สูตรคณิตศาสตร์ II, B, C

แทนค่าลงในสูตรระยะทาง |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) จะได้ |3+8−1|/5=10/5=2 ถ้าลืมใส่ค่าสัมบูรณ์ที่ตัวเศษ หรือลืมหารด้วย √(a²+b²) ก็จะได้คำตอบเป็น 10 ให้จำเป็นชุดว่า “แทนค่าแล้วใส่ค่าสัมบูรณ์ จากนั้นหารด้วยราก”

ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์จะได้ (x−2)²+(y+3)²=9 จุดที่หลอกคือเครื่องหมาย: (x−2)² หมายความว่าพิกัด x ของจุดศูนย์กลางเป็น +2 ซึ่งตรงข้ามกับเครื่องหมายที่เห็นในวงเล็บ และต้องระวังด้วยว่ารัศมีไม่ใช่ 9 แต่เป็น √9=3

จุดแบ่งภายในด้วยอัตราส่วน m:n คือ ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)) เมื่อเป็น 2:1 จะได้ ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4) ถ้าสลับอัตราส่วนจะได้ (3, 3) และถ้าแบ่งภายนอกจะได้ (13, 8) จำว่า “คูณด้วยส่วนของอัตราส่วนที่อยู่ฝั่งตรงข้าม (คูณไขว้)”

ระยะจากจุดศูนย์กลาง (0, 0) ถึงเส้นตรง 2x−y+5=0 คือ 5/√5=√5 ซึ่งเท่ากับรัศมี √5 พอดี เส้นตรงจึงสัมผัสวงกลม ถ้า d=r จะสัมผัสกัน ถ้า d<r จะตัดกันสองจุด และถ้า d>r จะไม่มีจุดร่วม การเทียบระยะ d จากจุดศูนย์กลางกับรัศมี r เร็วกว่าการใช้ดิสคริมิแนนต์

จาก AP:BP=1:2 ได้ 4AP²=BP² จัดรูปแล้วได้ (x+2)²+y²=16 เมื่ออัตราส่วนของระยะจากจุดคงที่สองจุดไม่ใช่ 1:1 ทางเดินของจุดจะเป็น “วงกลมอะพอลโลเนียส” กับดักคือมีเพียงกรณี 1:1 เท่านั้นที่ได้เส้นแบ่งครึ่งและตั้งฉาก ตรวจสอบเพิ่มด้วยว่าวงกลมจะเบนไปทางฝั่ง A ซึ่งเป็นจุดที่มีส่วนของอัตราส่วนน้อยกว่า

เงื่อนไขการขนานคือ a₁b₂−a₂b₁=0 ดังนั้น 1·3−2·a=0 จึงได้ a=3/2 ส่วนคำตอบ a=−6 มาจากการใช้เงื่อนไขการตั้งฉาก a₁a₂+b₁b₂=0 ซึ่งเป็นกับดักคลาสสิก แยกให้ชัดเจน: ขนานคือรูปคูณไขว้เท่ากับ 0 ตั้งฉากคือรูปผลคูณเชิงสเกลาร์เท่ากับ 0

สูตรผลบวกมุมของ sin เรียงตามลำดับ “ไซน์-โคไซน์ โคไซน์-ไซน์” และเมื่อเป็น (α+β) เครื่องหมายยังคงเป็น + ส่วนเครื่องหมาย − เป็นของ sin(α−β) ท่องจังหวะ “sin cos, cos sin” ออกเสียงดัง ๆ เพื่อจำลำดับให้แม่น

สูตรผลบวกมุมของ cos เรียงเป็น “คอส คอส, ไซน์ ไซน์” และจุดที่ต้องระวังที่สุดคือเครื่องหมายจะพลิกเป็น − เมื่อเป็น (α+β) ส่วน cos(α−β) จะได้เครื่องหมาย + จำว่า cos กลับเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บ ส่วน sin คงเครื่องหมายเดิมไว้

แทน cos²θ=1−sin²θ ลงใน cos2θ=cos²θ−sin²θ จะได้ 1−2sin²θ มักสับสนกับ 2sin²θ−1 ที่กลับเครื่องหมาย หรือกับรูปที่เขียนด้วย cos คือ 2cos²θ−1 จัดระเบียบไว้ว่า เขียนด้วย sin ให้เลข 1 มาก่อน เขียนด้วย cos ให้ −1 อยู่ท้าย

แยกเป็น 75°=45°+30° แล้วใช้สูตรผลบวกมุม: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4 ส่วนค่า (√6−√2)/4 คือ sin15° ซึ่งเป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายที่พบบ่อย ตรวจทานได้ด้วยแนวคิด “ในช่วงนี้มุมยิ่งใหญ่ ค่ายิ่งมาก ดังนั้น 75° ต้องเป็นแบบเครื่องหมาย +”

แอมพลิจูดคือ √(1²+(√3)²)=2 และจาก cosα=1/2, sinα=√3/2 ได้ α=π/3 การอ่านสัมประสิทธิ์สลับกันแล้วได้ π/6 เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อยมาก ยืนยันด้วยอาร์กิวเมนต์ของจุด (1, √3): สัมประสิทธิ์ของ sin คู่กับ cosα และสัมประสิทธิ์ของ cos คู่กับ sinα

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้ sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4 จึงได้ 1+2sinθcosθ=1/4 และ sinθcosθ=−3/8 ถ้าลืมว่า sin²θ+cos²θ=1 แล้วเขียนเป็น 2sinθcosθ=1/4 จะได้ 1/8 กฎทองคือ เมื่อโจทย์ให้ผลบวกมา ให้ยกกำลังสองก่อน แล้วเลข 1 จะโผล่ออกมาเอง

เนื่องจาก 8=2³ จึงได้ 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4 โดยใช้กฎเลขยกกำลัง (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ หรือจะคิดเป็นสองขั้นก็ได้: เลขชี้กำลัง 2/3 หมายถึง “ถอดรากที่สามก่อน แล้วยกกำลังสอง” ดังนั้น ³√8=2 และ 2²=4 ถ้าลืมคูณเลขชี้กำลังเข้าด้วยกันจะได้คำตอบผิดอย่างเช่น 16

ผลบวกของลอการิทึมคือลอการิทึมของผลคูณ: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1 การนำจำนวนที่อยู่หลัง log มาบวกกันจนได้ log₁₀7 เป็นความผิดพลาดคลาสสิก กฎพื้นฐานของลอการิทึมคือ “การบวกกลายเป็นการคูณ”

เนื่องจาก 1/27=3⁻³ จึงได้ log₃3⁻³=−3 เคล็ดลับคือแปลงคำถามเป็น “ต้องยกกำลัง 3 ด้วยเท่าใดจึงได้ 1/27” อย่าทำเครื่องหมายลบหายแล้วตอบ 3 และอย่าสับสนกับ −1/3 ตรวจทานด้วยหลักที่ว่า “ถ้าจำนวนหลัง log น้อยกว่า 1 ค่าลอการิทึมจะเป็นลบ”

ใช้สูตรเปลี่ยนฐานได้ log₄8=log₂8/log₂4=3/2 กับดักคือสลับตัวเศษกับตัวส่วนจนได้ 2/3 จำตำแหน่งไว้ว่า ฐานใหม่เลือกได้อย่างอิสระ จำนวนหลัง log อยู่ข้างบน ส่วนฐานเดิมอยู่ข้างล่าง ตรวจทานได้ด้วย 4^(3/2)=8

เขียนทุกตัวด้วยฐาน 3 จะได้ 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2) ดังนั้น 2x=7/2 และ x=7/4 ถ้าลืมแปลง √3=3^(1/2) แล้วเทียบกับ 27 อย่างเดียว จะได้ 3/2 ก้าวแรกของสมการเลขชี้กำลังคือทำฐานให้เท่ากันเสมอ

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05 ดังนั้น 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ จำนวนนี้จึงมี 16 หลัก การตอบ 15 ซึ่งเป็นส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึม เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุด จำไว้ว่า จำนวนหลัก = ส่วนจำนวนเต็มของลอการิทึม + 1 จึงต้องบวก 1 เสมอ

ใช้ (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ กับทุกพจน์จะได้ f′(x)=3x²−6x การลืมคูณด้วยสัมประสิทธิ์ 3 หรือการหาอนุพันธ์ของ −3x² โดยดึงเฉพาะสัมประสิทธิ์ลงมาจนได้ −3x เป็นความผิดพลาดมาตรฐาน ใช้หลัก “ดึงเลขชี้กำลังลงมาข้างหน้า แล้วลดเลขชี้กำลังลง 1” กับทุกพจน์อย่างระมัดระวัง

ปฏิยานุพันธ์คือ x³+x² ดังนั้น [x³+x²]₀¹=1+1=2 ถ้าแทน x=1 ลงในฟังก์ชันที่จะอินทิเกรตโดยไม่อินทิเกรตก่อน จะได้ 5 อย่าสลับลำดับเด็ดขาด: อินทิเกรตก่อน แล้วจึงแทนค่าที่ขอบเขต

ความชันของเส้นสัมผัสคือค่าอนุพันธ์ f′(3) จาก y′=2x แทน x=3 ได้ 6 ระวังอย่าตอบพิกัด y คือ 9 หรือพิกัด x คือ 3 ไปตรง ๆ คำขวัญคือ ถ้าต้องการความชัน ให้หาอนุพันธ์ก่อน

จาก f′(x)=3x²−3=0 ได้ x=±1 เมื่อเขียนตารางค่าเพิ่ม-ลดจะเห็นว่า f′ เปลี่ยนจาก + เป็น − รอบ ๆ x=−1 จึงเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ โดย f(−1)=−1+3=2 ส่วนที่ x=1 เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ (ค่า −2) จำรูปกราฟไว้ว่า ถ้าสัมประสิทธิ์ของ x³ เป็นบวก ยอดเขาจะมาก่อน ค่าสูงสุดสัมพัทธ์จึงอยู่ทางซ้าย

เส้นโค้งตัดแกน x ที่ x=0 และ x=3 ใช้สูตร 1/6 ได้ |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2 เนื่องจาก y≤0 บนช่วงนี้ ถ้าลืมใส่เครื่องหมายลบตอนอินทิเกรตจะเกิดความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย พื้นที่ที่ถูกล้อมรอบคือ (β−α)³/6 จบในขั้นตอนเดียว

จาก x²=2x+3 ได้ x²−2x−3=0 จุดตัดคือ x=−1 และ x=3 ใช้สูตร 1/6 ได้ (3−(−1))³/6=64/6=32/3 ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือ ลืมทำเศษส่วนอย่างต่ำแล้วไปหา 64/6 ในตัวเลือก หรือยกกำลังสอง (β−α) แทนกำลังสามจนได้ 16/3 ให้ยกกำลังสามของผลต่างแล้วหารด้วย 6 อย่างแม่นยำ

“(พจน์แรก + พจน์สุดท้าย) × จำนวนพจน์ ÷ 2” คือสูตรผลบวกของอนุกรมเลขคณิต นึกภาพเป็นพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู ((ด้านบน + ด้านล่าง) × สูง ÷ 2) แล้วจะไม่ลืม ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือลืม ÷2 หรือลืมคูณด้วยจำนวนพจน์ n

ผลบวกของจำนวนนับตั้งแต่ 1 ถึง n คือ n(n+1)/2 ส่วน n(n−1)/2 เป็นผลบวกตั้งแต่ 1 ถึง n−1 ซึ่งเกิดจากการเลื่อนช่วงผิด ตรวจทานด้วย n=2: 1+2=3=2·3/2 จำว่า “ครึ่งหนึ่งของผลคูณของจำนวนสองจำนวนที่ติดกัน”

สูตรผลบวกกำลังสองคือ n(n+1)(2n+1)/6 มักสับสนกับ n²(n+1)²/4 ซึ่งเป็นสูตรผลบวกกำลังสาม (Σk³) ตรวจทานด้วย n=2 แล้วจะมั่นใจ: 1+4=5=2·3·5/6 คำสำคัญคือ หารด้วย 6 และมี 2n+1 อยู่ตรงกลาง

แทนค่าลงในสูตร a(rⁿ−1)/(r−1) ได้ 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93 จะตรวจสอบด้วยการบวกตรง ๆ ก็ได้: 3+6+12+24+48=93 ระวังการลืมคูณด้วยพจน์แรก 3 ซึ่งจะได้ 31 และการเข้าใจผิดว่าพจน์ที่ห้าคือ 48 เป็นคำตอบ

ผลต่างคือ 2n ดังนั้นเมื่อ n≥2 จะได้ aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (ซึ่งใช้ได้กับ n=1 ด้วย) ถ้าใช้ขอบบนของผลรวมเป็น n แทน จะได้ n²+n+1 และนั่นคือกับดักที่ใหญ่ที่สุด ท่องไว้ว่า “ผลบวกของผลต่างวิ่งถึงแค่ n−1 เท่านั้น” ตรวจทานด้วย a₂=3

จากสมการลักษณะเฉพาะ α=3α+2 ได้ α=−1 จัดรูปความสัมพันธ์เวียนเกิดใหม่เป็น aₙ₊₁+1=3(aₙ+1) ดังนั้น {aₙ+1} เป็นลำดับเรขาคณิตที่มีพจน์แรก 2 และอัตราส่วนร่วม 3 จึงได้ aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ และ aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1 จุดที่พลาดง่ายคือเครื่องหมายในขั้นสุดท้าย ต้องถอนค่าที่บวกเข้าไปออกมา ไม่ใช่บวกซ้ำ ตรวจทานด้วย a₂=5 แล้วจะสบายใจ

ผลคูณเชิงสเกลาร์นิยามว่า “ผลคูณของขนาด × cosθ” ส่วนรูปที่ใช้ sinθ ใช้กับเรื่องอย่างพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ซึ่งเป็นคนละเรื่องกัน ผูกกับภาพไว้ว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ใช้ cos คือแนวคิดของเงา (การฉายตั้งฉาก) ซึ่งสอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่ว่าผลคูณเชิงสเกลาร์เป็น 0 เมื่อ θ=90°

ในรูปส่วนประกอบ ผลคูณเชิงสเกลาร์คือผลบวกของผลคูณส่วน x กับผลคูณส่วน y: 1×3+2×(−1)=3−2=1 การทำเครื่องหมายของส่วนประกอบ y (−1) หายแล้วเขียน 3+2=5 เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย และควรจำด้วยว่าคำตอบของผลคูณเชิงสเกลาร์เป็นจำนวนเพียงจำนวนเดียว ไม่ใช่เวกเตอร์

ถ้าตั้งฉากกันแล้ว θ=90° และ cosθ=0 ผลคูณเชิงสเกลาร์จึงเป็น 0 ส่วนเงื่อนไข a₁b₂−a₂b₁=0 เป็นเงื่อนไขที่ทำให้เวกเตอร์ขนานกัน ซึ่งสับสนกับการตั้งฉากได้ง่ายที่สุด ท่องเป็นคู่ว่า ตั้งฉากคือผลคูณเชิงสเกลาร์เป็นศูนย์ ขนานคือคูณไขว้เป็นศูนย์

จากเงื่อนไขการขนาน a₁b₂−a₂b₁=0 ได้ 2×6−3x=0 ดังนั้น x=4 ถ้าแก้ด้วยผลคูณเชิงสเกลาร์ = 0 ซึ่งเป็นเงื่อนไขการตั้งฉาก จะได้ 2x+18=0 และ x=−9 การคิดในรูปอัตราส่วนของส่วนประกอบ 2:3=x:6 ก็ให้ x=4 เช่นกัน ยืนยันด้วยหลัก “ขนานคืออัตราส่วนเท่ากัน”

การแบ่งภายในด้วยอัตราส่วน m:n ให้ (n·a→+m·b→)/(m+n) เมื่อเป็น 2:1 จะได้ (1·a→+2·b→)/3 ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือนำตัวเลขของอัตราส่วนไปติดกับจุดที่อยู่ใกล้กว่า จึงต้องจำว่า “แต่ละส่วนของอัตราส่วนคูณกับจุดที่อยู่ฝั่งไกล” ส่วนตัวส่วนคือ m+n ซึ่งเป็นผลบวกของอัตราส่วนเสมอ

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7 ดังนั้น |a→+b→|=√7 การเปลี่ยนเครื่องหมายของผลคูณเชิงสเกลาร์เป็น + แล้วเขียน 9+6+4=19 เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย ให้ยกกำลังสองของขนาดก่อนกระจายเสมอ และอย่าลืมถอดรากกลับในขั้นสุดท้าย

ค่าสัมบูรณ์คือ √(1²+1²)=√2 และจุด (1, 1) มีอาร์กิวเมนต์ π/4 ความผิดพลาดมาตรฐานคือใช้ 1²+1²=2 เป็นค่าสัมบูรณ์โดยไม่ถอดราก และการใส่เครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์ผิด ทำให้เป็นนิสัยว่า r ต้องมีรากเสมอ และตรวจอาร์กิวเมนต์ด้วยการวาดตำแหน่งของจุด

|z|=√(3²+4²)=√25=5 ความผิดพลาดที่พบบ่อยคือนำส่วนจริงกับส่วนจินตภาพมาบวกกันตรง ๆ ได้ 7 หรือตอบผลบวกกำลังสอง 25 โดยไม่ถอดราก นึกถึงรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3:4:5 แล้วจะได้คำตอบในพริบตา ค่าสัมบูรณ์คือระยะจากจุดกำเนิดนั่นเอง

การยกกำลัง n ทำให้อาร์กิวเมนต์คูณด้วย n นั่นคือทฤษฎีบทเดอมัวร์ การยกกำลัง n ให้กับมุม θ เอง หรือการยกกำลัง n ให้กับ cos ล้วนผิดทั้งสิ้น จำเป็นภาพของการหมุน: การคูณคือการบวกอาร์กิวเมนต์ ดังนั้นการยกกำลัง n จึงทำให้อาร์กิวเมนต์เป็น n เท่า

(1+i)²=1+2i+i²=2i ดังนั้น (1+i)⁴=(2i)²=−4 การลืมใช้ i²=−1 แล้วตอบ +4 เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย ถ้าใช้รูปเชิงขั้ว ค่าสัมบูรณ์คือ (√2)⁴=4 และอาร์กิวเมนต์คือ 4×45°=180° จึงตอบ −4 ได้ทันที เป็นข้อที่ทำให้รู้สึกถึงพลังของทฤษฎีบทเดอมัวร์

การหมุนด้วยมุม θ คือการคูณด้วย (cosθ+i sinθ) เมื่อ θ=90° จะได้ cos90°+i sin90°=i คำตอบจึงเป็น iz ส่วน −iz คือการหมุน −90°, −z คือการหมุน 180° และ z̄ คือการสะท้อนข้ามแกนจริง ซึ่งไม่ใช่การหมุน คำขวัญของระนาบเชิงซ้อนคือ “คูณด้วย i คือหมุนทวนเข็มนาฬิกา 90°”

สำหรับไฮเพอร์โบลา c²=a²+b² ดังนั้น c²=4+5=9 และจุดโฟกัสคือ (±3, 0) กับดักที่ใหญ่ที่สุดคือการสับสนกับความสัมพันธ์ของวงรี c²=a²−b² แล้วคำนวณ 4−5 หรือ |4−5|=1 แยกให้เด็ดขาดว่า วงรีให้ลบ ไฮเพอร์โบลาให้บวก และเนื่องจากพจน์ x² เป็นบวก จุดโฟกัสจึงอยู่บนแกน x

ค่าคาดหมายมีสมบัติเชิงเส้น ดังนั้น E(aX+b)=aE(X)+b ประเด็นสำคัญคือค่าคงตัว b ยังคงอยู่เหมือนเดิม การสับสนกับสูตรความแปรปรวนซึ่ง b หายไป แล้วทำ b ตกหล่น เป็นความผิดพลาดที่พบบ่อย นึกภาพว่า เลื่อนข้อมูลทั้งชุดไปเท่าใด ค่าเฉลี่ยก็เลื่อนตามไปเท่านั้นพอดี

ความแปรปรวนวัดการกระจาย การเลื่อนด้วย b จึงไม่ทำให้เปลี่ยนแปลงและ b หายไป ส่วนตัวคูณ a จะมีผลแบบยกกำลังสอง จึงได้ a²V(X) ความผิดพลาดที่พบบ่อยสองอย่างคือ คง b ไว้ และลืมยกกำลังสองให้ a ท่องเป็นจังหวะว่า สำหรับความแปรปรวน a ยกกำลังสอง ส่วน b หายไป

ความแปรปรวนของการแจกแจงทวินามคือ np(1−p)=100×0.2×0.8=16 ค่า np=20 คือค่าคาดหมาย ซึ่งเข้าใจผิดเป็นความแปรปรวนได้ง่าย ส่วนค่า 4 คือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน √16 จำเป็นชุดว่า ค่าคาดหมายคือ np ส่วนความแปรปรวนต้องคูณด้วย (1−p) เพิ่มอีกด้วย

การแปลงเป็นคะแนนมาตรฐานคือ z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2 ถ้าลืมหารด้วย σ จะได้ 20 และถ้าหารด้วยความแปรปรวน 100 จะได้ 0.2 จุดที่ต้องระวังที่สุดคือ “10²” ใน N(50, 10²) เป็นความแปรปรวน แต่สิ่งที่ใช้หารคือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 10 มีสองขั้นตอนคือ ลบก่อน แล้วจึงหารด้วย σ

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยของตัวอย่างคือ σ/√n ดังนั้นที่ระดับ 95% ช่วงคือ x̄±1.96·σ/√n ความผิดพลาดใหญ่สองอย่างคือ ใช้ σ ตรง ๆ โดยลืมหารด้วย √n และหารด้วย n แทน ส่วนค่า 2.58 เป็นของช่วงความเชื่อมั่น 99% ซึ่งก็เป็นกับดักมาตรฐานอีกอย่างหนึ่ง ท่องเป็นคาถาว่า 95% คู่กับ 1.96 และความกว้างใช้ σ/√n

ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ยของตัวอย่างคือ σ/√n=12/√36=12/6=2 ความผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือทำรากหายแล้วเขียน 12/36=1/3 และการตอบส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร 12 ก็ผิดเช่นกัน เข้าใจแบบนี้ว่า n ยิ่งมาก ค่าเฉลี่ยของตัวอย่างยิ่งกระจายน้อยลง และหดลงด้วยตัวประกอบ 1/√n