Funções quadráticas (Matemática I)

De y=(x−2)²−4+1=(x−2)²−3, o vértice é (2, −3). Em (x−2)², a coordenada x do vértice é +2, com o sinal invertido. A alternativa (2, 1) vem de esquecer de subtrair 4, e (2, 5) vem de ler −4 como +4.

y=(x+3)²−9+5=(x+3)²−4. Como (x+3)²=(x−(−3))², a coordenada x do vértice é −3, então o vértice é (−3, −4). A alternativa (3, −4) lê errado o sinal, e (−3, 5) descarta o −9.

2(x²−4x)+3=2{(x−2)²−4}+3=2(x−2)²−8+3=2(x−2)²−5. O valor −1 vem de esquecer de multiplicar o −4 pelo coeficiente 2 ao tirá-lo do parêntese (−4+3=−1). Vale a pena expandir para conferir se você volta a 2x²−8x+3.

De y=(x+1)²−1, o eixo é a reta x=−1. O eixo fica na metade do coeficiente de x com o sinal trocado: a metade de 2 é 1, e trocando o sinal obtém-se −1. A alternativa x=1 é um erro de sinal, e x=−2 vem de esquecer de dividir por 2.

−(x²−4x)−1=−{(x−2)²−4}−1=−(x−2)²+4−1=−(x−2)²+3, então o vértice é (2, 3). A alternativa (2, −5) vem de errar o sinal de −4 e calcular −4−1. Cuidado com os sinais ao tirar um parêntese que foi fatorado com −1.

Uma translação de p na direção x substitui x por x−p na equação, então uma translação de +3 dá (x−3)². A translação na direção y é −2, então soma-se −2 no final. O ponto-chave da translação é que o sinal na equação é o oposto do deslocamento, e (x+3)² vem de esquecer essa inversão.

Uma translação de −1 na direção x substitui x por x−(−1)=x+1, dando 2(x+1)², e a translação de +4 na direção y soma +4 no final. Conferindo pelo vértice, (0,0) passa para (−1,4), o que coincide com o vértice (−1,4) de y=2(x+1)²+4.

A reflexão em relação ao eixo x substitui y por −y, dando y=−(x²−2x+3)=−x²+2x−3, então todos os termos trocam de sinal. A alternativa y=x²+2x+3 é o resultado da reflexão em relação ao eixo y (x substituído por −x), que é fácil de confundir.

A reflexão em relação à origem substitui x por −x e y por −y. De −y=(−x)²−4(−x)+5=x²+4x+5, obtém-se y=−x²−4x−5. A alternativa y=−x²+4x−5 aplica só a reflexão em relação ao eixo x, e y=x²+4x+5 só a reflexão em relação ao eixo y; cada uma esquece uma das substituições.

Escreva a forma canônica y=a(x−1)²+2 e substitua (0, 4): a+2=4, então a=2. A curva y=2(x+1)²+2 também passa por (0, 4), mas seu vértice é (−1, 2), o que não satisfaz a condição. E y=(x−1)²+2 dá 3 em x=0, então não passa pelo ponto.

De y=(x−1)²+2, a parábola tem concavidade para cima e vértice (1, 2), então o mínimo é 2, atingido em x=1. Sem restrição de domínio, o mínimo é exatamente a coordenada y do vértice. O valor 3 é o que se obtém substituindo x=0, que não é o mínimo.

De y=−(x−2)²+4, a parábola tem concavidade para baixo e vértice (2, 4), então o máximo é 4, atingido em x=2. Uma parábola com concavidade para baixo atinge o máximo no vértice e não tem mínimo. Um erro de sinal dá −4, mas substituindo x=2 obtém-se −4+8=4, o que resolve a dúvida.

A equação já está na forma canônica, com vértice (3, 1). Como a=2>0, a parábola tem concavidade para cima, então o mínimo é 1, atingido em x=3. Não leia errado as coordenadas do vértice (3, 1): x=3 é onde o mínimo ocorre, e 1 é o mínimo. O valor 19 é o valor em x=0.

O eixo x=1 está dentro do domínio, então o máximo é atingido no extremo mais distante do eixo, x=3: f(3)=(3−1)²+2=4+2=6. O valor 2 é o mínimo, no vértice. O valor 18 vem de um erro de sinal, calculando (3+1)².

O eixo x=2 está à direita do domínio 0≦x≦1, então a função é decrescente em todo o intervalo. O mínimo está no extremo direito x=1: f(1)=1−4+1=−2. O valor −3 é a coordenada y do vértice, mas x=2 está fora do domínio, então não pode ser atingido. Responder com o vértice ignorando o domínio é o erro típico.

y=−(x−1)²+3. A parábola tem concavidade para baixo e o eixo x=1 está dentro do domínio, então o máximo está no vértice, f(1)=3. O mínimo está no extremo mais distante do eixo, x=3: f(3)=−9+6+2=−1. O valor no extremo f(0)=2 é maior, porque x=3 está mais distante do eixo.

O eixo x=3 está à esquerda do domínio 4≦x≦6, então a função é crescente em todo o intervalo. O mínimo está no extremo esquerdo x=4: f(4)=16−24+10=2. O valor 1 é o valor no vértice, mas x=3 está fora do domínio. O máximo é 10, no extremo direito x=6.

Como a>2, o eixo x=a está à direita do domínio, então a função é decrescente em todo o intervalo e o mínimo está no extremo direito x=2: f(2)=4−4a. O valor −a² é o valor no vértice, mas x=a está fora do domínio e não pode ser atingido. Por exemplo, com a=3, obtém-se f(2)=−8, o que coincide com 4−4×3=−8.

O extremo mais distante do eixo x=1 é x=3, então o máximo é f(3)=9−6+c=3+c. De 3+c=7, obtém-se c=4. A alternativa c=7 vem de tomar erradamente o máximo como f(0)=c, e c=8 vem de igualar o mínimo f(1)=c−1 a 7. Com c=4, você pode conferir que f(3)=7.

Fazendo t=x²−2x, obtém-se t=(x−1)²−1≧−1. Então y=t²−4t+1=(t−2)²−3, e t=2 está dentro de t≧−1, então o mínimo é −3, em t=2, ou seja, quando x²−2x=2. No extremo t=−1 do intervalo, obtém-se y=6, que não é o mínimo. Depois de uma substituição, nunca se esqueça de verificar o intervalo de t.

De (x−2)(x−3)=0, obtém-se x=2, 3. Os dois números com produto +6 e soma −5 são −2 e −3, então os fatores são (x−2)(x−3) e as soluções aparecem com os sinais opostos, 2 e 3. Responder x=−2, −3 confunde os sinais dentro dos fatores com os sinais das soluções.

A fórmula resolutiva dá x=(2±√(4+4))/2=(2±2√2)/2=1±√2. A alternativa 2±2√2 vem de esquecer de dividir por 2 no final. Faça com cuidado a simplificação √8=2√2 e a simplificação da fração. Substituindo x=1+√2, obtém-se (1+√2)²−2(1+√2)−1=0, o que confirma o resultado.

O método cruzado dá (2x−1)(x+2)=0. De 2x−1=0, obtém-se x=1/2, e de x+2=0, obtém-se x=−2. Observe que o fator (x+2) dá a solução −2, com o sinal oposto. A alternativa x=−1/2, 2 inverte os dois sinais.

A condição para raiz dupla é D=0. De D=16−4k=0, obtém-se k=4. Então x²+4x+4=(x+2)²=0, com a raiz dupla x=−2. A alternativa k=16 vem de escrever D=16−k, esquecendo o fator 4.

A condição é D>0. De D=9−4k>0, obtém-se 4k<9, ou seja, k<9/4. A igualdade (k=9/4) dá raiz dupla, então é excluída. A alternativa k>−9/4 aparece se o sinal for trocado e D for escrito como 9+4k.

Para x²−4x+5=0, o discriminante é D=16−20=−4<0, então não há raiz real e não há pontos em comum. No gráfico, o vértice (2, 1) está acima do eixo x e a parábola tem concavidade para cima, então a curva inteira fica afastada do eixo. Uma parábola e o eixo x nunca podem ter 3 pontos em comum.

Faça y=0 e resolva x²+2x−3=0. De (x+3)(x−1)=0, obtém-se x=−3, 1. Os dois números com produto −3 e soma +2 são +3 e −1, e o fator (x+3) dá a solução −3. A alternativa x=3, −1 inverte os sinais.

A condição de tangência é D=0. De D/4=k²−(k+2)=k²−k−2=(k−2)(k+1)=0, obtém-se k=2, −1. Quando k=2, obtém-se x²−4x+4=(x−2)², e quando k=−1, obtém-se x²+2x+1=(x+1)², então ambas realmente tangenciam o eixo.

Eliminando y, obtém-se x²+1=2x+4, que, reorganizada, fica x²−2x−3=0. De (x−3)(x+1)=0, obtém-se x=−1, 3. O discriminante D=4+12=16>0 confirma que há de fato 2 pontos em comum. Cuidado com os sinais ao passar os termos de um lado para o outro.

A condição é D≧0. De D/4=(a+1)²−4≧0, obtém-se (a+1)²≧4, então a+1≦−2 ou a+1≧2; logo, a≦−3 ou a≧1. A alternativa −3≦a≦1 toma a parte de dentro por errar o sentido da desigualdade. Uma raiz dupla também é uma raiz real, então a igualdade está incluída.

As raízes de x²−5x+6=0 são x=2, 3. Uma parábola com concavidade para cima fica abaixo do eixo x entre as duas raízes, então a resposta é 2<x<3. Tomar a parte de fora confunde com o caso >0. Substituindo x=2.5, obtém-se 6.25−12.5+6=−0.25<0, que é verdadeira e confirma que a parte de dentro está correta.

As raízes de x²−x−6=(x+2)(x−3)=0 são x=−2, 3. Para >0, o gráfico está acima do eixo x, ou seja, na parte de fora, então a resposta é x<−2 ou x>3. O intervalo −2<x<3 é a parte de dentro, a solução de <0. Observe também que o fator (x+2) dá a raiz −2; cuidado com os sinais.

As raízes de x²−4=(x+2)(x−2)=0 são x=±2. Para ≦0, tomamos a parte de dentro e, como a igualdade é permitida, os extremos estão incluídos: −2≦x≦2. A alternativa −2<x<2 descarta a igualdade. Em x=±2, o lado esquerdo é 0, o que satisfaz ≦0, então os extremos pertencem à solução.

O método cruzado dá 2x²−5x+2=(2x−1)(x−2)=0, com raízes x=1/2, 2. Para <0, sem igualdade, tomamos a parte de dentro: 1/2<x<2. Substituindo x=1, obtém-se 2−5+2=−1<0, que é verdadeira e confirma a parte de dentro.

Aqui x²−6x+9=(x−3)², então o gráfico tangencia o eixo x em x=3. A expressão (x−3)² é 0 só em x=3 e positiva em todos os outros pontos, então a solução é todos os números reais, exceto 3. Dizer "todos os números reais" incluiria erradamente x=3, onde o lado esquerdo é 0.

Aqui D=4−12=−8<0, então a parábola com concavidade para cima não tem ponto em comum com o eixo x e fica sempre acima dele. A solução é, portanto, todos os números reais. Completar o quadrado como y=(x+1)²+2≧2>0 confirma isso. Ver D<0 e responder mecanicamente "não há solução" confunde com uma inequação <0.

Multiplique ambos os lados por −1 e inverta o sinal da desigualdade para obter x²−4x+3≦0. As raízes de (x−1)(x−3)=0 são x=1, 3, e para ≦0 tomamos a parte de dentro, então 1≦x≦3. Esquecer de inverter o sinal depois de multiplicar por −1 leva a responder com a parte de fora. Em x=2, obtém-se −4+8−3=1≧0, o que também mostra que a parte de dentro está correta.

Resolvendo x²−2x−2=0 pela fórmula resolutiva, obtém-se x=(2±√12)/2=1±√3. Para <0, tomamos a parte de dentro, então 1−√3<x<1+√3. O procedimento não muda, mesmo quando os extremos são irracionais; o essencial é fazer corretamente a simplificação √12=2√3 e a simplificação da fração.

A condição para que uma parábola com concavidade para cima fique acima do eixo x em todos os pontos é D<0. De D/4=k²−(k+6)=k²−k−6=(k−3)(k+2)<0, obtém-se −2<k<3. Tomar a parte de fora significaria D>0, ou seja, cortar o eixo em 2 pontos, a situação oposta. Em k=3, a curva tangencia o eixo e vale 0 em x=−3, violando a desigualdade estrita, então os extremos são excluídos.

A primeira dá (x−5)(x+1)≦0, ou seja, −1≦x≦5. A segunda dá x(x−2)>0, ou seja, x<0 ou x>2. A parte comum é −1≦x<0 junto com 2<x≦5, então os inteiros são −1, 3, 4 e 5, quatro no total. Os valores 0 e 2 não satisfazem a segunda condição, pois ali o lado esquerdo é 0, e não >0, então não são contados.