 사이에 음의 상관이 있다고 생각되는 조합으로 가장 적절한 것은 어느 것인가.

  1. 도시의 인구와 점포 수
  2. 기온과 뜨거운 커피의 매출
  3. 키와 몸무게
  4. 학습 시간과 시험 점수
정답B. 기온과 뜨거운 커피의 매출

기온이 오를수록 뜨거운 커피의 매출은 줄어드는 경향이 예상되며, 이는 오른쪽 아래로 내려가는 모양, 즉 음의 상관에 해당한다. 키와 몸무게, 학습 시간과 점수, 인구와 점포 수는 모두 한쪽이 늘면 다른 쪽도 느는 양의 상관이 예상된다.

문제 29 | 가설검정

동전을 8 회 던졌더니 8 회 모두 앞면이 나왔다. '동전은 공정하다(앞면이 나올 확률 1/2)'는 가설을 세우면, 8 회 연속 앞면이 나올 확률은 (1/2)⁸=1/256(약 0.4%)이다. 기준을 5% 로 할 때, 가설검정의 사고방식에 따른 판단은 어느 것인가.

  1. 가설을 채택하고 동전은 공정하다고 판단한다
  2. 확률이 50% 를 밑돌았으므로 공정하지 않다고 판단한다
  3. 확률이 0 이 아닌 이상 동전은 공정하다고 판단한다
  4. 가설을 기각하고 앞면이 잘 나오는 동전이라고 판단한다
정답D. 가설을 기각하고 앞면이 잘 나오는 동전이라고 판단한다

공정하다는 가정 아래에서 관찰된 결과의 확률 1/256≒0.4% 는 기준 5% 보다 작다. 좀처럼 일어나지 않는 일이 일어났다고 보기보다 가정을 의심하는 편이 자연스러우므로, 가설을 기각하고 앞면이 잘 나온다고 판단한다. 비교 대상은 50% 가 아니라 기준인 5% 이다.

문제 30 | 기각할 수 없는 경우

가설검정에서 가설 아래 관찰 결과가 일어날 확률이 6% 로 계산되었다. 기준을 5% 로 할 때의 판단으로 가장 적절한 것은 어느 것인가.

  1. 가설이 옳다고 증명되었다
  2. 가설을 기각한다
  3. 가설을 기각할 수 없으며 판단을 보류한다
  4. 확률이 기준에 가까우므로 기준 쪽을 10% 로 바꾼다
정답C. 가설을 기각할 수 없으며 판단을 보류한다

확률 6% 는 기준 5% 이상이므로 '좀처럼 일어나지 않는다'고까지는 할 수 없어 가설을 기각할 수 없다. 다만 기각할 수 없다는 것이 가설이 옳다는 증명은 되지 않는다. 결과를 본 뒤에 기준을 움직이는 것은 잘못된 태도이다.

연습: 이 페이지의 문제 풀기

무작위로 출제하는 연습 도구입니다(JavaScript가 활성화된 경우에 작동합니다). 위의 문제와 해설은 그대로 모두 읽을 수 있습니다.

※ 고등학교 학습 내용 확인용입니다. 교과서나 학교 지도와 표기·다루는 방식이 다른 경우에는 교과서와 선생님의 설명을 우선하십시오.

이 페이지는 일본어 원문을 번역한 것입니다. 번역과 원문의 내용이 다를 경우 일본어판이 우선합니다. 일본어 원문 보기