二次函数

由 y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3 得顶点 (2, −3)。(x−2)² 的顶点横坐标是 +2（符号相反）。(2, 1) 是忘记减 4 的错误，(2, 5) 是把 −4 误当成 +4 的错误。

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4。因为 (x+3)²=(x−(−3))²，所以顶点横坐标是 −3，顶点为 (−3, −4)。(3, −4) 是符号看错，(−3, 5) 是漏掉 −9 的错误。

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5。−1 是把 −4 移到括号外时忘记乘系数 2 的错误（−4+3=−1）。展开后检验能否还原成 2x²−8x+3 即可。

由 y=(x+1)²−1 得对称轴是直线 x=−1。把 x 的系数的一半变号（2 的一半是 1，变号得 −1），就是对称轴的位置。x=1 是符号错误，x=−2 是忘记取一半的错误。

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3，所以顶点是 (2, 3)。(2, −5) 是 −4 的符号处理出错、写成 −4−1 的错误。去掉用 −1 提出的括号时要注意符号。

沿 x 方向平移 p 时，式中变成 x→x−p，所以平移 +3 对应 (x−3)²。y 方向是 −2，最后加上 −2。平移量与式中的符号相反是平移的要点，(x+3)² 是忘记符号反转的错误。

沿 x 方向平移 −1 对应 x→x−(−1)=x+1，所以是 2(x+1)²，y 方向是 +4，最后加 +4。用顶点检验，(0,0)→(−1,4)，与 y=2(x+1)²+4 的顶点 (−1,4) 一致。

关于 x 轴对称就是把 y 换成 −y，得 y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3。所有项的符号都改变。y=x²+2x+3 是关于 y 轴对称（x→−x）的结果，容易混淆。

关于原点对称就是 x→−x 且 y→−y。由 −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 得 y=−x²−4x−5。y=−x²+4x−5 只做了关于 x 轴的对称，y=x²+4x+5 只做了关于 y 轴的对称，都是漏掉一个替换的错误。

设顶点式 y=a(x−1)²+2，代入 (0, 4) 得 a+2=4，所以 a=2。y=2(x+1)²+2 虽然也过点 (0, 4)，但顶点是 (−1, 2)，不符合条件。y=(x−1)²+2 在 x=0 时为 3，并不经过该点。

由 y=(x−1)²+2 知开口向上，顶点为 (1, 2)。最小值是 x=1 时的 2。没有定义域限制时，最小值就是顶点的纵坐标。3 是代入 x=0 得到的值，并不是最小值。

由 y=−(x−2)²+4 知开口向下，顶点为 (2, 4)。最大值是 x=2 时的 4。开口向下的图象在顶点处取最大值（没有最小值）。符号弄错会得到 −4，但代入 x=2 可得 −4+8=4，据此可以确认。

它已经是顶点式，顶点为 (3, 1)。a=2>0，开口向上，所以最小值是 x=3 时的 1。不要把顶点坐标 (3, 1) 的读法（x=3、最小值 1）弄反。19 是 x=0 处的值。

对称轴 x=1 在定义域内，所以最大值在离轴较远的那个端点 x=3 处取得。f(3)=(3−1)²+2=4+2=6。2 是最小值（顶点）。18 是把符号弄错、按 (3+1)² 计算的错误。

对称轴 x=2 在定义域 0≦x≦1 的右侧之外，所以在区间内单调递减。最小值在右端点 x=1 处，f(1)=1−4+1=−2。−3 是顶点的纵坐标，但 x=2 在定义域之外，取不到。忽略定义域直接用顶点作答是典型错误。

y=−(x−1)²+3。开口向下且对称轴 x=1 在定义域内，所以最大值在顶点处 f(1)=3。最小值在离轴较远的端点 x=3 处，f(3)=−9+6+2=−1。f(0)=2 也是端点的值，但 x=3 离轴更远，值更小。

对称轴 x=3 在定义域 4≦x≦6 的左侧之外，所以在区间内单调递增。最小值在左端点 x=4 处，f(4)=16−24+10=2。1 是顶点处的值，但 x=3 在定义域之外。最大值则是右端点 x=6 处的 10。

由 a>2 知对称轴 x=a 在定义域的右侧之外。区间内单调递减，所以最小值在右端点 x=2 处，f(2)=4−4a。−a² 是顶点处的值，但 x=a 在定义域之外，取不到。例如 a=3 时 f(2)=−8，与 4−4×3=−8 一致。

离对称轴 x=1 较远的端点是 x=3，所以最大值是 f(3)=9−6+c=3+c。由 3+c=7 得 c=4。c=7 是误把最大值当成 f(0)=c 的错误，c=8 是把最小值 f(1)=c−1 当成 7 的错误。c=4 时可以验证 f(3)=7。

令 t=x²−2x，则 t=(x−1)²−1≧−1。y=t²−4t+1=(t−2)²−3，而 t=2 在 t≧−1 的范围内，所以最小值是 −3（此时 t=2，即 x²−2x=2）。在 t 的范围端点 t=−1 处 y=6，但那不是最小值。换元后一定不要忘记确认 t 的取值范围。

由 (x−2)(x−3)=0 得 x=2, 3。相乘得 +6、相加得 −5 的 2 个数是 −2 与 −3，所以因式是 (x−2)(x−3)，解的符号反过来，为 2 和 3。把解写成 −2, −3 是把因式中的符号与解的符号弄反的错误。

用求根公式得 x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2。2±2√2 是最后忘了除以 2 的错误。要仔细完成 √8=2√2 的化简与约分。把 x=1+√2 代入可得 (1+√2)²−2(1+√2)−1=0，据此可以验证。

用十字相乘法得 (2x−1)(x+2)=0。由 2x−1=0 得 x=1/2，由 x+2=0 得 x=−2。注意因式 (x+2) 对应的解是 −2，符号相反。x=−1/2, 2 是把两个解的符号都弄反的错误。

有重根的条件是 D=0。由 D=16−4k=0 得 k=4。此时 x²+4x+4=(x+2)²=0，重根为 x=−2。k=16 是把判别式误写成 D=16−k、忘记乘 4 的错误。

条件是 D>0。由 D=9−4k>0 得 4k<9，即 k<9/4。取等号（k=9/4）时是重根，所以不包含。k>−9/4 是把判别式误算成 D=9+4k、符号出错时出现的形式。

x²−4x+5=0 的判别式是 D=16−20=−4<0，没有实数解，所以公共点是 0 个。从图象看，顶点 (2, 1) 在 x 轴上方，且开口向上，整条曲线都浮在 x 轴之上。抛物线与 x 轴的公共点不可能有 3 个。

令 y=0，解 x²+2x−3=0。由 (x+3)(x−1)=0 得 x=−3, 1。相乘得 −3、相加得 +2 的 2 个数是 +3 与 −1，而因式 (x+3) 对应的解是 −3。x=3, −1 是把符号弄反的错误。

相切的条件是 D=0。由 D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 得 k=2, −1。k=2 时为 x²−4x+4=(x−2)²，k=−1 时为 x²+2x+1=(x+1)²，两种情形确实都相切。

消去 y 得 x²+1=2x+4，整理得 x²−2x−3=0。由 (x−3)(x+1)=0 得 x=−1, 3。判别式 D=4+12=16>0，所以确实有 2 个公共点。移项时要注意符号错误。

条件是 D≧0。由 D/4=(a+1)²−4≧0 得 (a+1)²≧4，即 a+1≦−2 或 a+1≧2。所以 a≦−3 或 a≧1。−3≦a≦1 是把不等号方向弄反、写成中间区间的错误。重根也是实数解，所以要含等号。

x²−5x+6=0 的解是 x=2, 3。开口向上的图象位于 x 轴下方的部分在两根之间，所以解是 2<x<3。答成两侧是与 >0 的情形混淆。代入 x=2.5 得 6.25−12.5+6=−0.25<0 成立，可见中间才对。

x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 的解是 x=−2, 3。>0 表示图象在 x 轴上方，即在两根之外，所以 x<−2 或 x>3。−2<x<3 是中间部分，对应 <0 的解。因式 (x+2) 给出的解是 −2，也要注意符号别弄反。

x²−4=(x+2)(x−2)=0 的解是 x=±2。≦0 取中间部分，且带等号，所以端点也包含，为 −2≦x≦2。−2<x<2 是漏掉等号的错误。x=±2 时左边为 0，满足 ≦0，所以端点要包含。

用十字相乘法得 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0，解是 x=1/2, 2。<0（不带等号）取中间部分，为 1/2<x<2。代入 x=1 得 2−5+2=−1<0 成立，可以确认是中间部分。

x²−6x+9=(x−3)²，图象在 x=3 处与 x 轴相切。(x−3)² 只在 x=3 时为 0，其余都为正。所以解是除 3 以外的所有实数。答成所有实数就会混入 x=3（此时左边为 0）。

D=4−12=−8<0，开口向上的图象与 x 轴没有公共点，始终在上方。所以解是所有实数。配方成 y=(x+1)²+2≧2>0 也可以确认。看到 D<0 就机械地答无解，是与 <0 型不等式的混淆。

两边乘 −1 并把不等号方向反过来，得 x²−4x+3≦0。(x−1)(x−3)=0 的解是 x=1, 3，而 ≦0 取中间部分，所以是 1≦x≦3。乘了 −1 却忘记改变方向，就会答成两侧。代入 x=2 得 −4+8−3=1≧0 成立，也说明是中间部分。

用求根公式解 x²−2x−2=0 得 x=(2±√12)/2=1±√3。<0 取中间部分，所以是 1−√3<x<1+√3。端点是无理数时做法完全一样，关键是正确完成 √12=2√3 的化简与约分。

开口向上的抛物线始终位于 x 轴上方的条件是 D<0。由 D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 得 −2<k<3。取两侧则是 D>0（与 x 轴交于 2 点），情形正好相反。k=3 时相切，x=−3 处取到 0，>0 就不成立，所以端点不含。

前者由 (x−5)(x+1)≦0 得 −1≦x≦5。后者由 x(x−2)>0 得 x<0 或 x>2。公共部分是 −1≦x<0 与 2<x≦5，其中的整数是 −1, 3, 4, 5，共 4 个。0 与 2 不满足后者（左边为 0，不满足 >0），不能计入。