Funcții de gradul al doilea (matematică Ⅰ, programa japoneză)

Din y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 rezultă vârful (2, −3). Abscisa vârfului corespunzătoare lui (x−2)² este +2, cu semn schimbat față de paranteză. Varianta (2, 1) apare când se uită scăderea lui −4, iar (2, 5) când −4 este luat greșit ca +4.

Avem y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4. Cum (x+3)²=(x−(−3))², abscisa vârfului este −3, deci vârful este (−3, −4). Varianta (3, −4) provine dintr-o citire greșită a semnului, iar (−3, 5) din pierderea termenului −9.

Avem 2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5. Varianta −1 apare când, scoțând −4 din paranteză, se uită înmulțirea cu coeficientul 2 și se calculează −4+3=−1. Este bine să se verifice prin dezvoltare că se revine la 2x²−8x+3.

Din y=(x+1)²−1 rezultă că axa este dreapta x=−1. Poziția axei se obține luând jumătatea coeficientului lui x și schimbându-i semnul: jumătatea lui 2 este 1, iar cu semn schimbat dă −1. Varianta x=1 provine dintr-o greșeală de semn, iar x=−2 din uitarea împărțirii la doi.

Din −(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3 rezultă vârful (2, 3). Varianta (2, −5) apare când semnul lui −4 este tratat greșit și se calculează −4−1. Atenție la semne când se desface paranteza scoasă cu factorul −1.

O translație cu p pe direcția x înseamnă în ecuație înlocuirea x→x−p, deci deplasarea cu +3 dă (x−3)². Pe direcția y deplasarea este −2, deci la final se adaugă −2. Esențialul la translație este că semnul din ecuație este opus sensului deplasării, iar (x+3)² provine din uitarea acestei inversări.

Deplasarea cu −1 pe direcția x înseamnă x→x−(−1)=x+1, deci 2(x+1)², iar deplasarea cu +4 pe direcția y adaugă +4 la final. Verificând cu vârful, (0,0) ajunge în (−1,4), ceea ce coincide cu vârful (−1,4) al funcției y=2(x+1)²+4.

Simetria față de axa x se obține prin înlocuirea y→−y, deci y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3: semnele tuturor termenilor se schimbă. Ecuația y=x²+2x+3 este rezultatul simetriei față de axa y, adică al înlocuirii x→−x, iar cele două se confundă ușor.

Simetria față de origine înseamnă atât x→−x, cât și y→−y. Din −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 rezultă y=−x²−4x−5. Varianta y=−x²+4x−5 corespunde numai simetriei față de axa x, iar y=x²+4x+5 numai simetriei față de axa y: în ambele s-a uitat una dintre înlocuiri.

Scriem forma canonică y=a(x−1)²+2 și înlocuim punctul (0, 4): a+2=4, deci a=2. Parabola y=2(x+1)²+2 trece și ea prin (0, 4), dar are vârful în (−1, 2), deci nu respectă condiția. Parabola y=(x−1)²+2 dă 3 pentru x=0, deci nu trece prin punct.

Din y=(x−1)²+2, parabola are ramurile în sus și vârful (1, 2). Valoarea minimă este 2, atinsă pentru x=1. Dacă nu există restricții asupra domeniului, valoarea minimă este chiar ordonata vârfului. Valoarea 3 se obține înlocuind x=0 și nu este minimul.

Din y=−(x−2)²+4, parabola are ramurile în jos și vârful (2, 4). Valoarea maximă este 4, atinsă pentru x=2. O parabolă cu ramurile în jos își atinge maximul în vârf și nu are valoare minimă. O greșeală de semn duce la −4, dar înlocuind x=2 se obține −4+8=4.

Funcția este deja scrisă sub formă canonică, iar vârful este (3, 1). Cum a=2>0, parabola are ramurile în sus, deci valoarea minimă este 1, atinsă pentru x=3. Coordonatele vârfului (3, 1) trebuie citite corect: x=3 și valoarea minimă 1. Valoarea 19 este cea din x=0.

Axa x=1 se află în interiorul domeniului, deci maximul este atins la capătul cel mai depărtat de axă, adică în x=3. Avem f(3)=(3−1)²+2=4+2=6. Valoarea 2 este minimul, atins în vârf, iar 18 provine dintr-o greșeală de semn, calculând (3+1)².

Axa x=2 se află în afara domeniului 0≦x≦1, la dreapta lui, deci pe acest interval funcția este strict descrescătoare. Minimul se atinge la capătul din dreapta, x=1, unde f(1)=1−4+1=−2. Valoarea −3 este ordonata vârfului, dar x=2 nu aparține domeniului, deci nu poate fi atinsă. Greșeala tipică este să se răspundă cu vârful, ignorând domeniul.

Avem y=−(x−1)²+3. Parabola are ramurile în jos, iar axa x=1 se află în domeniu, deci maximul este atins în vârf: f(1)=3. Minimul se atinge la capătul cel mai depărtat de axă, x=3, unde f(3)=−9+6+2=−1. Valoarea f(0)=2 este tot o valoare de capăt, dar x=3 este mai departe de axă și dă o valoare mai mică.

Axa x=3 se află în afara domeniului 4≦x≦6, la stânga lui, deci pe acest interval funcția este strict crescătoare. Minimul se atinge la capătul din stânga, x=4, unde f(4)=16−24+10=2. Valoarea 1 este cea din vârf, dar x=3 nu aparține domeniului. Maximul este 10, atins la capătul din dreapta, x=6.

Axa x=a se află, din a>2, în afara domeniului, la dreapta lui. Pe interval funcția este strict descrescătoare, deci minimul se atinge la capătul din dreapta, x=2, unde f(2)=4−4a. Valoarea −a² este cea din vârf, dar x=a nu aparține domeniului, deci nu poate fi atinsă. De exemplu, pentru a=3 avem f(2)=−8, ceea ce coincide cu 4−4×3=−8.

Capătul mai depărtat de axa x=1 este x=3, deci valoarea maximă este f(3)=9−6+c=3+c. Din 3+c=7 rezultă c=4. Varianta c=7 apare când maximul este luat greșit ca f(0)=c, iar c=8 când se pune condiția ca minimul f(1)=c−1 să fie 7. Pentru c=4 se verifică f(3)=7.

Notând t=x²−2x avem t=(x−1)²−1≧−1. Atunci y=t²−4t+1=(t−2)²−3, iar t=2 se află în intervalul t≧−1, deci valoarea minimă este −3, atinsă pentru t=2, adică atunci când x²−2x=2. La capătul t=−1 al intervalului se obține y=6, care nu este valoarea minimă. După o substituție nu trebuie uitată verificarea intervalului în care variază t.

Din (x−2)(x−3)=0 rezultă x=2, 3. Cele două numere cu produsul +6 și suma −5 sunt −2 și −3, deci factorii sunt (x−2)(x−3), iar soluțiile revin cu semn schimbat, 2 și 3. Răspunsul −2, −3 provine din confundarea semnelor din factori cu semnele soluțiilor.

Cu formula de rezolvare, x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2. Varianta 2±2√2 apare când se uită împărțirea finală la 2. Transformarea √8=2√2 și simplificarea trebuie făcute cu grijă. Înlocuind x=1+√2 se verifică (1+√2)²−2(1+√2)−1=0.

Prin înmulțire încrucișată obținem (2x−1)(x+2)=0. Din 2x−1=0 rezultă x=1/2, iar din x+2=0 rezultă x=−2. Atenție: factorul (x+2) dă soluția −2, cu semn opus. Răspunsul x=−1/2, 2 provine din schimbarea semnului la ambele soluții.

Condiția pentru soluție dublă este D=0. Din D=16−4k=0 rezultă k=4. În acest caz x²+4x+4=(x+2)²=0, cu soluția dublă x=−2. Varianta k=16 apare când se scrie D=16−k, uitând înmulțirea cu 4.

Condiția este D>0. Din D=9−4k>0 rezultă 4k<9, adică k<9/4. Egalitatea, k=9/4, dă soluție dublă, deci nu se include. Varianta k>−9/4 apare când se greșește semnul și se scrie D=9+4k.

Discriminantul ecuației x²−4x+5=0 este D=16−20=−4<0, deci nu există soluții reale și nu există niciun punct comun. Pe grafic, vârful (2, 1) se află deasupra axei x și, ramurile fiind în sus, întreaga parabolă rămâne deasupra axei. O parabolă nu poate avea niciodată 3 puncte comune cu axa x.

Punând y=0 rezolvăm x²+2x−3=0. Din (x+3)(x−1)=0 rezultă x=−3, 1. Cele două numere cu produsul −3 și suma +2 sunt +3 și −1, iar factorul (x+3) dă soluția −3. Răspunsul x=3, −1 provine din schimbarea semnelor.

Condiția de tangență este D=0. Din D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 rezultă k=2, −1. Pentru k=2 avem x²−4x+4=(x−2)², iar pentru k=−1 avem x²+2x+1=(x+1)², deci în ambele cazuri parabola este într-adevăr tangentă.

Eliminând pe y obținem x²+1=2x+4, adică x²−2x−3=0. Din (x−3)(x+1)=0 rezultă x=−1, 3. Discriminantul este D=4+12=16>0, deci există într-adevăr două puncte comune. Atenție la semne când se trec termenii dintr-un membru în altul.

Condiția este D≧0. Din D/4=(a+1)²−4≧0 rezultă (a+1)²≧4, deci a+1≦−2 sau a+1≧2, adică a≦−3 sau a≧1. Varianta −3≦a≦1 apare când sensul inegalității este greșit și soluția este luată în interior. Soluția dublă este tot o soluție reală, deci egalitatea se include.

Soluțiile ecuației x²−5x+6=0 sunt x=2, 3. Graficul, cu ramurile în sus, se află sub axa x între cele două rădăcini, deci 2<x<3. Răspunsul cu soluția în exterior corespunde cazului >0. Înlocuind x=2.5 obținem 6.25−12.5+6=−0.25<0, ceea ce confirmă că soluția este în interior.

Soluțiile ecuației x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 sunt x=−2, 3. Condiția >0 înseamnă că graficul se află deasupra axei x, adică în exterior, deci x<−2 sau x>3. Intervalul −2<x<3 este interiorul și corespunde inecuației <0. Atenție și la faptul că factorul (x+2) dă soluția −2.

Soluțiile ecuației x²−4=(x+2)(x−2)=0 sunt x=±2. Condiția ≦0 dă intervalul dintre rădăcini și, fiind cu egalitate, capetele se includ: −2≦x≦2. Varianta −2<x<2 apare când se pierde egalitatea. Pentru x=±2 membrul stâng este 0, care verifică ≦0, deci capetele fac parte din soluție.

Prin înmulțire încrucișată, 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 are soluțiile x=1/2, 2. Condiția <0, fără egalitate, dă intervalul dintre rădăcini: 1/2<x<2. Înlocuind x=1 obținem 2−5+2=−1<0, ceea ce confirmă că soluția este în interior.

Avem x²−6x+9=(x−3)², iar graficul este tangent la axa x în x=3. Expresia (x−3)² este 0 doar pentru x=3 și pozitivă în rest, deci soluția este formată din toate numerele reale în afară de 3. Dacă se răspunde toate numerele reale, se strecoară și x=3, pentru care membrul stâng este 0.

Avem D=4−12=−8<0, iar parabola cu ramurile în sus nu are puncte comune cu axa x și rămâne mereu deasupra ei, deci soluția este formată din toate numerele reale. Se poate verifica și prin forma canonică: y=(x+1)²+2≧2>0. A răspunde mecanic că nu există soluții, doar pentru că D<0, înseamnă a confunda cazul cu inecuația <0.

Înmulțind ambii membri cu −1 și schimbând sensul inegalității obținem x²−4x+3≦0. Soluțiile ecuației (x−1)(x−3)=0 sunt x=1, 3, iar condiția ≦0 dă intervalul dintre ele, deci 1≦x≦3. Dacă se înmulțește cu −1 fără a schimba sensul, se ajunge greșit la exterior. Și pentru x=2 avem −4+8−3=1≧0, ceea ce arată că soluția este în interior.

Rezolvând x²−2x−2=0 cu formula obținem x=(2±√12)/2=1±√3. Condiția <0 dă intervalul dintre rădăcini, deci 1−√3<x<1+√3. Chiar dacă rădăcinile sunt iraționale, procedeul este același, iar esențialul este simplificarea corectă folosind √12=2√3.

Condiția pentru ca o parabolă cu ramurile în sus să rămână mereu deasupra axei x este D<0. Din D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 rezultă −2<k<3. Dacă se ia exteriorul, se obține D>0, adică situația opusă, cu două puncte de intersecție. Pentru k=3 parabola este tangentă și se anulează în x=−3, deci condiția >0 nu mai este respectată și capetele nu se includ.

Prima inecuație, (x−5)(x+1)≦0, dă −1≦x≦5. A doua, x(x−2)>0, dă x<0 sau x>2. Intersecția este −1≦x<0 împreună cu 2<x≦5, iar numerele întregi sunt −1, 3, 4 și 5, adică 4 numere. Valorile 0 și 2 nu verifică a doua inecuație, fiindcă membrul stâng devine 0, deci nu se numără.