Preparatoria · Matemáticas de preparatoria: laboratorio de exámenes periódicos
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¿Cuál es la media de los datos 2, 4, 6, 8, 10?
La media es el total dividido entre el número de datos: (2+4+6+8+10)/5=30/5=6. En datos igualmente espaciados, el valor central coincide con la media. No olvide dividir entre el número de datos, 5.
¿Cuál es la mediana de los datos 2, 9, 4, 7, 3?
En orden creciente, los datos son 2, 3, 4, 7, 9. Con 5 valores, un número impar, la mediana es el tercero, es decir, 4. La media es 25/5=5 y, en general, la mediana y la media no coinciden. No olvide ordenar primero.
¿Cuál es la mediana de los datos 2, 5, 3, 8, 9, 7?
En orden creciente, los datos son 2, 3, 5, 7, 8, 9. Con 6 valores, un número par, la mediana es la media de los dos centrales, el tercero y el cuarto: (5+7)/2=6. Tomar solo uno de los valores centrales y responder 5 o 7 es incorrecto.
¿Cuál es la moda de los datos 5, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10?
La moda es el valor que aparece con más frecuencia. El valor 9 aparece 3 veces y cada uno de los demás como mucho dos veces, así que la moda es 9. El valor 8 es la media y 8.5 es la mediana; estas tres medidas de tendencia central son cosas distintas.
¿Cuál es el rango de los datos 3, 8, 2, 10, 7?
El rango es el máximo menos el mínimo: 10−2=8. No responda con el propio máximo, 10, y no confunda el rango con el rango intercuartílico. Un solo valor atípico puede cambiar mucho el rango.
¿Cuál es el rango intercuartílico de los datos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7?
La mediana es 4. La mitad inferior, 1, 2, 3, tiene mediana Q1=2, y la mitad superior, 5, 6, 7, tiene mediana Q3=6. El rango intercuartílico es Q3−Q1=6−2=4. No lo confunda con el rango, que es 7−1=6.
¿Cuál es el tercer cuartil Q3 de los datos 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, ordenados de forma creciente y con 8 valores?
Con 8 valores, la mitad inferior es 1, 3, 4, 5 y la mitad superior es 6, 8, 9, 10. Q3 es la mediana de la mitad superior, (8+9)/2=8.5. El valor 5.5 es la mediana global Q2. No olvide promediar los dos valores centrales de la mitad superior.
¿Qué representa la longitud de la caja en un diagrama de caja?
El extremo izquierdo de la caja es Q1 y el derecho es Q3, así que la longitud de la caja es Q3−Q1, el rango intercuartílico. El rango va del extremo de un bigote al extremo del otro, es decir, el máximo menos el mínimo. La desviación estándar no puede leerse en un diagrama de caja.
En un conjunto de datos, el primer cuartil es 10 y el tercer cuartil es 16. Con la regla de que todo valor mayor que Q3+1.5×IQR es un valor atípico, ¿qué valor es atípico?
IQR=16−10=6, así que el límite es 16+1.5×6=16+9=25. El valor 26 lo supera y, por tanto, es un valor atípico. Los valores 24 y 20 no superan el límite 25, así que no son atípicos. Recuerde sumar 1.5×IQR a Q3.
¿Cuál es la media de los datos 98, 102, 101, 99, 100?
El total es 98+102+101+99+100=500, y 500/5=100. También puede verse con las diferencias respecto a la media provisional 100, es decir, −2, +2, +1, −1, 0, cuyo promedio es 0, así que la media es 100. Como el total es 500, la media no puede ser 100.5.
Cinco datos tenían media 10, pero uno de ellos, registrado como 8, era erróneo y debía ser 13. ¿Cuál es la media correcta?
El total original era 10×5=50. Al corregir el error, el total pasa a ser 50−8+13=55, así que la media es 55/5=11. También puede dividir el aumento de 5 entre el número de datos, 5, y ver que la media sube 1.
¿Cuál es la varianza de los datos 1, 2, 3, 4, 5?
La media es 3. Las desviaciones son −2, −1, 0, 1, 2, así que la varianza es (4+1+0+1+4)/5=10/5=2. No olvide dividir la suma de los cuadrados de las desviaciones, 10, entre el número de datos. El valor √2 es la desviación estándar.
¿Cuál es la desviación estándar de los datos 2, 4, 6, 8?
La media es 5. La varianza es (9+1+1+9)/4=20/4=5, y la desviación estándar es su raíz cuadrada positiva, √5. No dé la varianza 5 como desviación estándar.
Para los datos 1, 3, 5, 7, ¿cuál es la varianza obtenida con varianza = media de los cuadrados − cuadrado de la media?
La media es 4 y la media de los cuadrados es (1+9+25+49)/4=84/4=21. La varianza es 21−4²=21−16=5. El valor 21 se queda en la media de los cuadrados y 16 en el cuadrado de la media; ambos olvidan la resta. La fórmula de la definición también da 5.
Si un conjunto de datos tiene varianza 9, ¿cuál es su desviación estándar?
La desviación estándar es √(varianza)=√9=3. El valor 81 vuelve a elevar al cuadrado la varianza, y √3 saca una raíz cuadrada de más. Tenga clara la relación: la desviación estándar es la raíz cuadrada positiva de la varianza.
Si la variable x tiene desviación estándar 4, ¿cuál es la desviación estándar de la variable y definida por y=2x+3?
Para y=bx+a, la desviación estándar se multiplica por |b|, así que es 2×4=8. El +3 solo desplaza todos los datos y no cambia la dispersión. El valor 11 suma también la constante, calculando 2×4+3, y 16 lo confunde con el factor b²=4 de la varianza.
Si la variable x tiene varianza 2, ¿cuál es la varianza de la variable y definida por y=3x−2?
Para y=bx+a, la varianza se multiplica por b², así que es 3²×2=18. El valor 6 multiplica solo por 3, que es el factor de la desviación estándar. El −2 no influye en la varianza. Distinga ambos casos: la desviación estándar se multiplica por |b| y la varianza por b².
El grupo A tiene 4 miembros con una puntuación media de 5, y el grupo B tiene 6 miembros con una puntuación media de 10. ¿Cuál es la puntuación media de las 10 personas?
El total global es 4×5+6×10=20+60=80 puntos, así que la media es 80/10=8 puntos. El error típico es ignorar el tamaño de los grupos y calcular (5+10)/2=7.5. Pondere según el tamaño y trabaje a partir del total.
Si la variable x tiene desviación estándar 2, ¿cuál es la desviación estándar de la variable y definida por y=−2x+1?
La desviación estándar se multiplica por |b|, así que es |−2|×2=4. La desviación estándar mide la dispersión y nunca puede ser negativa, así que −4 es incorrecto. Cambiar el signo deja igual la amplitud de la dispersión. El valor 8 lo confunde con el factor b²=4 de la varianza.
Si se suman 5 puntos a la calificación del examen de todos, ¿qué ocurre con la media y con la varianza?
Sumar el mismo valor a todos los datos aumenta la media en esa cantidad, pero cada desviación respecto a la media no cambia, así que la varianza y la desviación estándar siguen siendo las mismas. Ayuda imaginar que toda la forma de la distribución simplemente se desplaza.
Cinco datos tienen media 4 y varianza 6. ¿Cuál es la suma de sus cuadrados, x₁²+x₂²+…+x₅²?
De varianza = media de los cuadrados − cuadrado de la media, la media de los cuadrados es 6+4²=22. Por tanto, la suma de los cuadrados es 22×5=110. El valor 50 proviene de calcular (6+4)×5. Use la fórmula en sentido inverso: media de los cuadrados = varianza + cuadrado de la media.
Si los puntos de un diagrama de dispersión ascienden en conjunto hacia la derecha, ¿qué puede decirse que existe entre las dos variables?
Ascender hacia la derecha, es decir, que y tienda a aumentar cuando x aumenta, es una correlación positiva, mientras que descender hacia la derecha es una correlación negativa. Tenga en cuenta que la forma de un diagrama de dispersión por sí sola no dice nada sobre la causalidad.
¿En qué intervalo debe estar siempre el coeficiente de correlación r?
El coeficiente de correlación es la covarianza dividida entre el producto de las desviaciones estándar, y siempre está en −1≦r≦1. Los extremos ±1 sí se dan, cuando todos los puntos están sobre una misma recta, así que las igualdades están incluidas. También se dan valores negativos.
Dos variables tienen coeficiente de correlación −0.9. ¿Qué describe mejor el diagrama de dispersión?
Como r está cerca de −1, la correlación es fuertemente negativa, así que los puntos se concentran cerca de una recta que desciende hacia la derecha. Si ascendiera, r sería positivo. Como r mide una relación lineal, una disposición en forma de parábola no daría un valor como −0.9.
Todos los puntos de un diagrama de dispersión están sobre una misma recta que desciende hacia la derecha. ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
Cuando todos los puntos están sobre una misma recta, el coeficiente de correlación es ±1, y para una pendiente descendente r=−1. El valor r=−1 es la correlación negativa más fuerte posible, 0 significa ausencia de correlación y 1 corresponde a puntos sobre una recta ascendente.
Para 5 pares de datos x: 1, 2, 3, 4, 5 e y: 3, 5, 4, 7, 6, la varianza de x es 2, la varianza de y es 2 y la covarianza es 1.6. ¿Cuál es el coeficiente de correlación?
r=sxy/(sx·sy)=1.6/(√2×√2)=1.6/2=0.8. Dividir entre el producto de las varianzas (2 cada una) en lugar del de las desviaciones estándar (√2 cada una) da la respuesta incorrecta 0.4. No dé simplemente la covarianza 1.6 como respuesta.
Se encontró una fuerte correlación positiva entre las ventas de helado y el número de personas trasladadas al hospital por golpe de calor. ¿Cuál es la interpretación más adecuada?
La correlación no es prueba de causalidad. En este ejemplo es natural pensar que una tercera variable, la temperatura, hace aumentar ambas. La fuerza de una correlación, el tamaño de r, es una cuestión distinta de si existe causalidad.
¿Qué par de variables es más probable que muestre una correlación negativa?
Es de esperar que las ventas de café caliente bajen cuando sube la temperatura, lo que es una tendencia descendente, es decir, una correlación negativa. La estatura y el peso, el tiempo de estudio y la calificación, y la población y el número de tiendas sugieren todos una correlación positiva, en la que una aumenta cuando aumenta la otra.
Se lanzó una moneda 8 veces y salió cara las 8 veces. Bajo la hipótesis de que la moneda es justa, con probabilidad 1/2 de cara, la probabilidad de 8 caras seguidas es (1/2)⁸=1/256, alrededor del 0.4%. Con un umbral del 5%, ¿qué juicio sigue la idea del contraste de hipótesis?
Suponiendo que la moneda es justa, la probabilidad del resultado observado, 1/256≒0.4%, es menor que el umbral del 5%. En lugar de creer que ha ocurrido algo muy raro, es más natural dudar de la suposición, así que se rechaza la hipótesis y se juzga que la moneda tiende a salir cara. La comparación se hace con el umbral del 5%, no con el 50%.
En un contraste de hipótesis, la probabilidad del resultado observado bajo la hipótesis resultó ser del 6%. Con un umbral del 5%, ¿qué juicio es el más adecuado?
Una probabilidad del 6% es igual o superior al umbral del 5%, así que el resultado no puede considerarse raro y la hipótesis no puede rechazarse. Sin embargo, no rechazarla no demuestra que la hipótesis sea correcta. Mover el umbral después de ver el resultado es una actitud equivocada.
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* Este contenido sirve para repasar lo estudiado en la preparatoria. Si la notación o el tratamiento difieren de su libro de texto o de lo que se enseña en su escuela, siga su libro de texto y las explicaciones de su profesor.
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