Fungsi Kuadrat

Karena y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3, titik puncaknya (2, −3). Absis titik puncak dari (x−2)² adalah +2 (tandanya berbalik). Jawaban (2, 1) muncul karena lupa mengurangkan −4, sedangkan (2, 5) muncul karena −4 keliru dianggap +4.

Diperoleh y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4. Karena (x+3)²=(x−(−3))², absis titik puncaknya −3 sehingga titik puncaknya (−3, −4). Jawaban (3, −4) muncul dari salah membaca tanda, sedangkan (−3, 5) muncul karena −9 terlewat.

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5. Nilai −1 muncul karena saat −4 dikeluarkan, koefisien 2 lupa dikalikan (−4+3=−1). Sebaiknya diperiksa kembali dengan menjabarkan, apakah kembali menjadi 2x²−8x+3.

Karena y=(x+1)²−1, sumbu simetrinya adalah garis x=−1. Letak sumbu simetri adalah setengah koefisien x dengan tanda dibalik (setengah dari 2 adalah 1, tandanya dibalik menjadi −1). Jawaban x=1 adalah kesalahan tanda, sedangkan x=−2 muncul karena lupa membaginya dua.

Dari −(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3 diperoleh titik puncak (2, 3). Jawaban (2, −5) muncul karena tanda pada −4 salah diproses menjadi −4−1. Perhatikan tanda saat membuka kurung yang difaktorkan dengan −1.

Menggeser sejauh p pada arah x berarti pada persamaan x→x−p, sehingga pergeseran +3 memberi (x−3)². Arah y adalah −2, jadi di akhir ditambahkan −2. Inti translasi adalah tanda pada persamaan berlawanan dengan arah pergeseran, dan (x+3)² muncul karena pembalikan tanda itu terlupakan.

Pergeseran −1 pada arah x berarti x→x−(−1)=x+1 sehingga menjadi 2(x+1)², dan pergeseran +4 pada arah y menambahkan +4 di akhir. Bila diperiksa lewat titik puncak, (0,0)→(−1,4), dan itu cocok dengan titik puncak (−1,4) dari y=2(x+1)²+4.

Pencerminan terhadap sumbu x adalah penggantian y→−y sehingga y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3, yaitu tanda seluruh suku berubah. Persamaan y=x²+2x+3 adalah hasil pencerminan terhadap sumbu y (x→−x) dan mudah tertukar.

Pencerminan terhadap titik asal berarti x→−x sekaligus y→−y. Dari −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 diperoleh y=−x²−4x−5. Persamaan y=−x²+4x−5 hanya mencerminkan terhadap sumbu x, sedangkan y=x²+4x+5 hanya terhadap sumbu y; keduanya kesalahan karena satu penggantian terlewat.

Misalkan bentuk puncak y=a(x−1)²+2, lalu substitusikan (0, 4) sehingga a+2=4, jadi a=2. Persamaan y=2(x+1)²+2 juga melalui titik (0, 4) tetapi titik puncaknya (−1, 2) sehingga tidak memenuhi syarat. Adapun y=(x−1)²+2 memberi 3 saat x=0 sehingga tidak melalui titik itu.

Karena y=(x−1)²+2, parabola terbuka ke atas dengan titik puncak (1, 2). Nilai minimumnya 2 saat x=1. Bila daerah asalnya tidak dibatasi, nilai minimum sama dengan ordinat titik puncak. Nilai 3 adalah hasil substitusi x=0 dan bukan nilai minimum.

Karena y=−(x−2)²+4, parabola terbuka ke bawah dengan titik puncak (2, 4). Nilai maksimumnya 4 saat x=2. Grafik yang terbuka ke bawah mencapai maksimum di titik puncak (dan tidak memiliki nilai minimum). Kesalahan tanda menghasilkan −4, padahal substitusi x=2 memberi −4+8=4.

Persamaannya sudah berbentuk puncak dengan titik puncak (3, 1). Karena a=2>0 parabola terbuka ke atas sehingga nilai minimumnya 1 saat x=3. Jangan tertukar dalam membaca koordinat titik puncak (3, 1), yaitu x=3 dan nilai minimum 1. Nilai 19 adalah nilai saat x=0.

Sumbu simetri x=1 berada di dalam daerah asal, sehingga nilai maksimum dicapai di ujung yang lebih jauh dari sumbu, yaitu x=3. Diperoleh f(3)=(3−1)²+2=4+2=6. Nilai 2 adalah nilai minimum (titik puncak), sedangkan 18 muncul dari kesalahan tanda saat menghitung (3+1)².

Sumbu simetri x=2 berada di luar sebelah kanan daerah asal 0≦x≦1, sehingga pada selang itu fungsinya turun monoton. Nilai minimumnya di ujung kanan x=1, yaitu f(1)=1−4+1=−2. Nilai −3 memang ordinat titik puncak, tetapi x=2 di luar daerah asal sehingga tidak dapat dicapai. Menjawab dengan titik puncak tanpa memperhatikan daerah asal adalah kesalahan khas.

Diperoleh y=−(x−1)²+3. Parabola terbuka ke bawah dan sumbu simetri x=1 berada di dalam daerah asal, sehingga nilai maksimumnya di titik puncak, yaitu f(1)=3. Nilai minimum dicapai di ujung yang lebih jauh dari sumbu, yaitu x=3 dengan f(3)=−9+6+2=−1. Nilai f(0)=2 juga nilai di ujung, tetapi x=3 lebih jauh dari sumbu sehingga nilainya lebih kecil.

Sumbu simetri x=3 berada di luar sebelah kiri daerah asal 4≦x≦6, sehingga pada selang itu fungsinya naik monoton. Nilai minimumnya di ujung kiri x=4, yaitu f(4)=16−24+10=2. Nilai 1 adalah nilai di titik puncak, tetapi x=3 berada di luar daerah asal. Nilai maksimumnya adalah 10 di ujung kanan x=6.

Karena a>2, sumbu simetri x=a berada di luar sebelah kanan daerah asal. Pada selang itu fungsinya turun monoton sehingga nilai minimumnya di ujung kanan x=2, yaitu f(2)=4−4a. Nilai −a² adalah nilai di titik puncak, tetapi x=a di luar daerah asal sehingga tidak dapat dicapai. Misalnya untuk a=3 diperoleh f(2)=−8, dan 4−4×3=−8 memang cocok.

Ujung yang lebih jauh dari sumbu simetri x=1 adalah x=3, sehingga nilai maksimumnya f(3)=9−6+c=3+c. Dari 3+c=7 diperoleh c=4. Jawaban c=7 muncul karena maksimum keliru dianggap f(0)=c, sedangkan c=8 muncul karena nilai minimum f(1)=c−1 disamakan dengan 7. Untuk c=4 dapat diperiksa bahwa f(3)=7.

Dengan pemisalan t=x²−2x diperoleh t=(x−1)²−1≧−1. Selanjutnya y=t²−4t+1=(t−2)²−3, dan karena t=2 berada dalam rentang t≧−1, nilai minimumnya −3 (yaitu saat t=2, atau x²−2x=2). Pada ujung rentang t=−1 diperoleh y=6, tetapi itu bukan nilai minimum. Setelah melakukan pemisalan, jangan lupa memeriksa rentang nilai t.

Dari (x−2)(x−3)=0 diperoleh x=2, 3. Dua bilangan yang hasil kalinya +6 dan jumlahnya −5 adalah −2 dan −3, sehingga faktornya (x−2)(x−3) dan akarnya kembali bertanda positif, yaitu 2 dan 3. Menjawab −2, −3 berarti tertukar antara tanda pada faktor dan tanda pada akar.

Dengan rumus kuadrat, x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2. Jawaban 2±2√2 muncul karena lupa membagi dengan 2 di akhir. Lakukan penyederhanaan √8=2√2 dan pembagiannya dengan teliti. Substitusi x=1+√2 memberi (1+√2)²−2(1+√2)−1=0 sebagai pemeriksaan.

Dengan cara silang diperoleh (2x−1)(x+2)=0. Dari 2x−1=0 didapat x=1/2, dan dari x+2=0 didapat x=−2. Perhatikan bahwa akar dari faktor (x+2) adalah −2, yaitu berlawanan tanda. Jawaban x=−1/2, 2 adalah kesalahan karena kedua tandanya dibalik.

Syarat akar kembar adalah D=0. Dari D=16−4k=0 diperoleh k=4. Untuk nilai itu x²+4x+4=(x+2)²=0 dengan akar kembar x=−2. Jawaban k=16 muncul karena menulis D=16−k dan lupa mengalikan dengan 4.

Syaratnya D>0. Dari D=9−4k>0 diperoleh 4k<9, yaitu k<9/4. Tanda sama dengan (k=9/4) tidak disertakan karena menghasilkan akar kembar. Bentuk k>−9/4 muncul bila tanda keliru sehingga tertulis D=9+4k.

Diskriminan dari x²−4x+5=0 adalah D=16−20=−4<0 sehingga tidak ada akar real, jadi titik potongnya 0. Pada grafiknya, titik puncak (2, 1) berada di atas sumbu x dan parabolanya terbuka ke atas sehingga seluruhnya melayang di atas sumbu x. Parabola dan sumbu x tidak mungkin memiliki 3 titik potong.

Selesaikan x²+2x−3=0 yang diperoleh dengan menetapkan y=0. Dari (x+3)(x−1)=0 didapat x=−3, 1. Dua bilangan yang hasil kalinya −3 dan jumlahnya +2 adalah +3 dan −1, dan akar dari faktor (x+3) adalah −3. Jawaban x=3, −1 adalah kesalahan karena tandanya dibalik.

Syarat menyinggung adalah D=0. Dari D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 diperoleh k=2, −1. Untuk k=2 diperoleh x²−4x+4=(x−2)², dan untuk k=−1 diperoleh x²+2x+1=(x+1)²; keduanya memang menyinggung sumbu x.

Dengan mengeliminasi y diperoleh x²+1=2x+4, lalu dirapikan menjadi x²−2x−3=0. Dari (x−3)(x+1)=0 didapat x=−1, 3. Diskriminannya D=4+12=16>0 sehingga titik potongnya memang ada 2. Berhati-hatilah terhadap kesalahan tanda saat memindahkan ruas.

Syaratnya D≧0. Dari D/4=(a+1)²−4≧0 diperoleh (a+1)²≧4, yaitu a+1≦−2 atau a+1≧2, sehingga a≦−3 atau a≧1. Jawaban −3≦a≦1 adalah kesalahan karena arah tanda tertukar sehingga diambil bagian dalam. Akar kembar juga termasuk akar real, jadi tanda sama dengan disertakan.

Akar dari x²−5x+6=0 adalah x=2, 3. Grafik yang terbuka ke atas berada di bawah sumbu x pada bagian dalam kedua akar, sehingga penyelesaiannya 2<x<3. Menjawab bagian luar berarti tertukar dengan kasus >0. Substitusi x=2.5 memberi 6.25−12.5+6=−0.25<0 yang terpenuhi, sehingga bagian dalam terbukti benar.

Akar dari x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 adalah x=−2, 3. Untuk >0 grafik berada di atas sumbu x, yaitu di bagian luar, sehingga x<−2 atau x>3. Bentuk −2<x<3 adalah bagian dalam, yaitu penyelesaian untuk <0. Perhatikan pula bahwa akar dari faktor (x+2) adalah −2 agar tandanya tidak tertukar.

Akar dari x²−4=(x+2)(x−2)=0 adalah x=±2. Untuk ≦0 diambil bagian dalam, dan karena disertai tanda sama dengan, ujungnya ikut termasuk sehingga −2≦x≦2. Bentuk −2<x<2 adalah kesalahan karena tanda sama dengannya hilang. Pada x=±2 ruas kirinya bernilai 0 yang memenuhi ≦0, jadi ujungnya memang termasuk.

Dengan cara silang, akar dari 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0 adalah x=1/2, 2. Untuk <0 (tanpa tanda sama dengan) diambil bagian dalam, yaitu 1/2<x<2. Substitusi x=1 memberi 2−5+2=−1<0 yang terpenuhi, sehingga bagian dalam terbukti benar.

Karena x²−6x+9=(x−3)², grafiknya menyinggung sumbu x di x=3. Bentuk (x−3)² bernilai 0 hanya saat x=3 dan positif untuk nilai lainnya, sehingga penyelesaiannya semua bilangan real kecuali 3. Bila dijawab semua bilangan real, x=3 (yang membuat ruas kiri 0) ikut tercampur.

Karena D=4−12=−8<0, grafik yang terbuka ke atas tidak memiliki titik potong dengan sumbu x dan selalu berada di atasnya, sehingga penyelesaiannya semua bilangan real. Hal ini juga terlihat dari bentuk lengkap kuadrat y=(x+1)²+2≧2>0. Melihat D<0 lalu langsung menjawab tidak ada penyelesaian berarti tertukar dengan pertidaksamaan bertanda <0.

Kalikan kedua ruas dengan −1 dan balik arah tandanya sehingga x²−4x+3≦0. Akar dari (x−1)(x−3)=0 adalah x=1, 3, dan untuk ≦0 diambil bagian dalam sehingga 1≦x≦3. Bila sudah dikalikan −1 tetapi arah tandanya lupa dibalik, yang terjawab justru bagian luar. Dari x=2 diperoleh −4+8−3=1≧0 yang terpenuhi, sehingga terlihat bahwa jawabannya bagian dalam.

Menyelesaikan x²−2x−2=0 dengan rumus kuadrat memberi x=(2±√12)/2=1±√3. Untuk <0 diambil bagian dalam sehingga 1−√3<x<1+√3. Meskipun ujungnya bilangan irasional, langkahnya tetap sama, dan kuncinya adalah melakukan penyederhanaan √12=2√3 dengan benar.

Syarat agar parabola yang terbuka ke atas selalu berada di atas sumbu x adalah D<0. Dari D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 diperoleh −2<k<3. Bila diambil bagian luar, yang terjadi justru D>0 (memotong di 2 titik), yaitu keadaan sebaliknya. Untuk k=3 grafiknya menyinggung dan bernilai 0 saat x=−3 sehingga syarat >0 rusak, jadi ujungnya tidak disertakan.

Dari yang pertama, (x−5)(x+1)≦0 memberi −1≦x≦5. Dari yang kedua, x(x−2)>0 memberi x<0 atau x>2. Irisannya adalah −1≦x<0 dan 2<x≦5, sehingga bilangan bulatnya −1, 3, 4, 5, yaitu 4 bilangan. Nilai 0 dan 2 tidak memenuhi pertidaksamaan kedua (ruas kirinya menjadi 0 sehingga tidak >0) dan karena itu tidak dihitung.