ฟังก์ชันกำลังสอง

จาก y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 จุดยอดคือ (2, −3) พิกัด x ของจุดยอดของ (x−2)² คือ +2 ซึ่งเครื่องหมายกลับกันกับในวงเล็บ ข้อ (2, 1) เกิดจากลืมลบ −4 ส่วน (2, 5) เกิดจากคิด −4 ผิดเป็น +4

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4 เนื่องจาก (x+3)²=(x−(−3))² พิกัด x ของจุดยอดจึงเป็น −3 ได้จุดยอด (−3, −4) ข้อ (3, −4) เกิดจากอ่านเครื่องหมายผิด ส่วน (−3, 5) เกิดจากทำ −9 ตกหล่น

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5 ข้อที่ได้ −1 เกิดจากลืมคูณสัมประสิทธิ์ 2 ตอนดึง −4 ออกมานอกวงเล็บ คือคิดเป็น −4+3=−1 ควรกระจายกลับเพื่อตรวจว่าได้ 2x²−8x+3 เหมือนเดิม

จาก y=(x+1)²−1 แกนสมมาตรคือเส้นตรง x=−1 ตำแหน่งของแกนคือครึ่งหนึ่งของสัมประสิทธิ์ของ x แล้วกลับเครื่องหมาย นั่นคือครึ่งหนึ่งของ 2 เท่ากับ 1 แล้วกลับเครื่องหมายเป็น −1 ข้อ x=1 ผิดที่เครื่องหมาย ส่วน x=−2 เกิดจากลืมหารครึ่ง

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3 จุดยอดจึงเป็น (2, 3) ข้อ (2, −5) เกิดจากจัดการเครื่องหมายของ −4 ผิดแล้วคิดเป็น −4−1 ต้องระวังเครื่องหมายตอนถอดวงเล็บที่ดึง −1 ออกมา

การเลื่อนไปตามแกน x เป็นระยะ p ทำให้ในสมการต้องเปลี่ยน x เป็น x−p ดังนั้นการเลื่อน +3 จึงได้ (x−3)² ส่วนแกน y เลื่อน −2 จึงบวก −2 ไว้ท้ายสุด จุดสำคัญของการเลื่อนขนานคือเครื่องหมายในสมการกลับกันกับทิศการเลื่อน ข้อ (x+3)² เกิดจากลืมการกลับเครื่องหมายนี้

การเลื่อนตามแกน x เป็นระยะ −1 คือเปลี่ยน x เป็น x−(−1)=x+1 จึงได้ 2(x+1)² และเลื่อนตามแกน y เป็น +4 จึงบวก 4 ไว้ท้ายสุด ถ้าตรวจด้วยจุดยอดจะได้ (0,0)→(−1,4) ซึ่งตรงกับจุดยอด (−1,4) ของ y=2(x+1)²+4

การสะท้อนเทียบกับแกน x คือแทน y ด้วย −y จึงได้ y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3 เครื่องหมายของทุกพจน์เปลี่ยนหมด ข้อ y=x²+2x+3 เป็นผลของการสะท้อนเทียบกับแกน y ซึ่งใช้การแทน x ด้วย −x และมักถูกสับสนกัน

การสะท้อนผ่านจุดกำเนิดคือแทน x ด้วย −x และแทน y ด้วย −y จาก −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 จึงได้ y=−x²−4x−5 ข้อ y=−x²+4x−5 เป็นการสะท้อนเทียบกับแกน x เพียงอย่างเดียว และ y=x²+4x+5 เป็นการสะท้อนเทียบกับแกน y เพียงอย่างเดียว ซึ่งเกิดจากลืมการแทนค่าไปหนึ่งอย่าง

ตั้งรูปจุดยอด y=a(x−1)²+2 แล้วแทน (0, 4) ได้ a+2=4 นั่นคือ a=2 ส่วน y=2(x+1)²+2 ก็ผ่านจุด (0, 4) เช่นกัน แต่จุดยอดเป็น (−1, 2) จึงไม่ตรงเงื่อนไข และ y=(x−1)²+2 เมื่อ x=0 จะได้ 3 จึงไม่ผ่านจุดนั้น

จาก y=(x−1)²+2 กราฟหงายขึ้นและมีจุดยอด (1, 2) ค่าต่ำสุดจึงเป็น 2 เมื่อ x=1 ถ้าไม่มีการจำกัดโดเมน ค่าต่ำสุดคือพิกัด y ของจุดยอดพอดี ข้อ 3 เป็นค่าที่ได้จากการแทน x=0 ซึ่งไม่ใช่ค่าต่ำสุด

จาก y=−(x−2)²+4 กราฟคว่ำลงและมีจุดยอด (2, 4) ค่าสูงสุดจึงเป็น 4 เมื่อ x=2 กราฟคว่ำลงจะมีค่าสูงสุดที่จุดยอดและไม่มีค่าต่ำสุด ถ้าคิดเครื่องหมายผิดจะได้ −4 แต่เมื่อแทน x=2 จะได้ −4+8=4 ซึ่งตรวจสอบได้

สมการอยู่ในรูปจุดยอดอยู่แล้ว จุดยอดคือ (3, 1) เนื่องจาก a=2>0 กราฟหงายขึ้น ค่าต่ำสุดจึงเป็น 1 เมื่อ x=3 อย่าอ่านพิกัดจุดยอด (3, 1) สลับกัน คือ x=3 และค่าต่ำสุดคือ 1 ข้อ 19 เป็นค่าที่ x=0

แกนสมมาตร x=1 อยู่ในโดเมน ค่าสูงสุดจึงเกิดที่ปลายที่อยู่ไกลจากแกนมากกว่า นั่นคือ x=3 ได้ f(3)=(3−1)²+2=4+2=6 ข้อ 2 คือค่าต่ำสุดที่จุดยอด ส่วน 18 เกิดจากคิดเครื่องหมายผิดเป็น (3+1)²

แกนสมมาตร x=2 อยู่นอกโดเมน 0≦x≦1 ทางขวา ในช่วงนี้ฟังก์ชันจึงลดลงอย่างเดียว ค่าต่ำสุดอยู่ที่ปลายขวา x=1 คือ f(1)=1−4+1=−2 ข้อ −3 เป็นพิกัด y ของจุดยอด แต่ x=2 อยู่นอกโดเมนจึงเลือกไม่ได้ การตอบด้วยจุดยอดโดยไม่ดูโดเมนเป็นความผิดพลาดแบบฉบับ

y=−(x−1)²+3 กราฟคว่ำลงและแกนสมมาตร x=1 อยู่ในโดเมน ค่าสูงสุดจึงอยู่ที่จุดยอด f(1)=3 ส่วนค่าต่ำสุดอยู่ที่ปลายที่ไกลจากแกนมากกว่า คือ x=3 ได้ f(3)=−9+6+2=−1 ค่า f(0)=2 เป็นค่าที่ปลายอีกด้าน แต่ x=3 อยู่ไกลจากแกนมากกว่าจึงให้ค่าที่เล็กกว่า

แกนสมมาตร x=3 อยู่นอกโดเมน 4≦x≦6 ทางซ้าย ในช่วงนี้ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นอย่างเดียว ค่าต่ำสุดอยู่ที่ปลายซ้าย x=4 คือ f(4)=16−24+10=2 ข้อ 1 เป็นค่าที่จุดยอด แต่ x=3 อยู่นอกโดเมน ส่วนค่าสูงสุดอยู่ที่ปลายขวา x=6 ซึ่งเท่ากับ 10

แกนสมมาตร x=a อยู่นอกโดเมนทางขวาเพราะ a>2 ในช่วงนี้ฟังก์ชันลดลงอย่างเดียว ค่าต่ำสุดจึงอยู่ที่ปลายขวา x=2 คือ f(2)=4−4a ข้อ −a² เป็นค่าที่จุดยอด แต่ x=a อยู่นอกโดเมนจึงเลือกไม่ได้ ตัวอย่างเช่นถ้า a=3 จะได้ f(2)=−8 ซึ่งตรงกับ 4−4×3=−8

ปลายที่อยู่ไกลจากแกนสมมาตร x=1 มากกว่าคือ x=3 ค่าสูงสุดจึงเป็น f(3)=9−6+c=3+c จาก 3+c=7 ได้ c=4 ข้อ c=7 เกิดจากคิดผิดว่าค่าสูงสุดคือ f(0)=c ส่วน c=8 เกิดจากตั้งค่าต่ำสุด f(1)=c−1 ให้เท่ากับ 7 เมื่อ c=4 ตรวจได้ว่า f(3)=7

ให้ t=x²−2x จะได้ t=(x−1)²−1≧−1 และ y=t²−4t+1=(t−2)²−3 เนื่องจาก t=2 อยู่ในช่วง t≧−1 ค่าต่ำสุดจึงเป็น −3 ซึ่งเกิดเมื่อ t=2 นั่นคือเมื่อ x²−2x=2 ที่ปลายช่วง t=−1 จะได้ y=6 ซึ่งไม่ใช่ค่าต่ำสุด เมื่อแทนด้วยตัวแปรใหม่แล้วอย่าลืมตรวจช่วงของ t

จาก (x−2)(x−3)=0 ได้ x=2, 3 สองจำนวนที่คูณกันได้ +6 และบวกกันได้ −5 คือ −2 กับ −3 ตัวประกอบจึงเป็น (x−2)(x−3) และคำตอบกลับเครื่องหมายเป็น 2 กับ 3 การตอบว่าคำตอบคือ −2, −3 เกิดจากสับสนระหว่างเครื่องหมายในตัวประกอบกับเครื่องหมายของคำตอบ

ใช้สูตรกำลังสองได้ x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2 ข้อ 2±2√2 เกิดจากลืมหารด้วย 2 ในขั้นสุดท้าย ต้องจัดรูป √8=2√2 และตัดทอนอย่างระมัดระวัง เมื่อแทน x=1+√2 จะได้ (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 ซึ่งใช้ตรวจสอบได้

ใช้วิธีไขว้ได้ (2x−1)(x+2)=0 จาก 2x−1=0 ได้ x=1/2 และจาก x+2=0 ได้ x=−2 ให้ระวังว่าตัวประกอบ (x+2) ให้คำตอบ −2 ซึ่งเครื่องหมายกลับกัน ข้อ x=−1/2, 2 เกิดจากกลับเครื่องหมายทั้งสองค่า

เงื่อนไขของการมีรากซ้ำคือ D=0 จาก D=16−4k=0 ได้ k=4 ในกรณีนี้ x²+4x+4=(x+2)²=0 จึงมีรากซ้ำ x=−2 ข้อ k=16 เกิดจากคิดเป็น D=16−k คือลืมคูณด้วย 4

เงื่อนไขคือ D>0 จาก D=9−4k>0 ได้ 4k<9 นั่นคือ k<9/4 ไม่รวมกรณีเท่ากับ เพราะ k=9/4 จะให้รากซ้ำ ข้อ k>−9/4 เป็นรูปที่เกิดเมื่อคิดเครื่องหมายผิดเป็น D=9+4k

ดิสคริมิแนนต์ของ x²−4x+5=0 คือ D=16−20=−4<0 จึงไม่มีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง และไม่มีจุดร่วม เมื่อดูจากกราฟ จุดยอด (2, 1) อยู่เหนือแกน x และกราฟหงายขึ้น ทั้งกราฟจึงลอยอยู่เหนือแกน x พาราโบลากับแกน x ไม่มีทางมีจุดร่วมถึง 3 จุด

แก้สมการที่ได้จากการให้ y=0 คือ x²+2x−3=0 จาก (x+3)(x−1)=0 ได้ x=−3, 1 สองจำนวนที่คูณกันได้ −3 และบวกกันได้ +2 คือ +3 กับ −1 และตัวประกอบ (x+3) ให้คำตอบ −3 ข้อ x=3, −1 เกิดจากกลับเครื่องหมาย

เงื่อนไขของการสัมผัสคือ D=0 จาก D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 ได้ k=2, −1 เมื่อ k=2 จะได้ x²−4x+4=(x−2)² และเมื่อ k=−1 จะได้ x²+2x+1=(x+1)² ซึ่งสัมผัสแกน x จริงทั้งสองกรณี

กำจัด y ได้ x²+1=2x+4 จัดรูปเป็น x²−2x−3=0 จาก (x−3)(x+1)=0 ได้ x=−1, 3 ดิสคริมิแนนต์คือ D=4+12=16>0 จึงมีจุดร่วม 2 จุดจริง ให้ระวังความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายตอนย้ายข้าง

เงื่อนไขคือ D≧0 จาก D/4=(a+1)²−4≧0 ได้ (a+1)²≧4 นั่นคือ a+1≦−2 หรือ a+1≧2 จึงได้ a≦−3 หรือ a≧1 ข้อ −3≦a≦1 เกิดจากกลับทิศอสมการผิดแล้วเลือกช่วงด้านใน รากซ้ำก็นับเป็นคำตอบจำนวนจริง จึงต้องรวมกรณีเท่ากับด้วย

คำตอบของ x²−5x+6=0 คือ x=2, 3 กราฟหงายขึ้นจะอยู่ต่ำกว่าแกน x ในช่วงระหว่างคำตอบทั้งสอง จึงได้ 2<x<3 การตอบช่วงด้านนอกคือการสับสนกับกรณี >0 เมื่อแทน x=2.5 จะได้ 6.25−12.5+6=−0.25<0 ซึ่งเป็นจริง ยืนยันว่าช่วงด้านในถูกต้อง

คำตอบของ x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 คือ x=−2, 3 เครื่องหมาย >0 หมายถึงกราฟอยู่เหนือแกน x นั่นคือช่วงด้านนอก จึงได้ x<−2 หรือ x>3 ข้อ −2<x<3 เป็นช่วงด้านในซึ่งเป็นคำตอบของกรณี <0 ตัวประกอบ (x+2) ให้คำตอบ −2 จึงต้องระวังการสลับเครื่องหมายด้วย

คำตอบของ x²−4=(x+2)(x−2)=0 คือ x=±2 เครื่องหมาย ≦0 ให้ช่วงด้านในและมีกรณีเท่ากับ จึงรวมจุดปลายด้วยเป็น −2≦x≦2 ข้อ −2<x<2 เกิดจากทำกรณีเท่ากับตกหล่น ที่ x=±2 ข้างซ้ายเท่ากับ 0 ซึ่งสอดคล้องกับ ≦0 จุดปลายจึงรวมอยู่ด้วย

ใช้วิธีไขว้ได้ 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 คำตอบคือ x=1/2, 2 เครื่องหมาย <0 ที่ไม่มีกรณีเท่ากับให้ช่วงด้านใน จึงได้ 1/2<x<2 เมื่อแทน x=1 จะได้ 2−5+2=−1<0 ซึ่งเป็นจริง ยืนยันว่าเป็นช่วงด้านใน

x²−6x+9=(x−3)² กราฟจึงสัมผัสแกน x ที่ x=3 นิพจน์ (x−3)² มีค่าเป็น 0 เฉพาะเมื่อ x=3 และเป็นบวกในกรณีอื่น คำตอบจึงเป็นจำนวนจริงทุกจำนวนยกเว้น 3 ถ้าตอบว่าจำนวนจริงทุกจำนวน จะมี x=3 ซึ่งทำให้ข้างซ้ายเป็น 0 ปนเข้ามาด้วย

D=4−12=−8<0 กราฟหงายขึ้นจึงไม่มีจุดร่วมกับแกน x และอยู่เหนือแกนเสมอ คำตอบจึงเป็นจำนวนจริงทุกจำนวน จะตรวจด้วยการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์เป็น y=(x+1)²+2≧2>0 ก็ได้ การเห็น D<0 แล้วสรุปทันทีว่าไม่มีคำตอบ เป็นการสับสนกับอสมการที่เป็น <0

คูณทั้งสองข้างด้วย −1 แล้วกลับทิศอสมการได้ x²−4x+3≦0 คำตอบของ (x−1)(x−3)=0 คือ x=1, 3 และ ≦0 ให้ช่วงด้านใน จึงได้ 1≦x≦3 ถ้าคูณด้วย −1 แล้วลืมกลับทิศ จะตอบเป็นช่วงด้านนอก เมื่อแทน x=2 จะได้ −4+8−3=1≧0 ซึ่งเป็นจริง จึงรู้ว่าเป็นช่วงด้านใน

แก้ x²−2x−2=0 ด้วยสูตรกำลังสองได้ x=(2±√12)/2=1±√3 เครื่องหมาย <0 ให้ช่วงด้านใน จึงได้ 1−√3<x<1+√3 แม้จุดปลายจะเป็นจำนวนอตรรกยะ วิธีทำก็เหมือนเดิม จุดสำคัญคือจัดรูป √12=2√3 แล้วตัดทอนให้ถูกต้อง

เงื่อนไขที่พาราโบลาหงายขึ้นอยู่เหนือแกน x เสมอคือ D<0 จาก D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 ได้ −2<k<3 ถ้าเลือกช่วงด้านนอกจะกลายเป็น D>0 คือกราฟตัดแกนสองจุด ซึ่งเป็นสถานการณ์ตรงข้าม เมื่อ k=3 กราฟจะสัมผัสแกนและมีค่าเป็น 0 ที่ x=−3 ทำให้เงื่อนไข >0 เสียไป จึงไม่รวมจุดปลาย

อสมการแรกคือ (x−5)(x+1)≦0 ได้ −1≦x≦5 อสมการหลังคือ x(x−2)>0 ได้ x<0 หรือ x>2 ส่วนร่วมคือ −1≦x<0 กับ 2<x≦5 จำนวนเต็มที่ได้คือ −1, 3, 4, 5 รวม 4 จำนวน ส่วน 0 กับ 2 ไม่สอดคล้องกับอสมการหลัง เพราะทำให้ข้างซ้ายเป็น 0 ซึ่งไม่มากกว่า 0 จึงไม่นับ