Análise de dados (Matemática I)

A média é o total dividido pela quantidade: (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. Para dados igualmente espaçados, o valor do meio coincide com a média. Não se esqueça de dividir pela quantidade, 5.

Em ordem crescente, os dados são 2, 3, 4, 7, 9. Com 5 valores, um número ímpar, a mediana é o terceiro, ou seja, 4. A média é 25/5=5 e, em geral, a mediana e a média não coincidem. Não se esqueça de ordenar primeiro.

Em ordem crescente, os dados são 2, 3, 5, 7, 8, 9. Com 6 valores, um número par, a mediana é a média dos dois do meio, o terceiro e o quarto: (5+7)/2=6. Pegar só um dos valores do meio e responder 5 ou 7 está errado.

A moda é o valor que aparece com mais frequência. O valor 9 aparece 3 vezes e todos os outros no máximo duas vezes, então a moda é 9. O valor 8 é a média e 8.5 é a mediana; essas três medidas de tendência central são coisas diferentes.

A amplitude é o máximo menos o mínimo: 10−2=8. Não responda com o próprio máximo 10 e não confunda a amplitude com a amplitude interquartil. Um único valor atípico pode alterar muito a amplitude.

A mediana é 4. A metade inferior 1, 2, 3 tem mediana Q1=2, e a metade superior 5, 6, 7 tem mediana Q3=6. A amplitude interquartil é Q3−Q1=6−2=4. Não a confunda com a amplitude, que é 7−1=6.

Com 8 valores, a metade inferior é 1, 3, 4, 5 e a metade superior é 6, 8, 9, 10. Q3 é a mediana da metade superior, (8+9)/2=8.5. O valor 5.5 é a mediana geral Q2. Não se esqueça de tirar a média dos dois valores do meio da metade superior.

A extremidade esquerda da caixa é Q1 e a direita é Q3, então o comprimento da caixa é Q3−Q1, a amplitude interquartil. A amplitude vai da ponta de um bigode até a ponta do outro, ou seja, máximo menos mínimo. O desvio padrão não pode ser lido em um diagrama de caixa.

IQR=16−10=6, então o limite é 16+1.5×6=16+9=25. O valor 26 o ultrapassa e, portanto, é um valor atípico. Os valores 24 e 20 não passam do limite 25, então não são atípicos. Lembre-se de somar 1.5×IQR a Q3.

O total é 98+102+101+99+100=500, e 500/5=100. Também se pode ver pelas diferenças em relação à média provisória 100, ou seja, −2, +2, +1, −1, 0, cuja média é 0, então a média é 100. Como o total é 500, a média não pode ser 100.5.

O total original era 10×5=50. Corrigindo o erro, o total passa a ser 50−8+13=55, então a média é 55/5=11. Também se pode dividir o aumento de 5 pela quantidade 5 e ver que a média sobe 1.

A média é 3. Os desvios são −2, −1, 0, 1, 2, então a variância é (4+1+0+1+4)/5=10/5=2. Não se esqueça de dividir a soma dos quadrados dos desvios, 10, pela quantidade. O valor √2 é o desvio padrão.

A média é 5. A variância é (9+1+1+9)/4=20/4=5, e o desvio padrão é sua raiz quadrada positiva, √5. Não dê a variância 5 como desvio padrão.

A média é 4 e a média dos quadrados é (1+9+25+49)/4=84/4=21. A variância é 21−4²=21−16=5. O valor 21 para na média dos quadrados e 16 no quadrado da média; ambos esquecem a subtração. A fórmula da definição também dá 5.

O desvio padrão é √(variância)=√9=3. O valor 81 eleva a variância ao quadrado de novo, e √3 tira uma raiz quadrada a mais. Guarde bem a relação: o desvio padrão é a raiz quadrada positiva da variância.

Para y=bx+a, o desvio padrão é multiplicado por |b|, então é 2×4=8. O +3 apenas desloca tudo e não altera a dispersão. O valor 11 soma também a constante, calculando 2×4+3, e 16 confunde com o fator b²=4 da variância.

Para y=bx+a, a variância é multiplicada por b², então é 3²×2=18. O valor 6 multiplica só por 3, que é o fator do desvio padrão. O −2 não tem efeito sobre a variância. Não confunda os dois: o desvio padrão é multiplicado por |b|, e a variância, por b².

O total geral é 4×5+6×10=20+60=80 pontos, então a média é 80/10=8 pontos. O erro típico é ignorar o tamanho dos grupos e calcular (5+10)/2=7.5. Pondere pelo tamanho dos grupos e trabalhe a partir do total.

O desvio padrão é multiplicado por |b|, então é |−2|×2=4. O desvio padrão mede a dispersão e nunca pode ser negativo, então −4 está errado. Trocar o sinal mantém a largura da dispersão. O valor 8 confunde com o fator b²=4 da variância.

Somar o mesmo valor a todos os dados aumenta a média nesse valor, mas cada desvio em relação à média não muda, então a variância e o desvio padrão continuam iguais. Ajuda imaginar a forma da distribuição inteira simplesmente deslizando para o lado.

De variância = média dos quadrados − quadrado da média, a média dos quadrados é 6+4²=22. Logo, a soma dos quadrados é 22×5=110. O valor 50 vem de calcular (6+4)×5. Use a fórmula no sentido inverso: média dos quadrados = variância + quadrado da média.

Subir para a direita, ou seja, y tender a aumentar quando x aumenta, é correlação positiva, enquanto descer para a direita é correlação negativa. Observe que a forma de um diagrama de dispersão, por si só, não diz nada sobre causalidade.

O coeficiente de correlação é a covariância dividida pelo produto dos desvios padrão, e sempre está em −1≦r≦1. Os extremos ±1 ocorrem de fato quando todos os pontos estão sobre uma única reta, então as igualdades estão incluídas. Valores negativos também ocorrem.

Como r está próximo de −1, a correlação é fortemente negativa, então os pontos se agrupam perto de uma reta que desce para a direita. Se subisse, r seria positivo. Como r mede uma relação linear, uma disposição em parábola não daria um valor como −0.9.

Quando todos os pontos estão sobre uma reta, o coeficiente de correlação é ±1 e, para uma reta descendente, r=−1. O valor r=−1 é a correlação negativa mais forte possível, 0 significa ausência de correlação, e 1 corresponde a pontos sobre uma reta ascendente.

r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Dividir pelo produto das variâncias (2 cada uma, ou seja, 2×2=4) em vez do produto dos desvios padrão (√2 cada um) dá a resposta errada 0.4. Não dê simplesmente a covariância 1.6 como resposta.

Correlação não é prova de causalidade. Neste exemplo, é natural pensar que uma terceira variável, a temperatura, está fazendo as duas aumentarem. A força de uma correlação, o tamanho de r, é uma questão separada da existência de causalidade.

Espera-se que as vendas de café quente caiam à medida que a temperatura sobe, o que é uma inclinação descendente, ou seja, correlação negativa. Altura e peso, tempo de estudo e nota, e população e número de lojas sugerem correlação positiva, em que uma aumenta quando a outra aumenta.

Supondo que a moeda seja honesta, a probabilidade do resultado observado, 1/256≒0.4%, é menor que o nível de referência de 5%. Em vez de acreditar que algo muito raro aconteceu, é mais natural duvidar da suposição, então rejeitamos a hipótese e julgamos que a cara é favorecida. A comparação é com o nível de referência de 5%, não com 50%.

Uma probabilidade de 6% é igual ou superior ao nível de referência de 5%, então o resultado não pode ser considerado raro e a hipótese não pode ser rejeitada. Não rejeitar, porém, não é uma prova de que a hipótese está correta. Mudar o nível de referência depois de ver o resultado é uma atitude equivocada.