Funciones cuadráticas (Matemáticas I)

De y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3, el vértice es (2, −3). En (x−2)², la coordenada x del vértice es +2, con el signo invertido. La opción (2, 1) proviene de olvidar restar 4, y (2, 5) de leer −4 como +4.

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4. Como (x+3)²=(x−(−3))², la coordenada x del vértice es −3, así que el vértice es (−3, −4). La opción (3, −4) lee mal el signo, y (−3, 5) omite el −9.

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5. El valor −1 proviene de olvidar multiplicar el −4 por el coeficiente 2 al sacarlo de la llave (−4+3=−1). Conviene desarrollar para comprobar que se vuelve a 2x²−8x+3.

De y=(x+1)²−1, el eje es la recta x=−1. El eje está en la mitad del coeficiente de x con el signo cambiado: la mitad de 2 es 1, y al cambiar el signo se obtiene −1. La opción x=1 es un error de signo, y x=−2 proviene de olvidar dividir entre 2.

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3, así que el vértice es (2, 3). La opción (2, −5) proviene de manejar mal el signo de −4 y calcular −4−1. Tenga cuidado con los signos al quitar un paréntesis que se había sacado como factor común con −1.

Un desplazamiento de p en la dirección x sustituye x por x−p en la ecuación, así que un desplazamiento de +3 da (x−3)². El desplazamiento en la dirección y es −2, así que se añade −2 al final. La clave de la traslación es que el signo en la ecuación es el opuesto al del desplazamiento, y (x+3)² proviene de olvidar esa inversión.

Un desplazamiento de −1 en la dirección x sustituye x por x−(−1)=x+1, lo que da 2(x+1)², y el desplazamiento de +4 en la dirección y añade +4 al final. Si se comprueba con el vértice, (0,0) se mueve a (−1,4), que coincide con el vértice (−1,4) de y=2(x+1)²+4.

La reflexión respecto al eje x sustituye y por −y, lo que da y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3, así que todos los términos cambian de signo. La opción y=x²+2x+3 es el resultado de la reflexión respecto al eje y (x sustituida por −x), que es fácil de confundir.

La reflexión respecto al origen sustituye x por −x e y por −y. De −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5 se obtiene y=−x²−4x−5. La opción y=−x²+4x−5 aplica solo la reflexión respecto al eje x, e y=x²+4x+5 solo la reflexión respecto al eje y; en cada caso se olvida una de las sustituciones.

Escriba la forma canónica y=a(x−1)²+2 y sustituya (0, 4): a+2=4, así que a=2. La curva y=2(x+1)²+2 también pasa por (0, 4), pero su vértice es (−1, 2), lo que no cumple la condición. Y y=(x−1)²+2 da 3 en x=0, así que no pasa por el punto.

De y=(x−1)²+2, la parábola se abre hacia arriba con vértice (1, 2), así que el mínimo es 2, que se alcanza en x=1. Sin restricción en el dominio, el mínimo es exactamente la coordenada y del vértice. El valor 3 es lo que se obtiene al sustituir x=0, que no es el mínimo.

De y=−(x−2)²+4, la parábola se abre hacia abajo con vértice (2, 4), así que el máximo es 4, que se alcanza en x=2. Una parábola abierta hacia abajo alcanza su máximo en el vértice y no tiene mínimo. Un error de signo da −4, pero al sustituir x=2 se obtiene −4+8=4, lo que lo confirma.

La ecuación ya está en forma canónica, con vértice (3, 1). Como a=2>0, la parábola se abre hacia arriba, así que el mínimo es 1, que se alcanza en x=3. No lea mal las coordenadas del vértice (3, 1): x=3 es dónde se alcanza y 1 es el mínimo. El valor 19 es el valor en x=0.

El eje x=1 está dentro del dominio, así que el máximo se alcanza en el extremo más alejado del eje, x=3: f(3)=(3−1)²+2=4+2=6. El valor 2 es el mínimo, en el vértice. El valor 18 proviene de un error de signo al calcular (3+1)².

El eje x=2 está a la derecha del dominio 0≦x≦1, así que la función decrece en todo el intervalo. El mínimo está en el extremo derecho x=1: f(1)=1−4+1=−2. El valor −3 es la coordenada y del vértice, pero x=2 está fuera del dominio, así que no puede alcanzarse. Responder con el vértice sin tener en cuenta el dominio es el error típico.

y=−(x−1)²+3. La parábola se abre hacia abajo y el eje x=1 está dentro del dominio, así que el máximo está en el vértice, f(1)=3. El mínimo está en el extremo más alejado del eje, x=3: f(3)=−9+6+2=−1. El valor en el extremo f(0)=2 es mayor, porque x=3 está más lejos del eje.

El eje x=3 está a la izquierda del dominio 4≦x≦6, así que la función crece en todo el intervalo. El mínimo está en el extremo izquierdo x=4: f(4)=16−24+10=2. El valor 1 es el valor en el vértice, pero x=3 está fuera del dominio. El máximo es 10, en el extremo derecho x=6.

Como a>2, el eje x=a está a la derecha del dominio, así que la función decrece en todo el intervalo y el mínimo está en el extremo derecho x=2: f(2)=4−4a. El valor −a² es el valor en el vértice, pero x=a está fuera del dominio y no puede alcanzarse. Por ejemplo, con a=3 se obtiene f(2)=−8, que coincide con 4−4×3=−8.

El extremo más alejado del eje x=1 es x=3, así que el máximo es f(3)=9−6+c=3+c. De 3+c=7 se obtiene c=4. La opción c=7 proviene de tomar erróneamente como máximo f(0)=c, y c=8 de igualar a 7 el mínimo f(1)=c−1. Con c=4 puede comprobar que f(3)=7.

Si se hace t=x²−2x, se obtiene t=(x−1)²−1≧−1. Entonces y=t²−4t+1=(t−2)²−3, y t=2 está dentro de t≧−1, así que el mínimo es −3, en t=2, es decir, cuando x²−2x=2. En el extremo t=−1 del intervalo se obtiene y=6, que no es el mínimo. Después de un cambio de variable, no olvide nunca comprobar el rango de t.

De (x−2)(x−3)=0 se obtiene x=2, 3. Los dos números con producto +6 y suma −5 son −2 y −3, así que los factores son (x−2)(x−3) y las soluciones salen con los signos opuestos, 2 y 3. Responder x=−2, −3 confunde los signos dentro de los factores con los signos de las soluciones.

La fórmula cuadrática da x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2. La opción 2±2√2 proviene de olvidar dividir entre 2 al final. Haga con cuidado la simplificación √8=2√2 y la simplificación de la fracción. Al sustituir x=1+√2 se obtiene (1+√2)²−2(1+√2)−1=0, lo que lo confirma.

El método del aspa da (2x−1)(x+2)=0. De 2x−1=0 se obtiene x=1/2, y de x+2=0 se obtiene x=−2. Observe que el factor (x+2) da la solución −2, con el signo opuesto. La opción x=−1/2, 2 invierte ambos signos.

La condición de raíz doble es D=0. De D=16−4k=0 se obtiene k=4. Entonces x²+4x+4=(x+2)²=0, con la raíz doble x=−2. La opción k=16 proviene de escribir D=16−k y olvidar el factor 4.

La condición es D>0. De D=9−4k>0 se obtiene 4k<9, es decir, k<9/4. La igualdad (k=9/4) da una raíz doble, así que se excluye. La opción k>−9/4 aparece si se equivoca el signo y se escribe D como 9+4k.

Para x²−4x+5=0, el discriminante es D=16−20=−4<0, así que no hay raíces reales ni puntos comunes. En la gráfica, el vértice (2, 1) está por encima del eje x y la parábola se abre hacia arriba, así que toda la curva queda separada del eje. Una parábola y el eje x nunca pueden tener 3 puntos en común.

Haga y=0 y resuelva x²+2x−3=0. De (x+3)(x−1)=0 se obtiene x=−3, 1. Los dos números con producto −3 y suma +2 son +3 y −1, y el factor (x+3) da la solución −3. La opción x=3, −1 invierte los signos.

La condición de tangencia es D=0. De D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0 se obtiene k=2, −1. Cuando k=2 se obtiene x²−4x+4=(x−2)², y cuando k=−1 se obtiene x²+2x+1=(x+1)², así que en ambos casos la parábola es realmente tangente al eje.

Al eliminar y se obtiene x²+1=2x+4, que se reordena como x²−2x−3=0. De (x−3)(x+1)=0 se obtiene x=−1, 3. El discriminante D=4+12=16>0 confirma que realmente hay 2 puntos comunes. Cuidado con los signos al trasponer términos.

La condición es D≧0. De D/4=(a+1)²−4≧0 se obtiene (a+1)²≧4, así que a+1≦−2 o a+1≧2, de donde a≦−3 o a≧1. La opción −3≦a≦1 toma el interior por equivocarse en el sentido de la desigualdad. Una raíz doble también es una raíz real, así que la igualdad está incluida.

Las raíces de x²−5x+6=0 son x=2, 3. Una parábola abierta hacia arriba está por debajo del eje x entre las dos raíces, así que la respuesta es 2<x<3. Tomar el exterior lo confunde con el caso >0. Al sustituir x=2.5 se obtiene 6.25−12.5+6=−0.25<0, que se cumple y confirma que el interior es correcto.

Las raíces de x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 son x=−2, 3. Para >0, la gráfica está por encima del eje x, es decir, en el exterior, así que la respuesta es x<−2 o x>3. El intervalo −2<x<3 es el interior, la solución de <0. Observe también que el factor (x+2) da la raíz −2, así que cuidado con los signos.

Las raíces de x²−4=(x+2)(x−2)=0 son x=±2. Para ≦0 se toma el interior y, como se admite la igualdad, los extremos están incluidos: −2≦x≦2. La opción −2<x<2 omite la igualdad. En x=±2 el primer miembro vale 0, que cumple ≦0, así que los extremos pertenecen a la solución.

El método del aspa da 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0, con raíces x=1/2, 2. Para <0, sin igualdad, se toma el interior: 1/2<x<2. Al sustituir x=1 se obtiene 2−5+2=−1<0, que se cumple y confirma el interior.

Aquí x²−6x+9=(x−3)², así que la gráfica es tangente al eje x en x=3. La expresión (x−3)² vale 0 solo en x=3 y es positiva en todos los demás puntos, así que la solución es todos los números reales excepto 3. Decir «todos los números reales» incluiría erróneamente x=3, donde el primer miembro vale 0.

Aquí D=4−12=−8<0, así que la parábola abierta hacia arriba no tiene ningún punto en común con el eje x y siempre está por encima de él. Por tanto, la solución es todos los números reales. Completar el cuadrado como y=(x+1)²+2≧2>0 lo confirma. Ver D<0 y responder mecánicamente «no hay solución» lo confunde con una inecuación <0.

Multiplique ambos miembros por −1 e invierta el signo de desigualdad para obtener x²−4x+3≦0. Las raíces de (x−1)(x−3)=0 son x=1, 3, y para ≦0 se toma el interior, así que 1≦x≦3. Olvidar invertir el signo después de multiplicar por −1 lleva a responder con el exterior. En x=2 se obtiene −4+8−3=1≧0, lo que también muestra que el interior es correcto.

Al resolver x²−2x−2=0 con la fórmula cuadrática se obtiene x=(2±√12)/2=1±√3. Para <0 se toma el interior, así que 1−√3<x<1+√3. El procedimiento es el mismo aunque los extremos sean irracionales; la clave es hacer correctamente la simplificación √12=2√3 y la simplificación de la fracción.

La condición para que una parábola abierta hacia arriba esté siempre por encima del eje x es D<0. De D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0 se obtiene −2<k<3. Tomar el exterior significaría D>0, es decir, cortar el eje en 2 puntos, la situación opuesta. En k=3 la curva es tangente al eje y vale 0 en x=−3, lo que rompe la desigualdad estricta, así que los extremos se excluyen.

La primera da (x−5)(x+1)≦0, es decir, −1≦x≦5. La segunda da x(x−2)>0, es decir, x<0 o x>2. La parte común es −1≦x<0 junto con 2<x≦5, así que los enteros son −1, 3, 4 y 5, cuatro en total. Los valores 0 y 2 no cumplen la segunda condición, ya que allí el primer miembro vale 0 y no es >0, así que no se cuentan.