ریاضی II، B اور C کے فارمولے

فاصلے کے فارمولے |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) میں قیمتیں رکھنے سے |3+8−1|/5=10/5=2 حاصل ہوتا ہے۔ اگر آپ شمار کنندہ کی مطلق قیمت بھول جائیں، یا √(a²+b²) سے تقسیم کرنا بھول جائیں، تو جواب 10 آ جاتا ہے۔ دونوں مراحل ایک ساتھ یاد رکھیں: قیمتیں رکھ کر مطلق قیمت لیں، پھر جذر سے تقسیم کریں۔

مربع مکمل کرنے سے (x−2)²+(y+3)²=9 حاصل ہوتا ہے۔ پھندا علامت میں ہے: (x−2)² کا مطلب ہے کہ مرکز کا x-محدد +2 ہے، یعنی قوسین میں نظر آنے والی علامت کے الٹ۔ یہ بھی دھیان رکھیں کہ رداس 9 نہیں بلکہ √9=3 ہے۔

نسبت m:n میں تقسیم کرنے والا نقطہ ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)) ہے۔ 2:1 کے لیے یہ ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4) دیتا ہے۔ نسبت الٹ دینے سے (3, 3) آتا ہے، اور بیرونی تقسیم سے (13, 8) آتا ہے۔ اسے یوں یاد رکھیں: 'نسبت کا مخالف سمت والا حصہ ضرب کریں' (کراس ضرب)۔

مرکز (0, 0) سے خط 2x−y+5=0 تک فاصلہ 5/√5=√5 ہے، جو بالکل رداس √5 کے برابر ہے، اس لیے خط دائرے کا مماس ہے۔ اگر d=r ہو تو وہ مس کرتے ہیں، اگر d<r ہو تو دو نقاط پر ملتے ہیں، اور اگر d>r ہو تو کوئی مشترک نقطہ نہیں ہوتا۔ ممیز استعمال کرنے کے بجائے مرکز سے فاصلے d کا رداس r سے موازنہ کرنا زیادہ تیز ہے۔

AP:BP=1:2 سے 4AP²=BP² ملتا ہے، اور ترتیب دینے پر (x+2)²+y²=16 حاصل ہوتا ہے۔ جب دو مقررہ نقاط سے فاصلوں کی نسبت 1:1 نہ ہو تو محل 'اپولونیئس کا دائرہ' ہوتا ہے۔ پھندا یہ ہے کہ صرف 1:1 کی صورت میں عمودی ناصف بنتا ہے۔ یہ بھی جانچ لیں کہ دائرہ A کی طرف ہے، یعنی اس نقطے کی طرف جس کا نسبت میں حصہ چھوٹا ہے۔

متوازی خطوط کی شرط a₁b₂−a₂b₁=0 ہے، لہٰذا 1·3−2·a=0 اور a=3/2۔ جواب a=−6 عمود ہونے کی شرط a₁a₂+b₁b₂=0 استعمال کرنے سے آتا ہے، جو ایک روایتی پھندا ہے۔ دونوں کو الگ رکھیں: متوازی کا مطلب ہے کراس ضرب والی شکل 0 کے برابر، عمود کا مطلب ہے نقطی ضرب والی شکل 0 کے برابر۔

سائن کے جمع کے فارمولے کی ترتیب 'سائن-کوسائن، کوسائن-سائن' ہے، اور (α+β) کے لیے علامت + ہی رہتی ہے۔ − علامت sin(α−β) کی ہے۔ ترتیب پکی کرنے کے لیے 'sin cos، cos sin' کی لَے بلند آواز سے دہرائیں۔

کوسائن کے جمع کا فارمولا 'cos cos، sin sin' کی ترتیب میں ہے، اور سب سے زیادہ دھیان کی بات یہ ہے کہ (α+β) کے لیے علامت پلٹ کر − ہو جاتی ہے۔ cos(α−β) کے لیے یہ + بن جاتی ہے۔ یاد رکھیں: کوسائن قوسین کے اندر کی علامت الٹ دیتا ہے، سائن اسے برقرار رکھتا ہے۔

cos2θ=cos²θ−sin²θ میں cos²θ=1−sin²θ رکھنے سے 1−2sin²θ حاصل ہوتا ہے۔ اسے الٹی علامت والے 2sin²θ−1 یا کوسائن والی شکل 2cos²θ−1 سے الجھانا آسان ہے۔ اسے یوں ترتیب دیں: sin سے لکھیں تو 1 پہلے آتا ہے، cos سے لکھیں تو −1 آخر میں آتا ہے۔

اسے 75°=45°+30° میں تقسیم کر کے جمع کا فارمولا استعمال کریں: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4۔ قیمت (√6−√2)/4 دراصل sin15° ہے، جو علامت کی عام غلطی ہے۔ آپ یوں جانچ سکتے ہیں: 'یہاں زاویہ جتنا بڑا ہو، قیمت اتنی بڑی، اس لیے 75° کو + والی شکل ملتی ہے'۔

حیطہ √(1²+(√3)²)=2 ہے، اور cosα=1/2، sinα=√3/2 سے α=π/3 ملتا ہے۔ عددی سروں کو الٹا پڑھ کر π/6 نکال لینا بہت عام غلطی ہے۔ نقطہ (1, √3) کے زاویۂ دلیل (argument) سے تصدیق کریں: sin کا عددی سر cosα سے مطابقت رکھتا ہے، اور cos کا عددی سر sinα سے۔

دونوں اطراف کا مربع لینے سے sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4 ملتا ہے، لہٰذا 1+2sinθcosθ=1/4 اور sinθcosθ=−3/8۔ sin²θ+cos²θ=1 بھول کر 2sinθcosθ=1/4 لکھنے سے 1/8 آتا ہے۔ سنہری اصول: جب مجموعہ دیا گیا ہو تو پہلے اس کا مربع لیں، ایک 1 سامنے آ جائے گا۔

چونکہ 8=2³ ہے، اس لیے قوت نما کے قانون (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ کے ذریعے 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4۔ آپ دو مرحلوں میں بھی حل کر سکتے ہیں: قوت 2/3 کا مطلب ہے 'پہلے مکعب جذر لیں، پھر مربع کریں'، لہٰذا ³√8=2 اور 2²=4۔ قوت نماؤں کو ضرب دینا بھول جانے سے 16 جیسے جوابات آتے ہیں۔

لوگارتھم کا مجموعہ حاصل ضرب کا لوگارتھم ہوتا ہے: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1۔ لوگارتھم کے اعداد (arguments) کو جمع کر کے log₁₀7 بنا لینا روایتی غلطی ہے۔ لوگارتھم کا بنیادی قانون ہے: 'جمع، ضرب میں بدل جاتی ہے'۔

چونکہ 1/27=3⁻³ ہے، اس لیے log₃3⁻³=−3۔ گُر یہ ہے کہ سوال کو یوں بدل کر سوچیں: '3 کو کس قوت تک بلند کریں کہ 1/27 ملے؟'۔ منفی علامت چھوڑ کر 3 جواب نہ دیں، اور اسے −1/3 سے بھی نہ الجھائیں؛ یوں جانچیں: 'اگر لوگارتھم کا عدد 1 سے چھوٹا ہو تو لوگارتھم منفی ہوتا ہے'۔

اساس کی تبدیلی کے فارمولے سے log₄8=log₂8/log₂4=3/2۔ شمار کنندہ اور نسب نما کو الٹ کر 2/3 نکالنا پھندا ہے۔ ترتیب یوں یاد رکھیں: نئی اساس آپ اپنی مرضی سے چن سکتے ہیں، لوگارتھم کا عدد اوپر جاتا ہے اور اصل اساس نیچے۔ 4^(3/2)=8 سے جانچ لیں۔

سب کچھ اساس 3 میں لکھنے سے 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2) ملتا ہے، لہٰذا 2x=7/2 اور x=7/4۔ اگر آپ √3=3^(1/2) کی تبدیلی بھول کر صرف 27 سے موازنہ کریں تو 3/2 آتا ہے۔ کسی بھی قوت نمائی مساوات میں پہلا قدم اساس کو یکساں کرنا ہے۔

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05، لہٰذا 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ اور عدد میں 16 ہندسے ہیں۔ لوگارتھم کا صحیح حصہ یعنی 15 جواب دینا سب سے عام غلطی ہے۔ یاد رکھیں: ہندسوں کی تعداد = لوگارتھم کا صحیح حصہ + 1، اس لیے 1 ہمیشہ جمع کریں۔

ہر رکن پر (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ لگانے سے f′(x)=3x²−6x ملتا ہے۔ عددی سر 3 سے ضرب دینا بھول جانا، یا −3x² کا تفرق کرتے ہوئے صرف عددی سر نیچے لا کر −3x بنا دینا، عام غلطیاں ہیں۔ 'قوت نما کو آگے نیچے لائیں، پھر قوت نما میں 1 کم کریں' کا اصول ہر رکن پر احتیاط سے لگائیں۔

ایک ضد مشتق x³+x² ہے، لہٰذا [x³+x²]₀¹=1+1=2۔ تکمل کیے بغیر تکمل کیے جانے والے تفاعل میں x=1 رکھنے سے 5 آتا ہے۔ ترتیب کبھی نہ توڑیں: پہلے تکمل کریں، پھر حدود کی قیمتیں رکھیں۔

مماس کی ڈھلوان مشتق کی قیمت f′(3) ہے۔ y′=2x میں x=3 رکھنے سے 6 ملتا ہے۔ دھیان رکھیں کہ y-محدد 9 یا x-محدد 3 کو جوں کا توں جواب نہ دیں۔ یاد رکھنے کا جملہ: ڈھلوان چاہیے تو پہلے تفرق کریں۔

f′(x)=3x²−3=0 سے x=±1 ملتا ہے۔ علامتوں کا جدول دکھاتا ہے کہ x=−1 کے آس پاس f′ کی علامت + سے − میں بدلتی ہے، اس لیے وہاں مقامی اعظم قیمت ہے، جو f(−1)=−1+3=2 ہے۔ x=1 پر مقامی اقل قیمت ہے (قیمت −2)۔ شکل یاد رکھیں: اگر x³ کا عددی سر مثبت ہو تو پہاڑی پہلے آتی ہے، اس لیے مقامی اعظم قیمت بائیں جانب ہوتی ہے۔

منحنی x-محور سے x=0 اور x=3 پر ملتا ہے۔ 1/6 فارمولے سے |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2۔ چونکہ اس وقفے پر y≤0 ہے، تکمل کرتے وقت منفی علامت لگانا بھول جانے سے علامت کی غلطی ہو جاتی ہے۔ گھرا ہوا رقبہ ایک ہی قدم میں (β−α)³/6 ہے۔

x²=2x+3 سے x²−2x−3=0 ملتا ہے، لہٰذا تقاطع کے نقاط x=−1 اور x=3 ہیں۔ 1/6 فارمولے سے (3−(−1))³/6=64/6=32/3۔ مختصر کرنا بھول کر دیے گئے جوابات میں 64/6 تلاش کرنا، یا (β−α) کا مکعب لینے کے بجائے مربع لے کر 8/3 پر پہنچ جانا، عام غلطیاں ہیں۔ فرق کا مکعب لیں اور ٹھیک ٹھیک 6 سے تقسیم کریں۔

'(پہلا رکن + آخری رکن) × ارکان کی تعداد ÷ 2' حسابی متوالیہ کے مجموعے کا فارمولا ہے۔ اسے ذوزنقہ کے رقبے ((اوپری متوازی ضلع + نچلا متوازی ضلع) × اونچائی ÷ 2) کی طرح تصور کریں تو آپ اسے نہیں بھولیں گے۔ ÷2 بھول جانا، یا ارکان کی تعداد n سے ضرب دینا بھول جانا، عام غلطیاں ہیں۔

1 سے n تک قدرتی اعداد کا مجموعہ n(n+1)/2 ہے۔ اظہار n(n−1)/2 دراصل 1 سے n−1 تک کا مجموعہ ہے، جو حد کھسک جانے کی غلطی ہے۔ n=2 سے جانچیں: 1+2=3=2·3/2۔ اسے یوں یاد رکھیں: 'دو پڑوسی اعداد کے حاصل ضرب کا نصف'۔

مربعوں کے مجموعے کا فارمولا n(n+1)(2n+1)/6 ہے۔ اسے n²(n+1)²/4 سے الجھانا آسان ہے، جو مکعبوں کے مجموعے (Σk³) کا فارمولا ہے۔ n=2 سے جانچنا اسے یقینی بنا دیتا ہے: 1+4=5=2·3·5/6۔ کلیدی الفاظ: 6 سے تقسیم، اور درمیان میں 2n+1۔

a(rⁿ−1)/(r−1) میں قیمتیں رکھنے سے 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93 ملتا ہے۔ آپ براہِ راست جمع کر کے بھی تصدیق کر سکتے ہیں: 3+6+12+24+48=93۔ پہلے رکن 3 سے ضرب دینا بھول جانے پر 31 آتا ہے، اس سے بچیں، اور پانچویں رکن 48 کو جواب سمجھ لینے سے بھی بچیں۔

فرق 2n ہے، لہٰذا n≥2 کے لیے aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 ملتا ہے (جو n=1 کے لیے بھی درست ہے)۔ مجموعے کی بالائی حد n لے لینے سے n²+n+1 آتا ہے، اور یہی سب سے بڑا پھندا ہے۔ دہراتے رہیں: 'فرقوں کا مجموعہ صرف n−1 تک جاتا ہے'۔ a₂=3 سے جانچ لیں۔

امتیازی مساوات α=3α+2 سے α=−1 ملتا ہے۔ تکراری رشتے کو aₙ₊₁+1=3(aₙ+1) کی شکل میں لکھا جا سکتا ہے، لہٰذا {aₙ+1} ایک ہندسی متوالیہ ہے جس کا پہلا رکن 2 اور مشترک نسبت 3 ہے، جس سے aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ اور اس لیے aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1 ملتا ہے۔ آسانی سے ہونے والی غلطی آخری قدم میں علامت کی ہے: جو کھسکاؤ آپ نے جمع کیا تھا اسے واپس ہٹانا ہے، دوبارہ جمع نہیں کرنا۔ a₂=5 سے جانچ لیں تو اطمینان ہو جائے گا۔

نقطی ضرب کی تعریف 'مقداروں کا حاصل ضرب × cosθ' ہے۔ sinθ والی شکل متوازی الاضلاع کے رقبے جیسی چیزوں کے لیے استعمال ہوتی ہے اور بالکل مختلف چیز ہے۔ اسے ایک تصویر سے جوڑیں: نقطی ضرب cos استعمال کرتی ہے، یعنی سائے (عمودی ظل) کا تصور۔ یہ اس حقیقت سے بھی مطابقت رکھتا ہے کہ θ=90° ہو تو نقطی ضرب 0 ہوتی ہے۔

اجزاء کی صورت میں نقطی ضرب، x-اجزاء کے حاصل ضرب اور y-اجزاء کے حاصل ضرب کا مجموعہ ہے: 1×3+2×(−1)=3−2=1۔ y-جزو (−1) کی علامت چھوڑ کر 3+2=5 لکھنا عام غلطی ہے۔ یہ بھی یاد رکھیں کہ نقطی ضرب کا جواب ایک واحد عدد ہوتا ہے، سمتیہ نہیں۔

اگر وہ عمود ہوں تو θ=90° اور cosθ=0، لہٰذا نقطی ضرب 0 ہے۔ شرط a₁b₂−a₂b₁=0 سمتیوں کے متوازی ہونے کی شرط ہے، اور یہی وہ شرط ہے جسے عمود ہونے کی شرط سے سب سے زیادہ الجھایا جاتا ہے۔ انہیں جوڑی کی صورت میں یاد کریں: عمود یعنی نقطی ضرب صفر، متوازی یعنی کراس ضرب صفر۔

متوازی ہونے کی شرط a₁b₂−a₂b₁=0 سے 2×6−3x=0 ملتا ہے، لہٰذا x=4۔ عمود ہونے کی شرط یعنی نقطی ضرب = 0 سے حل کریں تو 2x+18=0 اور یوں x=−9 آتا ہے۔ اجزاء کی نسبت 2:3=x:6 کے لحاظ سے سوچنے پر بھی x=4 ملتا ہے۔ 'متوازی یعنی برابر نسبتیں' سے تصدیق کریں۔

نسبت m:n میں اندرونی تقسیم سے (n·a→+m·b→)/(m+n) ملتا ہے۔ 2:1 کے لیے یہ (1·a→+2·b→)/3 ہے۔ سب سے عام غلطی نسبت کے ہر عدد کو قریبی نقطے کے ساتھ لگا دینا ہے، اس لیے یاد رکھیں: 'نسبت کا ہر حصہ دور والے نقطے سے ضرب ہوتا ہے'۔ نسب نما ہمیشہ m+n یعنی نسبت کا مجموعہ ہوتا ہے۔

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7، لہٰذا |a→+b→|=√7۔ نقطی ضرب کی علامت + کر کے 9+6+4=19 لکھنا عام غلطی ہے۔ پھیلانے سے پہلے ہمیشہ مقدار کا مربع لیں، اور آخر میں دوبارہ جذرِ مربع لینا نہ بھولیں۔

مطلق قیمت (modulus) √(1²+1²)=√2 ہے، اور نقطہ (1, 1) کا زاویۂ دلیل π/4 ہے۔ عام غلطیاں یہ ہیں کہ جذر کے بغیر 1²+1²=2 کو مطلق قیمت مان لینا، اور زاویۂ دلیل کی علامت غلط کر دینا۔ اسے عادت بنا لیں: r کے ساتھ ہمیشہ جذرِ مربع ہوتا ہے، اور زاویۂ دلیل کو نقطہ بنا کر جانچیں۔

|z|=√(3²+4²)=√25=5۔ عام غلطیاں یہ ہیں کہ حقیقی اور خیالی حصوں کو جوں کا توں جمع کر کے 7 نکالنا، یا جذر لیے بغیر مربعوں کا مجموعہ 25 جواب دینا۔ 3:4:5 والی قائمہ الزاویہ مثلث یاد کریں تو جواب فوراً مل جاتا ہے۔ مطلق قیمت مبدا سے فاصلہ ہے۔

n-ویں قوت تک بلند کرنے سے زاویۂ دلیل n سے ضرب ہو جاتا ہے: یہی ڈی موآور کا مسئلہ ہے۔ خود زاویہ θ کو n-ویں قوت تک بلند کرنا، یا cos کو n-ویں قوت تک بلند کرنا، سب غلط ہیں۔ اسے گردش کی صورت میں یاد رکھیں: ضرب سے زاویۂ دلیل جمع ہوتے ہیں، اس لیے n-ویں قوت زاویۂ دلیل کو n گنا بڑا کر دیتی ہے۔

(1+i)²=1+2i+i²=2i، لہٰذا (1+i)⁴=(2i)²=−4۔ i²=−1 استعمال کرنا بھول کر +4 جواب دینا عام غلطی ہے۔ قطبی شکل میں مطلق قیمت (√2)⁴=4 اور زاویۂ دلیل 4×45°=180° ہے، اس لیے آپ فوراً −4 جواب دے سکتے ہیں۔ یہ سوال آپ کو ڈی موآور کے مسئلے کی طاقت محسوس کراتا ہے۔

زاویہ θ کی گردش کا مطلب (cosθ+i sinθ) سے ضرب دینا ہے۔ θ=90° کے لیے cos90°+i sin90°=i ہے، لہٰذا جواب iz ہے۔ یہاں −iz دراصل −90° کی گردش ہے، −z دراصل 180° کی گردش ہے، اور z̄ حقیقی محور میں انعکاس ہے، گردش نہیں۔ 'i سے ضرب یعنی گھڑی کی سوئیوں کی الٹی سمت 90° گھمانا' مختلط مستوی کا اصولی جملہ ہے۔

قطع زائد کے لیے c²=a²+b²، لہٰذا c²=4+5=9 اور ماسکے (±3, 0) ہیں۔ سب سے بڑا پھندا اسے قطع ناقص کے رشتے c²=a²−b² سے الجھا کر 4−5 یا |4−5|=1 نکالنا ہے۔ دونوں کو پختگی سے الگ رکھیں: قطع ناقص کے لیے منفی کریں، قطع زائد کے لیے جمع کریں۔ چونکہ x² والا رکن مثبت ہے، ماسکے x-محور پر واقع ہیں۔

متوقع قیمت خطی ہے، لہٰذا E(aX+b)=aE(X)+b۔ اہم نکتہ یہ ہے کہ مستقل b جوں کا توں باقی رہتا ہے۔ اسے تغیر کے فارمولے سے الجھا دینا، جہاں b غائب ہو جاتا ہے، اور b کو چھوڑ دینا عام غلطی ہے۔ تصور کریں: تمام ڈیٹا کو کھسکائیں تو اوسط بھی ٹھیک اتنا ہی کھسک جاتا ہے۔

تغیر پھیلاؤ کو ناپتا ہے، اس لیے b سے کھسکانے پر یہ نہیں بدلتا اور b غائب ہو جاتا ہے، جبکہ پیمانے کا جزو a مربع کی صورت میں اثر کرتا ہے، جس سے a²V(X) ملتا ہے۔ دو عام غلطیاں b کو باقی رکھنا اور a کا مربع لینا بھول جانا ہیں۔ یہ لَے یاد کر لیں: تغیر میں a کا مربع ہوتا ہے اور b غائب ہو جاتا ہے۔

ذو الحدینی تقسیم کا تغیر np(1−p)=100×0.2×0.8=16 ہے۔ قیمت np=20 متوقع قیمت ہے اور اسے آسانی سے تغیر سمجھ لیا جاتا ہے۔ قیمت 4 معیاری انحراف √16 ہے۔ انہیں ایک ساتھ یاد کریں: متوقع قیمت np، اور تغیر کے لیے مزید (1−p) سے ضرب دیں۔

معیاری بنانے کا مطلب ہے z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2۔ σ سے تقسیم کرنا بھول جانے پر 20 آتا ہے، اور تغیر 100 سے تقسیم کرنے پر 0.2 آتا ہے۔ سب سے زیادہ دھیان کی بات یہ ہے کہ N(50, 10²) میں '10²' تغیر ہے، جبکہ تقسیم معیاری انحراف 10 سے کرنی ہے۔ دو مراحل: منفی کریں، پھر σ سے تقسیم کریں۔

نمونے کے اوسط کا معیاری انحراف σ/√n ہے، لہٰذا 95% کے لیے وقفہ x̄±1.96·σ/√n ہے۔ دو بڑی غلطیاں یہ ہیں: σ کو جوں کا توں استعمال کرنا یعنی √n سے تقسیم کرنا بھول جانا، اور اس کے بجائے n سے تقسیم کر دینا۔ قیمت 2.58 دراصل 99% اعتماد کے وقفے کی ہے، جو ایک اور روایتی پھندا ہے۔ اسے ورد بنا لیں: 95% کے ساتھ 1.96، اور وقفے کی چوڑائی میں σ/√n۔

نمونے کے اوسط کا معیاری انحراف σ/√n=12/√36=12/6=2 ہے۔ سب سے عام غلطی جذر چھوڑ کر 12/36=1/3 لکھنا ہے، اور آبادی کا معیاری انحراف 12 جواب دینا بھی غلط ہے۔ اسے یوں سمجھیں: n جتنا بڑا ہو، نمونے کا اوسط اتنا کم بکھرتا ہے، اور یہ سکڑ کر 1/√n گنا رہ جاتا ہے۔