二次函數（數學Ⅰ，日本高中必修的第一門數學）

y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3，所以頂點是 (2, −3)。(x−2)² 的頂點 x 坐標是 +2（符號相反）。(2, 1) 是忘了減 4；(2, 5) 是把 −4 誤成 +4。

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4。因為 (x+3)²=(x−(−3))²，所以頂點的 x 坐標是 −3，頂點為 (−3, −4)。(3, −4) 是符號讀錯；(−3, 5) 是漏掉 −9。

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5。−1 是把 −4 移到括號外時忘了乘上係數 2 的錯誤（−4+3=−1）。展開看看能否回到 2x²−8x+3 就能驗算。

y=(x+1)²−1，所以對稱軸是直線 x=−1。把 x 的係數取一半再變號（2 的一半是 1，變號成 −1），就是對稱軸的位置。x=1 是符號錯；x=−2 是忘了取一半。

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3，所以頂點是 (2, 3)。(2, −5) 是 −4 的符號處理錯誤、算成 −4−1。用 −1 提出括號後再拆開時要特別注意符號。

沿 x 方向平移 p 時，式子裡是 x→x−p，所以平移 +3 會得到 (x−3)²。y 方向是 −2，最後再 −2。平移量與式中的符號相反正是重點，(x+3)² 就是忘了這個反轉的錯誤。

沿 x 方向平移 −1 時是 x→x−(−1)=x+1，所以得 2(x+1)²；y 方向 +4，最後再 +4。用頂點檢查：(0,0)→(−1,4)，與 y=2(x+1)²+4 的頂點 (−1,4) 一致。

對 x 軸對稱是把 y 換成 −y，得 y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3，所有項的符號都會改變。y=x²+2x+3 是對 y 軸對稱（x→−x）的結果，很容易混淆。

對原點對稱要同時做 x→−x 與 y→−y。由 −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 得 y=−x²−4x−5。y=−x²+4x−5 只做了對 x 軸對稱、y=x²+4x+5 只做了對 y 軸對稱，都是漏掉一個代換的錯誤。

設頂點式 y=a(x−1)²+2，代入 (0, 4) 得 a+2=4，所以 a=2。y=2(x+1)²+2 雖然也通過 (0, 4)，但頂點是 (−1, 2)，不合條件。y=(x−1)²+2 在 x=0 時為 3，並不通過該點。

y=(x−1)²+2，開口向上且頂點為 (1, 2)，所以 x=1 時最小值為 2。若定義域沒有限制，最小值就是頂點的 y 坐標本身。3 是代入 x=0 的值，並不是最小值。

y=−(x−2)²+4，開口向下且頂點為 (2, 4)，所以 x=2 時最大值為 4。開口向下的圖形在頂點取到最大值（沒有最小值）。符號弄錯會得到 −4，但代入 x=2 可算出 −4+8=4，即可確認。

式子已經是頂點式，頂點為 (3, 1)。因為 a=2>0、開口向上，所以 x=3 時最小值為 1。不要把頂點坐標 (3, 1) 的讀法弄反（x=3、最小值 1）。19 是 x=0 時的值。

對稱軸 x=1 在定義域內，所以最大值出現在離軸較遠的端點 x=3，f(3)=(3−1)²+2=4+2=6。2 是最小值（頂點）。18 是把式子誤算成 (3+1)² 的錯誤。

對稱軸 x=2 在定義域 0≦x≦1 的右外側，所以區間內遞減，最小值在右端點 x=1，f(1)=1−4+1=−2。−3 是頂點的 y 坐標，但 x=2 不在定義域內，取不到。忽略定義域而直接用頂點作答是典型錯誤。

y=−(x−1)²+3。開口向下且對稱軸 x=1 在定義域內，所以最大值在頂點 f(1)=3。最小值在離軸較遠的端點 x=3，f(3)=−9+6+2=−1。f(0)=2 也是端點的值，但 x=3 離軸更遠，值更小。

對稱軸 x=3 在定義域 4≦x≦6 的左外側，所以區間內遞增，最小值在左端點 x=4，f(4)=16−24+10=2。1 是頂點的值，但 x=3 不在定義域內。最大值則是右端點 x=6 的 10。

因為 a>2，對稱軸 x=a 在定義域的右外側。區間內遞減，所以最小值在右端點 x=2，f(2)=4−4a。−a² 是頂點的值，但 x=a 在定義域外，取不到。例如 a=3 時 f(2)=−8，與 4−4×3=−8 一致。

離對稱軸 x=1 較遠的端點是 x=3，所以最大值為 f(3)=9−6+c=3+c。由 3+c=7 得 c=4。c=7 是誤把最大值當成 f(0)=c；c=8 是把最小值 f(1)=c−1 設成 7。當 c=4 時可驗算 f(3)=7。

令 t=x²−2x，則 t=(x−1)²−1≧−1。y=t²−4t+1=(t−2)²−3，而 t=2 落在 t≧−1 的範圍內，所以最小值是 −3（在 t=2，也就是 x²−2x=2 時）。在 t 的範圍端點 t=−1 時 y=6，並不是最小值。代換之後別忘了確認 t 的範圍。

由 (x−2)(x−3)=0 得 x=2, 3。相乘得 +6、相加得 −5 的兩數是 −2 與 −3，所以因式是 (x−2)(x−3)，解則要把符號換回來，得 2 與 3。答成 −2, −3 是把因式的符號與解的符號弄混的錯誤。

用公式解得 x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2。2±2√2 是最後忘了除以 2 的錯誤。要仔細做 √8=2√2 的化簡與約分。代入 x=1+√2 可得 (1+√2)²−2(1+√2)−1=0，可用來檢驗。

用十字交乘法得 (2x−1)(x+2)=0。由 2x−1=0 得 x=1/2，由 x+2=0 得 x=−2。注意因式 (x+2) 對應的解是 −2，符號相反。x=−1/2, 2 是把兩個符號都弄反的錯誤。

重根的條件是 D=0。由 D=16−4k=0 得 k=4。此時 x²+4x+4=(x+2)²=0，重根為 x=−2。k=16 是把判別式誤成 D=16−k、漏乘 4 的錯誤。

條件是 D>0。由 D=9−4k>0 得 4k<9，即 k<9/4。等號（k=9/4）會變成重根，所以不包含。k>−9/4 是把判別式誤成 D=9+4k、符號弄錯時出現的形式。

x²−4x+5=0 的判別式 D=16−20=−4<0，沒有實根，所以交點是 0 個。從圖形看，頂點 (2, 1) 在 x 軸上方，而且開口向上，整條曲線都浮在 x 軸之上。拋物線與 x 軸的交點不可能有 3 個。

令 y=0 解 x²+2x−3=0。由 (x+3)(x−1)=0 得 x=−3, 1。相乘得 −3、相加得 +2 的兩數是 +3 與 −1，而因式 (x+3) 對應的解是 −3。x=3, −1 是把符號弄反的錯誤。

相切的條件是 D=0。D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0，得 k=2, −1。k=2 時為 x²−4x+4=(x−2)²，k=−1 時為 x²+2x+1=(x+1)²，兩者確實都相切。

消去 y 得 x²+1=2x+4，整理成 x²−2x−3=0。由 (x−3)(x+1)=0 得 x=−1, 3。判別式 D=4+12=16>0，所以確實有 2 個交點。移項時要小心符號。

條件是 D≧0。由 D/4=(a+1)²−4≧0 得 (a+1)²≧4，即 a+1≦−2 或 a+1≧2，所以 a≦−3 或 a≧1。−3≦a≦1 是把不等號方向弄反、取成內側的錯誤。重根也是實根，所以要含等號。

x²−5x+6=0 的解是 x=2, 3。開口向上的圖形落在 x 軸下方的部分是兩根之間，所以是 2<x<3。答成外側是與 >0 的情形混淆。代入 x=2.5 得 6.25−12.5+6=−0.25<0 成立，可確認內側才對。

x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 的解是 x=−2, 3。>0 表示圖形在 x 軸上方，也就是兩根的外側，所以是 x<−2 或 x>3。−2<x<3 是內側，那是 <0 的解。另外要注意因式 (x+2) 對應的解是 −2，別把符號弄反。

x²−4=(x+2)(x−2)=0 的解是 x=±2。≦0 取內側，而且有等號，所以連端點一起包含，得 −2≦x≦2。−2<x<2 是漏掉等號的錯誤。x=±2 時左邊為 0，滿足 ≦0，所以端點要包含。

用十字交乘法得 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0，解是 x=1/2, 2。<0（沒有等號）取內側，所以是 1/2<x<2。代入 x=1 得 2−5+2=−1<0 成立，可確認是內側。

x²−6x+9=(x−3)²，圖形在 x=3 處與 x 軸相切。(x−3)² 只有在 x=3 時為 0，其餘都是正的，所以解是除 3 以外的所有實數。答成所有實數就會把 x=3（左邊為 0）也算進去。

D=4−12=−8<0，開口向上的圖形與 x 軸沒有交點，永遠在上方，所以解是所有實數。配方成 y=(x+1)²+2≧2>0 也能確認。看到 D<0 就機械地答沒有解，是與 <0 的不等式混淆。

兩邊乘以 −1 並把不等號方向反過來，得 x²−4x+3≦0。(x−1)(x−3)=0 的解是 x=1, 3，而 ≦0 取內側，所以是 1≦x≦3。乘了 −1 卻忘了改方向，就會答成外側。代入 x=2 得 −4+8−3=1≧0 成立，也可看出是內側。

用公式解 x²−2x−2=0 得 x=(2±√12)/2=1±√3。<0 取內側，所以是 1−√3<x<1+√3。端點是無理數時做法完全一樣，重點在於正確完成 √12=2√3 的化簡與約分。

開口向上的拋物線恆在 x 軸上方的條件是 D<0。由 D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 得 −2<k<3。取外側會變成 D>0（與 x 軸交於兩點），情況正好相反。k=3 時圖形相切，在 x=−3 處等於 0，>0 就不成立，所以端點不包含。

前者由 (x−5)(x+1)≦0 得 −1≦x≦5。後者由 x(x−2)>0 得 x<0 或 x>2。取交集得 −1≦x<0 與 2<x≦5，其中的整數是 −1, 3, 4, 5 共 4 個。0 與 2 不滿足後者（左邊為 0，不是 >0），所以不算。