دو درجی تفاعلات (ریاضی I)

y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 سے راس (2, −3) ہے۔ (x−2)² میں راس کا x-محدد علامت الٹ کر +2 ہے۔ آپشن (2, 1) میں 4 منفی کرنا بھول گئے ہیں، اور (2, 5) میں −4 کو +4 پڑھ لیا گیا ہے۔

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4۔ چونکہ (x+3)²=(x−(−3))² ہے، اس لیے راس کا x-محدد −3 ہے، اور راس (−3, −4) ہے۔ آپشن (3, −4) میں علامت غلط پڑھی گئی ہے، اور (−3, 5) میں −9 چھوڑ دیا گیا ہے۔

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5۔ قیمت −1 اس وقت آتی ہے جب −4 کو باہر نکالتے ہوئے عددی سر 2 سے ضرب دینا بھول جائیں (−4+3=−1)۔ پھیلا کر جانچنا کہ 2x²−8x+3 واپس آتا ہے، فائدہ مند ہے۔

y=(x+1)²−1 سے محور خط x=−1 ہے۔ محور x کے عددی سر کے نصف پر، علامت بدل کر، واقع ہوتا ہے: 2 کا نصف 1 ہے، اور علامت بدلنے سے −1۔ آپشن x=1 علامت کی غلطی ہے، اور x=−2 نصف کرنا بھول جانے سے آتا ہے۔

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3، اس لیے راس (2, 3) ہے۔ آپشن (2, −5) میں −4 کی علامت غلط سنبھال کر −4−1 کا حساب کیا گیا ہے۔ جو قوسین −1 کو مشترک نکال کر بنائی گئی ہو، اسے کھولتے وقت علامتوں کا دھیان رکھیں۔

x-سمت میں p کا انتقال مساوات میں x کی جگہ x−p رکھ دیتا ہے، اس لیے +3 کا انتقال (x−3)² دیتا ہے۔ y-سمت کا انتقال −2 ہے، اس لیے آخر میں −2 جمع ہوتا ہے۔ انتقال کا اہم نکتہ یہ ہے کہ مساوات میں علامت انتقال کے الٹ ہوتی ہے، اور (x+3)² یہ الٹ پن بھول جانے سے آتا ہے۔

x-سمت میں −1 کا انتقال x کی جگہ x−(−1)=x+1 رکھ دیتا ہے، جس سے 2(x+1)² ملتا ہے، اور y-سمت میں +4 کا انتقال آخر میں +4 جمع کرتا ہے۔ راس سے جانچیں تو (0,0) منتقل ہو کر (−1,4) پر آتا ہے، جو y=2(x+1)²+4 کے راس (−1,4) سے مطابقت رکھتا ہے۔

x-محور میں انعکاس y کی جگہ −y رکھ دیتا ہے، جس سے y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3 ملتا ہے، یعنی ہر رکن کی علامت بدل جاتی ہے۔ آپشن y=x²+2x+3 دراصل y-محور میں انعکاس (x کی جگہ −x) کا نتیجہ ہے، جس سے گڈمڈ ہونا آسان ہے۔

مبدا میں انعکاس x کی جگہ −x اور y کی جگہ −y رکھ دیتا ہے۔ −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 سے y=−x²−4x−5 ملتا ہے۔ آپشن y=−x²+4x−5 میں صرف x-محور والا انعکاس لگایا گیا ہے اور y=x²+4x+5 میں صرف y-محور والا؛ دونوں میں ایک تبدیلی بھول گئی ہے۔

راس والی شکل y=a(x−1)²+2 لکھیں اور (0, 4) رکھیں: a+2=4، اس لیے a=2۔ منحنی y=2(x+1)²+2 بھی (0, 4) سے گزرتا ہے، مگر اس کا راس (−1, 2) ہے، اس لیے شرط پوری نہیں ہوتی۔ اور y=(x−1)²+2 میں x=0 پر قیمت 3 آتی ہے، اس لیے یہ اس نقطے سے نہیں گزرتا۔

y=(x−1)²+2 سے قطع مکافی اوپر کی طرف کھلتا ہے اور اس کا راس (1, 2) ہے، اس لیے اقل قیمت 2 ہے، جو x=1 پر حاصل ہوتی ہے۔ ڈومین پر کوئی پابندی نہ ہو تو اقل قیمت بالکل راس کا y-محدد ہوتی ہے۔ قیمت 3 تو x=0 رکھنے سے ملتی ہے، جو اقل قیمت نہیں۔

y=−(x−2)²+4 سے قطع مکافی نیچے کی طرف کھلتا ہے اور اس کا راس (2, 4) ہے، اس لیے اعظم قیمت 4 ہے، جو x=2 پر حاصل ہوتی ہے۔ نیچے کی طرف کھلنے والا قطع مکافی راس پر اعظم قیمت لیتا ہے اور اس کی کوئی اقل قیمت نہیں ہوتی۔ علامت کی غلطی سے −4 آتا ہے، مگر x=2 رکھنے سے −4+8=4 ملتا ہے، جس سے بات طے ہو جاتی ہے۔

مساوات پہلے ہی راس والی شکل میں ہے اور راس (3, 1) ہے۔ چونکہ a=2>0 ہے، قطع مکافی اوپر کی طرف کھلتا ہے، اس لیے اقل قیمت 1 ہے، جو x=3 پر حاصل ہوتی ہے۔ راس کے محدد (3, 1) کو غلط نہ پڑھیں: x=3 وہ جگہ ہے جہاں یہ ہوتا ہے اور 1 اقل قیمت ہے۔ قیمت 19 دراصل x=0 پر قیمت ہے۔

محور x=1 ڈومین کے اندر ہے، اس لیے اعظم قیمت محور سے زیادہ دور والے سرے x=3 پر حاصل ہوتی ہے: f(3)=(3−1)²+2=4+2=6۔ قیمت 2 اقل قیمت ہے، جو راس پر ہے۔ قیمت 18 (3+1)² کے حساب میں علامت کی غلطی سے آتی ہے۔

محور x=2 ڈومین 0≦x≦1 کے دائیں جانب ہے، اس لیے پورے وقفے میں تفاعل گھٹتا ہے۔ اقل قیمت دائیں سرے x=1 پر ہے: f(1)=1−4+1=−2۔ قیمت −3 راس کا y-محدد ہے، مگر x=2 ڈومین سے باہر ہے، اس لیے یہ حاصل نہیں ہو سکتی۔ ڈومین کو نظر انداز کر کے راس سے جواب دینا عام غلطی ہے۔

y=−(x−1)²+3۔ قطع مکافی نیچے کی طرف کھلتا ہے اور محور x=1 ڈومین کے اندر ہے، اس لیے اعظم قیمت راس پر ہے، f(1)=3۔ اقل قیمت محور سے زیادہ دور والے سرے x=3 پر ہے: f(3)=−9+6+2=−1۔ سرے کی قیمت f(0)=2 بڑی ہے، کیونکہ x=3 محور سے زیادہ دور ہے۔

محور x=3 ڈومین 4≦x≦6 کے بائیں جانب ہے، اس لیے پورے وقفے میں تفاعل بڑھتا ہے۔ اقل قیمت بائیں سرے x=4 پر ہے: f(4)=16−24+10=2۔ قیمت 1 راس کی قیمت ہے، مگر x=3 ڈومین سے باہر ہے۔ اعظم قیمت 10 ہے، جو دائیں سرے x=6 پر ہے۔

چونکہ a>2 ہے، محور x=a ڈومین کے دائیں جانب ہے، اس لیے پورے وقفے میں تفاعل گھٹتا ہے اور اقل قیمت دائیں سرے x=2 پر ہے: f(2)=4−4a۔ قیمت −a² راس کی قیمت ہے، مگر x=a ڈومین سے باہر ہے اور حاصل نہیں ہو سکتی۔ مثال کے طور پر a=3 کے ساتھ f(2)=−8 ملتا ہے، جو 4−4×3=−8 سے مطابقت رکھتا ہے۔

محور x=1 سے زیادہ دور والا سرا x=3 ہے، اس لیے اعظم قیمت f(3)=9−6+c=3+c ہے۔ 3+c=7 سے c=4 ملتا ہے۔ آپشن c=7 اعظم قیمت کو غلطی سے f(0)=c سمجھنے سے آتا ہے، اور c=8 اقل قیمت f(1)=c−1 کو 7 کے برابر رکھنے سے۔ c=4 کے ساتھ آپ جانچ سکتے ہیں کہ f(3)=7 ہے۔

t=x²−2x رکھنے سے t=(x−1)²−1≧−1 ملتا ہے۔ پھر y=t²−4t+1=(t−2)²−3، اور t=2 حد t≧−1 کے اندر ہے، اس لیے اقل قیمت −3 ہے، جو t=2 پر، یعنی جب x²−2x=2 ہو، حاصل ہوتی ہے۔ حد کے سرے t=−1 پر y=6 آتا ہے، جو اقل قیمت نہیں۔ بدل کر رکھنے کے بعد t کی حد جانچنا کبھی نہ بھولیں۔

(x−2)(x−3)=0 سے x=2, 3 ملتا ہے۔ وہ دو اعداد جن کا حاصل ضرب +6 اور مجموعہ −5 ہے، −2 اور −3 ہیں، اس لیے اجزائے ضربی (x−2)(x−3) ہیں اور حل الٹی علامتوں کے ساتھ 2 اور 3 آتے ہیں۔ x=−2, −3 جواب دینا اجزائے ضربی کے اندر کی علامتوں کو حلوں کی علامتوں سے گڈمڈ کرنا ہے۔

دو درجی فارمولے سے x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2 ملتا ہے۔ آپشن 2±2√2 آخر میں 2 سے تقسیم کرنا بھول جانے سے آتا ہے۔ √8=2√2 کی سادگی اور منسوخی احتیاط سے کریں۔ x=1+√2 رکھنے سے (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 بنتا ہے، جو اس کی تصدیق کرتا ہے۔

کراس طریقے سے (2x−1)(x+2)=0 ملتا ہے۔ 2x−1=0 سے x=1/2، اور x+2=0 سے x=−2 حاصل ہوتا ہے۔ دھیان رکھیں کہ جزو ضربی (x+2) الٹی علامت کے ساتھ حل −2 دیتا ہے۔ آپشن x=−1/2, 2 میں دونوں علامتیں الٹ دی گئی ہیں۔

مکرر جذر کی شرط D=0 ہے۔ D=16−4k=0 سے k=4 ملتا ہے۔ تب x²+4x+4=(x+2)²=0 ہے جس کا مکرر جذر x=−2 ہے۔ آپشن k=16 میں D=16−k لکھ کر جزو 4 بھول گئے ہیں۔

شرط D>0 ہے۔ D=9−4k>0 سے 4k<9، یعنی k<9/4 ملتا ہے۔ برابری (k=9/4) پر مکرر جذر بنتا ہے، اس لیے اسے خارج کیا جاتا ہے۔ آپشن k>−9/4 اس وقت آتا ہے جب علامت میں غلطی سے D کو 9+4k لکھ دیا جائے۔

x²−4x+5=0 کا ممیز D=16−20=−4<0 ہے، اس لیے کوئی حقیقی جذر نہیں اور کوئی مشترک نقطہ نہیں۔ گراف پر راس (2, 1) x-محور سے اوپر ہے اور قطع مکافی اوپر کی طرف کھلتا ہے، اس لیے پورا منحنی محور سے دور رہتا ہے۔ قطع مکافی اور x-محور کے کبھی 3 مشترک نقاط نہیں ہو سکتے۔

y=0 رکھ کر x²+2x−3=0 حل کریں۔ (x+3)(x−1)=0 سے x=−3, 1 ملتا ہے۔ وہ دو اعداد جن کا حاصل ضرب −3 اور مجموعہ +2 ہے، +3 اور −1 ہیں، اور جزو ضربی (x+3) حل −3 دیتا ہے۔ آپشن x=3, −1 میں علامتیں الٹ دی گئی ہیں۔

مماس ہونے کی شرط D=0 ہے۔ D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 سے k=2, −1 ملتا ہے۔ جب k=2 ہو تو x²−4x+4=(x−2)² ملتا ہے، اور جب k=−1 ہو تو x²+2x+1=(x+1)²، اس لیے دونوں صورتوں میں منحنی واقعی محور کو مس کرتا ہے۔

y کو ختم کرنے سے x²+1=2x+4 ملتا ہے، جو ترتیب دینے پر x²−2x−3=0 بنتا ہے۔ (x−3)(x+1)=0 سے x=−1, 3 ملتا ہے۔ ممیز D=4+12=16>0 تصدیق کرتا ہے کہ واقعی 2 مشترک نقاط ہیں۔ ارکان کو دوسری طرف منتقل کرتے وقت علامتوں کا دھیان رکھیں۔

شرط D≧0 ہے۔ D/4=(a+1)²−4≧0 سے (a+1)²≧4 ملتا ہے، یعنی a+1≦−2 یا a+1≧2، چنانچہ a≦−3 یا a≧1۔ آپشن −3≦a≦1 میں نامساوات کی سمت غلط سمجھ کر اندر والا حصہ لیا گیا ہے۔ مکرر جذر بھی حقیقی جذر ہے، اس لیے برابری شامل ہے۔

x²−5x+6=0 کے جذر x=2, 3 ہیں۔ اوپر کی طرف کھلنے والا قطع مکافی دونوں جذروں کے درمیان x-محور سے نیچے ہوتا ہے، اس لیے جواب 2<x<3 ہے۔ باہر والا حصہ لینا اسے >0 والی صورت سے گڈمڈ کرنا ہے۔ x=2.5 رکھنے سے 6.25−12.5+6=−0.25<0 بنتا ہے جو درست ہے، اور اس سے تصدیق ہوتی ہے کہ اندر والا حصہ صحیح ہے۔

x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 کے جذر x=−2, 3 ہیں۔ >0 کے لیے گراف x-محور سے اوپر، یعنی باہر کی طرف ہوتا ہے، اس لیے جواب x<−2 یا x>3 ہے۔ وقفہ −2<x<3 اندر والا حصہ ہے، جو <0 کا حل ہے۔ یہ بھی دھیان رکھیں کہ جزو ضربی (x+2) جذر −2 دیتا ہے، اس لیے علامتوں پر نظر رکھیں۔

x²−4=(x+2)(x−2)=0 کے جذر x=±2 ہیں۔ ≦0 کے لیے ہم اندر والا حصہ لیتے ہیں، اور چونکہ برابری کی اجازت ہے اس لیے سرے شامل ہیں: −2≦x≦2۔ آپشن −2<x<2 میں برابری چھوڑ دی گئی ہے۔ x=±2 پر بایاں رخ 0 ہے، جو ≦0 کو پورا کرتا ہے، اس لیے سرے حل میں شامل ہیں۔

کراس طریقے سے 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 ملتا ہے جس کے جذر x=1/2, 2 ہیں۔ <0 کے لیے، برابری کے بغیر، ہم اندر والا حصہ لیتے ہیں: 1/2<x<2۔ x=1 رکھنے سے 2−5+2=−1<0 بنتا ہے جو درست ہے، اور اندر والے حصے کی تصدیق کرتا ہے۔

یہاں x²−6x+9=(x−3)² ہے، اس لیے گراف x=3 پر x-محور کو مس کرتا ہے۔ اظہار (x−3)² صرف x=3 پر 0 ہے اور باقی ہر جگہ مثبت، اس لیے حل 3 کے سوا تمام حقیقی اعداد ہیں۔ "تمام حقیقی اعداد" کہنے سے غلطی سے x=3 بھی شامل ہو جائے گا، جہاں بایاں رخ 0 ہے۔

یہاں D=4−12=−8<0 ہے، اس لیے اوپر کی طرف کھلنے والے قطع مکافی کا x-محور کے ساتھ کوئی مشترک نقطہ نہیں اور وہ ہمیشہ اس سے اوپر رہتا ہے۔ اس لیے حل تمام حقیقی اعداد ہیں۔ مربع مکمل کر کے y=(x+1)²+2≧2>0 لکھنے سے اس کی تصدیق ہوتی ہے۔ D<0 دیکھ کر میکانکی طور پر "کوئی حل نہیں" جواب دینا اسے <0 والی نامساوات سے گڈمڈ کرنا ہے۔

دونوں اطراف کو −1 سے ضرب دیں اور نامساوات کی علامت الٹ دیں، جس سے x²−4x+3≦0 ملتا ہے۔ (x−1)(x−3)=0 کے جذر x=1, 3 ہیں، اور ≦0 کے لیے ہم اندر والا حصہ لیتے ہیں، اس لیے 1≦x≦3۔ −1 سے ضرب دینے کے بعد علامت الٹنا بھول جائیں تو جواب باہر والا حصہ آ جاتا ہے۔ x=2 پر −4+8−3=1≧0 ملتا ہے، جس سے بھی ظاہر ہوتا ہے کہ اندر والا حصہ صحیح ہے۔

دو درجی فارمولے سے x²−2x−2=0 حل کرنے پر x=(2±√12)/2=1±√3 ملتا ہے۔ <0 کے لیے ہم اندر والا حصہ لیتے ہیں، اس لیے 1−√3<x<1+√3۔ سرے غیر ناطق ہوں تب بھی طریقہ وہی ہے؛ اصل بات √12=2√3 کی سادگی اور منسوخی درست طور پر کرنا ہے۔

اوپر کی طرف کھلنے والے قطع مکافی کے ہر جگہ x-محور سے اوپر رہنے کی شرط D<0 ہے۔ D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 سے −2<k<3 ملتا ہے۔ باہر والا حصہ لینے کا مطلب D>0 ہوگا، یعنی محور کو 2 نقاط پر کاٹنا، جو الٹی صورت ہے۔ k=3 پر منحنی محور کو مس کرتا ہے اور x=−3 پر 0 کے برابر ہوتا ہے، جس سے سخت نامساوات ٹوٹ جاتی ہے، اس لیے سرے خارج ہیں۔

پہلی سے (x−5)(x+1)≦0، یعنی −1≦x≦5 ملتا ہے۔ دوسری سے x(x−2)>0، یعنی x<0 یا x>2۔ مشترک حصہ −1≦x<0 اور 2<x≦5 ہے، اس لیے صحیح اعداد −1، 3، 4 اور 5 ہیں، کل چار۔ قیمتیں 0 اور 2 دوسری شرط پوری نہیں کرتیں، کیونکہ وہاں بایاں رخ 0 ہے، >0 نہیں، اس لیے انہیں شمار نہیں کیا جاتا۔