이차함수 (수학Ⅰ: 일본 고교 수학 I)

y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 이므로 꼭짓점은 (2, −3) 이다. (x−2)² 의 꼭짓점의 x 좌표는 +2 이다(부호가 반대가 된다). (2, 1) 은 −4 를 빼는 것을 잊은 실수이고, (2, 5) 는 −4 를 +4 로 잘못 본 실수이다.

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4 이다. (x+3)²=(x−(−3))² 이므로 꼭짓점의 x 좌표는 −3 이고, 따라서 꼭짓점은 (−3, −4) 이다. (3, −4) 는 부호를 잘못 읽은 것이고, (−3, 5) 는 −9 를 빠뜨린 실수이다.

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5 이다. −1 은 −4 를 밖으로 꺼낼 때 계수 2 를 곱하는 것을 잊은 실수이다(−4+3=−1). 전개해서 2x²−8x+3 으로 돌아오는지 검산하면 좋다.

y=(x+1)²−1 이므로 축은 직선 x=−1 이다. x 의 계수의 절반의 부호를 바꾼 것(2 의 절반은 1, 그 부호를 바꾸어 −1)이 축의 위치이다. x=1 은 부호를 틀린 것이고, x=−2 는 절반으로 나누는 것을 잊은 실수이다.

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3 이므로 꼭짓점은 (2, 3) 이다. (2, −5) 는 −4 의 부호 처리를 틀려 −4−1 로 계산한 실수이다. −1 로 묶은 괄호를 벗길 때의 부호에 주의한다.

x 방향으로 p 만큼 옮기면 식에서는 x→x−p 가 되므로, +3 만큼의 이동은 (x−3)² 이다. y 방향은 −2 이므로 마지막에 −2 를 붙인다. 이동한 양과 식 속의 부호가 반대가 되는 것이 평행이동의 요점이며, (x+3)² 은 이 부호의 반전을 잊은 실수이다.

x 방향으로 −1 만큼의 이동은 x→x−(−1)=x+1 이므로 2(x+1)² 이고, y 방향으로 +4 이므로 마지막에 +4 를 붙인다. 꼭짓점으로 확인하면 (0,0)→(−1,4) 가 되어, y=2(x+1)²+4 의 꼭짓점 (−1,4) 와 일치한다.

x 축 대칭은 y→−y 로 바꾸는 것이므로 y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3 이다. 모든 항의 부호가 바뀐다. y=x²+2x+3 은 y 축 대칭(x→−x)의 결과이며 혼동하기 쉽다.

원점 대칭은 x→−x 이면서 y→−y 이다. −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 이므로 y=−x²−4x−5 이다. y=−x²+4x−5 는 x 축 대칭만, y=x²+4x+5 는 y 축 대칭만 한 결과로, 치환을 하나 잊은 실수이다.

꼭짓점 꼴 y=a(x−1)²+2 로 놓고 (0, 4) 를 대입하면 a+2=4 이므로 a=2 이다. y=2(x+1)²+2 도 점 (0, 4) 를 지나지만 꼭짓점이 (−1, 2) 가 되어 조건에 맞지 않는다. y=(x−1)²+2 는 x=0 에서 3 이 되어 지나지 않는다.

y=(x−1)²+2 이므로 아래로 볼록하고 꼭짓점은 (1, 2) 이다. 최솟값은 x=1 일 때 2 이다. 정의역의 제한이 없으면 최솟값은 꼭짓점의 y 좌표 그 자체이다. 3 은 x=0 을 대입한 값이며 최소가 아니다.

y=−(x−2)²+4 이므로 위로 볼록하고 꼭짓점은 (2, 4) 이다. 최댓값은 x=2 일 때 4 이다. 위로 볼록한 그래프는 꼭짓점에서 최대가 된다(최솟값은 없다). 부호를 틀리면 −4 가 나오지만, x=2 를 대입하면 −4+8=4 임을 확인할 수 있다.

이미 꼭짓점 꼴이며 꼭짓점은 (3, 1) 이다. a=2>0 이라 아래로 볼록하므로 최솟값은 x=3 일 때 1 이다. 꼭짓점의 좌표 (3, 1) 을 읽는 방식(x=3, 최솟값 1)을 뒤바꾸지 않도록 한다. 19 는 x=0 에서의 값이다.

축 x=1 이 정의역 안에 있으므로, 최댓값은 축에서 먼 쪽 끝인 x=3 에서 나온다. f(3)=(3−1)²+2=4+2=6 이다. 2 는 최솟값(꼭짓점)이다. 18 은 (3+1)² 로 부호를 틀려 계산한 실수이다.

축 x=2 는 정의역 0≦x≦1 의 오른쪽 바깥에 있으므로 구간 안에서는 단조감소한다. 최솟값은 오른쪽 끝 x=1 에서 f(1)=1−4+1=−2 이다. −3 은 꼭짓점의 y 좌표이지만 x=2 는 정의역 밖이라 취할 수 없다. 정의역을 무시하고 꼭짓점으로 답하는 것이 전형적인 실수이다.

y=−(x−1)²+3 이다. 위로 볼록하고 축 x=1 이 정의역 안에 있으므로 최댓값은 꼭짓점에서 f(1)=3 이다. 최솟값은 축에서 먼 끝 x=3 에서 f(3)=−9+6+2=−1 이다. f(0)=2 도 끝에서의 값이지만, x=3 쪽이 축에서 더 멀어 값이 더 작다.

축 x=3 은 정의역 4≦x≦6 의 왼쪽 바깥에 있으므로 구간 안에서는 단조증가한다. 최솟값은 왼쪽 끝 x=4 에서 f(4)=16−24+10=2 이다. 1 은 꼭짓점의 값이지만 x=3 은 정의역 밖이다. 최댓값은 오른쪽 끝 x=6 에서의 10 이다.

축 x=a 는 a>2 이므로 정의역의 오른쪽 바깥에 있다. 구간 안에서는 단조감소하므로 최솟값은 오른쪽 끝 x=2 에서 f(2)=4−4a 이다. −a² 는 꼭짓점의 값이지만 x=a 는 정의역 밖이라 취할 수 없다. 예를 들어 a=3 이면 f(2)=−8 이고, 4−4×3=−8 과 일치한다.

축 x=1 에서 먼 쪽 끝은 x=3 이므로 최댓값은 f(3)=9−6+c=3+c 이다. 3+c=7 에서 c=4 이다. c=7 은 최댓값을 f(0)=c 로 잘못 본 실수이고, c=8 은 최솟값 f(1)=c−1 을 7 로 놓은 실수이다. c=4 일 때 f(3)=7 임을 확인할 수 있다.

t=x²−2x 로 놓으면 t=(x−1)²−1≧−1 이다. y=t²−4t+1=(t−2)²−3 이고, t=2 는 t≧−1 의 범위 안에 있으므로 최솟값은 −3 이다(t=2, 즉 x²−2x=2 일 때). t 의 범위의 끝인 t=−1 에서는 y=6 이 되지만 최소는 아니다. 치환했으면 t 의 범위 확인을 잊지 않아야 한다.

(x−2)(x−3)=0 이므로 x=2, 3 이다. 곱해서 +6, 더해서 −5 가 되는 두 수는 −2 와 −3 이므로 인수는 (x−2)(x−3) 이고, 해는 부호가 되돌아와 2 와 3 이 된다. 해를 −2, −3 이라고 하는 것은 인수의 부호와 해의 부호를 뒤바꾼 실수이다.

근의 공식으로 x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2 이다. 2±2√2 는 마지막에 2 로 나누는 것을 잊은 실수이다. √8=2√2 의 변형과 약분을 꼼꼼히 한다. x=1+√2 를 대입하면 (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 이 되어 확인할 수 있다.

십자 곱셈법으로 (2x−1)(x+2)=0 이 된다. 2x−1=0 에서 x=1/2, x+2=0 에서 x=−2 이다. 인수 (x+2) 에서 나오는 해는 −2 로 부호가 반대가 된다는 점에 주의한다. x=−1/2, 2 는 양쪽 부호를 모두 반대로 한 실수이다.

중근의 조건은 D=0 이다. D=16−4k=0 에서 k=4 이다. 이때 x²+4x+4=(x+2)²=0 이 되어 중근 x=−2 를 가진다. k=16 은 D=16−k 로 두어 4 를 곱하는 것을 잊은 실수이다.

조건은 D>0 이다. D=9−4k>0 에서 4k<9, 즉 k<9/4 이다. 등호(k=9/4)는 중근이 되므로 포함하지 않는다. k>−9/4 는 D=9+4k 로 부호를 틀렸을 때 나오는 꼴이다.

x²−4x+5=0 의 판별식은 D=16−20=−4<0 이므로 실근이 없고 교점은 0 개이다. 그래프에서는 꼭짓점 (2, 1) 이 x 축보다 위에 있고 아래로 볼록하므로 전체가 x 축에서 떨어져 있다. 포물선과 x 축의 교점이 3 개가 되는 일은 없다.

y=0 으로 놓은 x²+2x−3=0 을 푼다. (x+3)(x−1)=0 에서 x=−3, 1 이다. 곱해서 −3, 더해서 +2 가 되는 두 수는 +3 과 −1 이고, 인수 (x+3) 에서 나오는 해는 −3 이 된다. x=3, −1 은 부호를 반대로 한 실수이다.

접할 조건은 D=0 이다. D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 에서 k=2, −1 이다. k=2 일 때 x²−4x+4=(x−2)², k=−1 일 때 x²+2x+1=(x+1)² 이 되어 둘 다 확실히 접한다.

y 를 소거하면 x²+1=2x+4 이고, 정리하면 x²−2x−3=0 이다. (x−3)(x+1)=0 에서 x=−1, 3 이다. 판별식은 D=4+12=16>0 이므로 교점은 분명히 2 개 있다. 이항할 때의 부호 실수에 주의한다.

조건은 D≧0 이다. D/4=(a+1)²−4≧0 에서 (a+1)²≧4 이므로 a+1≦−2 또는 a+1≧2 이다. 따라서 a≦−3 또는 a≧1 이다. −3≦a≦1 은 부등호의 방향을 잘못 보아 안쪽으로 만든 실수이다. 중근도 실근이므로 등호를 포함한다.

x²−5x+6=0 의 해는 x=2, 3 이다. 아래로 볼록한 그래프가 x 축보다 아래가 되는 것은 두 해의 안쪽이므로 2<x<3 이다. 바깥쪽을 답하는 것은 >0 인 경우와 혼동한 것이다. x=2.5 를 대입하면 6.25−12.5+6=−0.25<0 으로 성립하여 안쪽이 옳음을 확인할 수 있다.

x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 의 해는 x=−2, 3 이다. >0 은 그래프가 x 축보다 위, 즉 바깥쪽이므로 x<−2 또는 x>3 이다. −2<x<3 은 안쪽으로 <0 일 때의 해이다. 인수 (x+2) 에서 나오는 해는 −2 이므로 부호를 뒤바꾸지 않도록 주의한다.

x²−4=(x+2)(x−2)=0 의 해는 x=±2 이다. ≦0 은 안쪽이고 등호가 붙어 있으므로 끝점까지 포함하여 −2≦x≦2 이다. −2<x<2 는 등호를 빠뜨린 실수이다. x=±2 에서는 좌변이 0 이 되어 '≦0'을 만족하므로 끝점을 포함한다.

십자 곱셈법으로 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 의 해는 x=1/2, 2 이다. <0(등호 없음)은 안쪽이므로 1/2<x<2 이다. x=1 을 대입하면 2−5+2=−1<0 으로 성립하여 안쪽임을 확인할 수 있다.

x²−6x+9=(x−3)² 이고 그래프는 x=3 에서 x 축에 접한다. (x−3)² 은 x=3 일 때만 0 이고 그 밖에서는 양수이다. 따라서 해는 3 이외의 모든 실수이다. '모든 실수'라고 하면 좌변이 0 이 되는 x=3 이 섞여 들어간다.

D=4−12=−8<0 이고 아래로 볼록한 그래프는 x 축과 만나지 않아 항상 위쪽에 있다. 따라서 해는 모든 실수이다. y=(x+1)²+2≧2>0 으로 완전제곱꼴을 만들어도 확인할 수 있다. D<0 만 보고 기계적으로 '해가 없다'고 하는 것은 <0 인 부등식과 혼동한 것이다.

양변에 −1 을 곱하고 부등호의 방향을 바꾸면 x²−4x+3≦0 이다. (x−1)(x−3)=0 의 해는 x=1, 3 이고 ≦0 은 안쪽이므로 1≦x≦3 이다. −1 을 곱하고도 방향 바꾸기를 잊으면 바깥쪽을 답하게 된다. x=2 에서 −4+8−3=1≧0 이 성립하는 것으로도 안쪽임을 알 수 있다.

x²−2x−2=0 을 근의 공식으로 풀면 x=(2±√12)/2=1±√3 이다. <0 은 안쪽이므로 1−√3<x<1+√3 이다. 끝점이 무리수여도 하는 일은 같으며, √12=2√3 의 약분을 정확히 하는 것이 요점이다.

아래로 볼록한 포물선이 항상 x 축보다 위에 있을 조건은 D<0 이다. D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 에서 −2<k<3 이다. 바깥쪽으로 하면 D>0(두 점에서 만난다)이 되어 반대 상황이 된다. k=3 에서는 접하여 x=−3 일 때 0 이 되므로 '>0'이 무너져 끝점은 포함하지 않는다.

앞의 식은 (x−5)(x+1)≦0 에서 −1≦x≦5 이다. 뒤의 식은 x(x−2)>0 에서 x<0 또는 x>2 이다. 공통부분은 −1≦x<0 과 2<x≦5 이고, 정수는 −1, 3, 4, 5 의 4 개이다. 0 과 2 는 뒤의 식을 만족하지 않으므로(좌변이 0 이 되어 >0 이 아니다) 세지 않는다.