Hàm số bậc hai (数学Ⅰ, tức Toán I bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Từ y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 suy ra đỉnh là (2, −3). Hoành độ đỉnh của (x−2)² là +2, tức dấu bị đảo lại so với trong ngoặc. Điểm (2, 1) là lỗi quên trừ 4, còn (2, 5) là lỗi lấy +4 thay cho −4.

Ta có y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4. Vì (x+3)²=(x−(−3))² nên hoành độ đỉnh là −3, và đỉnh là (−3, −4). Điểm (3, −4) là lỗi đọc sai dấu, còn (−3, 5) là lỗi bỏ sót −9.

Ta có 2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5. Kết quả −1 là lỗi quên nhân hệ số 2 khi đưa −4 ra ngoài, chỉ tính −4+3=−1. Nên khai triển lại để xem có trở về 2x²−8x+3 không.

Từ y=(x+1)²−1 suy ra trục đối xứng là đường thẳng x=−1. Vị trí của trục bằng một nửa hệ số của x rồi đổi dấu, ở đây một nửa của 2 là 1 và đổi dấu thành −1. Đường x=1 là lỗi sai dấu, còn x=−2 là lỗi quên chia đôi.

Ta có −(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3, nên đỉnh là (2, 3). Điểm (2, −5) là lỗi xử lý sai dấu của −4 và tính thành −4−1. Cần chú ý dấu khi phá ngoặc đã đặt −1 ra ngoài.

Tịnh tiến p theo phương trục x thì trong công thức x đổi thành x−p, nên dịch +3 cho (x−3)². Theo phương trục y là −2 nên cuối cùng trừ đi 2. Điểm mấu chốt của phép tịnh tiến là dấu trong công thức ngược với chiều dịch chuyển, và (x+3)² là lỗi quên đảo dấu.

Dịch −1 theo phương trục x nghĩa là x đổi thành x−(−1)=x+1, cho 2(x+1)², rồi dịch +4 theo phương trục y nên cộng 4 ở cuối. Kiểm tra bằng đỉnh: (0,0) chuyển thành (−1,4), trùng với đỉnh (−1,4) của y=2(x+1)²+4.

Đối xứng qua trục x là phép thay y bằng −y, cho y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3, tức dấu của mọi hạng tử đều đổi. Biểu thức y=x²+2x+3 là kết quả của đối xứng qua trục y, tức thay x bằng −x, rất dễ nhầm.

Đối xứng qua gốc tọa độ là thay đồng thời x bằng −x và y bằng −y. Từ −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 suy ra y=−x²−4x−5. Biểu thức y=−x²+4x−5 mới chỉ đối xứng qua trục x, còn y=x²+4x+5 mới chỉ đối xứng qua trục y, đều là lỗi quên một phép thay.

Đặt dạng đỉnh y=a(x−1)²+2 rồi thay (0, 4) vào được a+2=4, suy ra a=2. Parabol y=2(x+1)²+2 cũng đi qua (0, 4) nhưng có đỉnh (−1, 2) nên không hợp điều kiện. Còn y=(x−1)²+2 tại x=0 cho giá trị 3 nên không đi qua điểm đã cho.

Từ y=(x−1)²+2, parabol có bề lõm hướng lên với đỉnh (1, 2), nên giá trị nhỏ nhất là 2, đạt khi x=1. Nếu không có ràng buộc về tập xác định thì giá trị nhỏ nhất chính là tung độ của đỉnh. Số 3 là giá trị tại x=0 và không phải giá trị nhỏ nhất.

Từ y=−(x−2)²+4, parabol có bề lõm hướng xuống với đỉnh (2, 4), nên giá trị lớn nhất là 4, đạt khi x=2. Parabol quay bề lõm xuống đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh và không có giá trị nhỏ nhất. Nếu sai dấu sẽ ra −4, nhưng thay x=2 vào được −4+8=4 nên kiểm tra được ngay.

Biểu thức đã ở dạng đỉnh, với đỉnh (3, 1). Vì a=2>0 nên bề lõm hướng lên, giá trị nhỏ nhất là 1, đạt khi x=3. Đừng đọc lẫn tọa độ đỉnh (3, 1): x=3 và giá trị nhỏ nhất bằng 1. Số 19 là giá trị tại x=0.

Trục đối xứng x=1 nằm trong tập xác định, nên giá trị lớn nhất đạt tại đầu mút xa trục hơn là x=3: f(3)=(3−1)²+2=4+2=6. Số 2 là giá trị nhỏ nhất tại đỉnh. Số 18 là lỗi tính thành (3+1)² do sai dấu.

Trục đối xứng x=2 nằm ngoài bên phải của tập xác định 0≦x≦1, nên trên đoạn đó hàm số nghịch biến. Giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút phải x=1: f(1)=1−4+1=−2. Số −3 là tung độ đỉnh, nhưng x=2 nằm ngoài tập xác định nên không đạt được. Bỏ qua tập xác định rồi trả lời bằng đỉnh là lỗi điển hình.

Ta có y=−(x−1)²+3. Parabol quay bề lõm xuống và trục x=1 nằm trong tập xác định, nên giá trị lớn nhất đạt tại đỉnh: f(1)=3. Giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút xa trục hơn là x=3: f(3)=−9+6+2=−1. Giá trị f(0)=2 cũng là giá trị tại đầu mút, nhưng x=3 xa trục hơn nên cho giá trị nhỏ hơn.

Trục đối xứng x=3 nằm ngoài bên trái của tập xác định 4≦x≦6, nên trên đoạn đó hàm số đồng biến. Giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút trái x=4: f(4)=16−24+10=2. Số 1 là giá trị tại đỉnh nhưng x=3 nằm ngoài tập xác định. Giá trị lớn nhất là 10, đạt tại đầu mút phải x=6.

Vì a>2 nên trục đối xứng x=a nằm ngoài bên phải tập xác định. Trên đoạn đó hàm số nghịch biến, nên giá trị nhỏ nhất đạt tại đầu mút phải x=2: f(2)=4−4a. Giá trị −a² là giá trị tại đỉnh nhưng x=a nằm ngoài tập xác định nên không đạt được. Chẳng hạn với a=3 thì f(2)=−8, khớp với 4−4×3=−8.

Đầu mút xa trục x=1 hơn là x=3, nên giá trị lớn nhất là f(3)=9−6+c=3+c. Từ 3+c=7 suy ra c=4. Kết quả c=7 là lỗi coi giá trị lớn nhất là f(0)=c, còn c=8 là lỗi đặt giá trị nhỏ nhất f(1)=c−1 bằng 7. Với c=4 có thể kiểm tra được f(3)=7.

Đặt t=x²−2x thì t=(x−1)²−1≧−1. Ta có y=t²−4t+1=(t−2)²−3, và t=2 nằm trong miền t≧−1, nên giá trị nhỏ nhất là −3, đạt khi t=2 tức x²−2x=2. Tại đầu mút t=−1 thì y=6, không phải giá trị nhỏ nhất. Sau khi đặt ẩn phụ, đừng quên kiểm tra miền giá trị của t.

Từ (x−2)(x−3)=0 suy ra x=2, 3. Hai số có tích bằng +6 và tổng bằng −5 là −2 và −3, nên các nhân tử là (x−2)(x−3) và nghiệm đảo dấu trở lại thành 2 và 3. Trả lời −2, −3 là lỗi lẫn lộn dấu của nhân tử với dấu của nghiệm.

Dùng công thức nghiệm: x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2. Kết quả 2±2√2 là lỗi quên chia cho 2 ở bước cuối. Cần biến đổi √8=2√2 rồi rút gọn cẩn thận. Thay x=1+√2 vào được (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 nên kiểm tra được.

Nhân chéo được (2x−1)(x+2)=0. Từ 2x−1=0 có x=1/2, từ x+2=0 có x=−2. Chú ý nhân tử (x+2) cho nghiệm −2, tức dấu ngược lại. Kết quả x=−1/2, 2 là lỗi đảo dấu cả hai nghiệm.

Điều kiện có nghiệm kép là D=0. Từ D=16−4k=0 suy ra k=4. Khi đó x²+4x+4=(x+2)²=0 với nghiệm kép x=−2. Kết quả k=16 là lỗi viết D=16−k, tức quên nhân 4.

Điều kiện là D>0. Từ D=9−4k>0 suy ra 4k<9, tức k<9/4. Không lấy dấu bằng vì k=9/4 cho nghiệm kép. Kết quả k>−9/4 xuất hiện khi tính nhầm dấu thành D=9+4k.

Biệt thức của x²−4x+5=0 là D=16−20=−4<0 nên không có nghiệm thực, tức có 0 điểm chung. Trên đồ thị, đỉnh (2, 1) nằm phía trên trục x và parabol có bề lõm hướng lên nên toàn bộ đồ thị tách khỏi trục x. Parabol và trục x không bao giờ có 3 điểm chung.

Cho y=0 rồi giải x²+2x−3=0. Từ (x+3)(x−1)=0 suy ra x=−3, 1. Hai số có tích bằng −3 và tổng bằng +2 là +3 và −1, và nhân tử (x+3) cho nghiệm −3. Kết quả x=3, −1 là lỗi đảo dấu.

Điều kiện tiếp xúc là D=0. Từ D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 suy ra k=2, −1. Với k=2 ta có x²−4x+4=(x−2)², với k=−1 ta có x²+2x+1=(x+1)², cả hai đều thật sự tiếp xúc.

Khử y được x²+1=2x+4, rút gọn thành x²−2x−3=0. Từ (x−3)(x+1)=0 suy ra x=−1, 3. Biệt thức D=4+12=16>0 nên đúng là có 2 điểm chung. Cần chú ý dấu khi chuyển vế.

Điều kiện là D≧0. Từ D/4=(a+1)²−4≧0 suy ra (a+1)²≧4, tức a+1≦−2 hoặc a+1≧2, vậy a≦−3 hoặc a≧1. Kết quả −3≦a≦1 là lỗi lấy nhầm chiều bất đẳng thức thành phần bên trong. Nghiệm kép cũng là nghiệm thực nên phải lấy dấu bằng.

Phương trình x²−5x+6=0 có nghiệm x=2, 3. Đồ thị có bề lõm hướng lên nên nằm dưới trục x ở phần giữa hai nghiệm, tức 2<x<3. Trả lời phần bên ngoài là do nhầm với trường hợp >0. Thay x=2.5 được 6.25−12.5+6=−0.25<0 nên đúng là phần bên trong.

Phương trình x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 có nghiệm x=−2, 3. Dấu >0 nghĩa là đồ thị nằm trên trục x, tức phần bên ngoài, nên x<−2 hoặc x>3. Phần −2<x<3 là bên trong, ứng với dấu <0. Cũng cần chú ý nhân tử (x+2) cho nghiệm −2.

Phương trình x²−4=(x+2)(x−2)=0 có nghiệm x=±2. Dấu ≦0 ứng với phần bên trong, và vì có dấu bằng nên lấy cả hai đầu mút: −2≦x≦2. Kết quả −2<x<2 là lỗi bỏ mất dấu bằng. Tại x=±2 vế trái bằng 0, thỏa mãn ≦0, nên đầu mút được lấy.

Nhân chéo được 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 với nghiệm x=1/2, 2. Dấu <0 không có dấu bằng nên nghiệm là phần bên trong: 1/2<x<2. Thay x=1 được 2−5+2=−1<0, xác nhận là phần bên trong.

Ta có x²−6x+9=(x−3)² và đồ thị tiếp xúc trục x tại x=3. Biểu thức (x−3)² chỉ bằng 0 khi x=3, còn lại luôn dương. Vậy nghiệm là mọi số thực khác 3. Nếu trả lời mọi số thực thì đã đưa cả x=3 vào, trong khi tại đó vế trái bằng 0.

Ta có D=4−12=−8<0, đồ thị có bề lõm hướng lên và không cắt trục x nên luôn nằm phía trên. Vậy nghiệm là mọi số thực. Cũng có thể đưa về y=(x+1)²+2≧2>0 để xác nhận. Thấy D<0 rồi kết luận máy móc là vô nghiệm chính là nhầm với bất phương trình dấu <0.

Nhân hai vế với −1 và đổi chiều bất đẳng thức được x²−4x+3≦0. Phương trình (x−1)(x−3)=0 có nghiệm x=1, 3, và dấu ≦0 ứng với phần bên trong nên 1≦x≦3. Nếu nhân với −1 mà quên đổi chiều thì sẽ trả lời phần bên ngoài. Thay x=2 được −4+8−3=1≧0, cũng cho thấy nghiệm là phần bên trong.

Giải x²−2x−2=0 bằng công thức nghiệm được x=(2±√12)/2=1±√3. Dấu <0 ứng với phần bên trong nên nghiệm là 1−√3<x<1+√3. Đầu mút là số vô tỉ thì cách làm vẫn vậy, mấu chốt là rút gọn đúng √12=2√3.

Điều kiện để parabol có bề lõm hướng lên luôn nằm trên trục x là D<0. Từ D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 suy ra −2<k<3. Nếu lấy phần bên ngoài thì được D>0, tức đồ thị cắt trục x tại 2 điểm, đúng là tình huống ngược lại. Tại k=3 đồ thị tiếp xúc và bằng 0 khi x=−3, làm hỏng dấu >0, nên không lấy đầu mút.

Bất phương trình thứ nhất là (x−5)(x+1)≦0 cho −1≦x≦5. Bất phương trình thứ hai là x(x−2)>0 cho x<0 hoặc x>2. Phần chung gồm −1≦x<0 và 2<x≦5, các số nguyên là −1, 3, 4, 5, tất cả 4 số. Hai giá trị 0 và 2 không thỏa mãn bất phương trình thứ hai vì vế trái bằng 0, không lớn hơn 0, nên không được đếm.