Công thức Toán II, B, C

Thay vào công thức khoảng cách |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) ta được |3+8−1|/5=10/5=2. Nếu quên lấy giá trị tuyệt đối ở tử, hoặc quên chia cho √(a²+b²), thì kết quả sẽ thành 10. Hãy nhớ hai thao tác này thành một cặp: thay số rồi lấy trị tuyệt đối, sau đó chia cho căn.

Hoàn chỉnh bình phương ta được (x−2)²+(y+3)²=9. Cái bẫy nằm ở dấu: từ (x−2)² suy ra hoành độ tâm là +2, tức ngược dấu với số nhìn thấy trong ngoặc. Ngoài ra cũng cần chú ý bán kính không phải 9 mà là √9=3.

Điểm chia trong theo tỉ số m:n có tọa độ ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Với 2:1 ta được ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). Đảo ngược tỉ số sẽ ra (3, 3), còn chia ngoài sẽ ra (13, 8). Hãy nhớ: mỗi phần của tỉ số được nhân với điểm ở phía đối diện (nhân chéo).

Khoảng cách từ tâm (0, 0) đến đường thẳng 2x−y+5=0 là 5/√5=√5, đúng bằng bán kính √5 nên đường thẳng tiếp xúc với đường tròn. Nếu d=r thì tiếp xúc, d<r thì cắt nhau tại hai điểm, d>r thì không có điểm chung. So sánh khoảng cách d từ tâm với bán kính r nhanh hơn nhiều so với dùng biệt thức.

Từ AP:BP=1:2 ta có 4AP²=BP², rút gọn được (x+2)²+y²=16. Khi tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định khác 1:1 thì quỹ tích là một 「đường tròn Apollonius」. Bẫy ở chỗ chỉ khi tỉ số bằng 1:1 quỹ tích mới là đường trung trực. Cũng nên kiểm tra rằng đường tròn nằm lệch về phía A, tức phía ứng với phần nhỏ hơn của tỉ số.

Điều kiện song song là a₁b₂−a₂b₁=0, nên 1·3−2·a=0, suy ra a=3/2. Đáp án a=−6 xuất hiện khi dùng nhầm điều kiện vuông góc a₁a₂+b₁b₂=0, một cái bẫy kinh điển. Hãy phân biệt rõ: song song thì dạng nhân chéo bằng 0, vuông góc thì dạng tích vô hướng bằng 0.

Công thức cộng của sin đi theo thứ tự 「sin cos, cos sin」, và với (α+β) thì dấu giữ nguyên là +. Dấu − chỉ thuộc về sin(α−β). Hãy đọc câu vè quen thuộc 「Sin thì sin cos cos sin」 để nhớ đúng thứ tự.

Công thức cộng của cos đi theo thứ tự 「cos cos, sin sin」, và điều cần chú ý nhất là với (α+β) thì dấu đảo thành −. Dấu + chỉ xuất hiện ở cos(α−β). Hãy nhớ câu vè 「Cos thì cos cos sin sin, dấu trừ」.

Thay cos²θ=1−sin²θ vào cos2θ=cos²θ−sin²θ ta được 1−2sin²θ. Rất dễ nhầm với dạng đảo dấu 2sin²θ−1 hoặc với dạng viết theo cos là 2cos²θ−1. Hãy sắp xếp lại cho dễ nhớ: viết theo sin thì số 1 đứng đầu, viết theo cos thì −1 đứng cuối.

Tách 75°=45°+30° rồi dùng công thức cộng: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. Giá trị (√6−√2)/4 chính là sin15°, đây là lỗi sai dấu điển hình. Có thể kiểm tra nhanh bằng nhận xét 「góc càng lớn thì giá trị càng lớn, nên 75° ứng với dạng có dấu +」.

Biên độ là √(1²+(√3)²)=2, và từ cosα=1/2, sinα=√3/2 suy ra α=π/3. Đọc ngược hai hệ số rồi cho ra π/6 là lỗi rất hay gặp. Hãy kiểm tra bằng góc của điểm (1, √3): hệ số của sin ứng với cosα, còn hệ số của cos ứng với sinα.

Bình phương hai vế ta được sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, tức 1+2sinθcosθ=1/4, suy ra sinθcosθ=−3/8. Nếu quên sin²θ+cos²θ=1 mà viết 2sinθcosθ=1/4 thì sẽ ra 1/8. Quy tắc vàng: hễ đề cho tổng thì bình phương trước, số 1 sẽ tự xuất hiện.

Vì 8=2³ nên 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, ở đây dùng quy tắc lũy thừa (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Cũng có thể làm hai bước: số mũ 2/3 nghĩa là 「lấy căn bậc ba rồi bình phương」, nên ³√8=2 và 2²=4. Quên nhân hai số mũ với nhau sẽ dẫn tới các đáp án sai như 16.

Tổng hai lôgarit là lôgarit của tích: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Cộng hai cơ số của lôgarit lại thành log₁₀7 là lỗi điển hình. Quy tắc cơ bản của lôgarit là 「phép cộng biến thành phép nhân」.

Vì 1/27=3⁻³ nên log₃3⁻³=−3. Mẹo là diễn đạt lại thành 「3 mũ mấy thì bằng 1/27?」. Đừng bỏ mất dấu trừ mà trả lời 3, cũng đừng nhầm với −1/3; hãy kiểm tra bằng nhận xét 「nếu số dưới dấu lôgarit nhỏ hơn 1 thì lôgarit âm」.

Theo công thức đổi cơ số, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. Đảo ngược tử và mẫu thành 2/3 chính là cái bẫy. Hãy nhớ vị trí: cơ số mới được chọn tùy ý, số dưới dấu lôgarit lên tử, còn cơ số cũ xuống mẫu. Kiểm tra bằng 4^(3/2)=8.

Đưa tất cả về cơ số 3 ta có 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), nên 2x=7/2 và x=7/4. Nếu quên biến đổi √3=3^(1/2) mà chỉ so với 27 thì sẽ ra 3/2. Bước đầu tiên với mọi phương trình mũ là đưa về cùng cơ số.

Ta có log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, nên 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ và số đó có 16 chữ số. Trả lời 15, tức phần nguyên của lôgarit, là lỗi hay gặp nhất. Hãy nhớ: số chữ số = phần nguyên của lôgarit + 1, luôn phải cộng thêm 1.

Áp dụng (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ cho từng hạng tử ta được f′(x)=3x²−6x. Quên nhân với hệ số 3, hoặc khi đạo hàm −3x² chỉ hạ hệ số xuống thành −3x, là những lỗi quen thuộc. Hãy áp dụng cẩn thận cho mọi hạng tử quy tắc 「hạ số mũ xuống trước, rồi giảm số mũ đi 1」.

Một nguyên hàm là x³+x², nên [x³+x²]₀¹=1+1=2. Nếu không tích phân mà thay ngay x=1 vào hàm dưới dấu tích phân thì sẽ ra 5. Đừng bao giờ đảo thứ tự: tích phân trước, thay cận sau.

Hệ số góc của tiếp tuyến chính là giá trị đạo hàm f′(3). Từ y′=2x, thay x=3 ta được 6. Cẩn thận đừng lấy luôn tung độ 9 hay hoành độ 3 làm đáp án. Câu cửa miệng: muốn có hệ số góc thì đạo hàm trước đã.

Từ f′(x)=3x²−3=0 ta có x=±1. Lập bảng biến thiên thấy f′ đổi dấu từ + sang − quanh x=−1, nên tại đó hàm số đạt cực đại với f(−1)=−1+3=2. Tại x=1 hàm số đạt cực tiểu (giá trị −2). Hãy nhớ theo hình dáng đồ thị: hệ số của x³ dương thì 「đỉnh đồi」 đến trước, tức cực đại nằm bên trái.

Đường cong cắt trục Ox tại x=0 và x=3. Theo công thức một phần sáu, |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Vì trên khoảng này y≤0 nên nếu quên đặt dấu trừ khi tích phân sẽ dẫn tới sai dấu. Diện tích phần bị giới hạn tính gọn bằng (β−α)³/6.

Từ x²=2x+3 ta có x²−2x−3=0, nên các giao điểm là x=−1 và x=3. Theo công thức một phần sáu, (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Quên rút gọn rồi đi tìm 64/6 trong các phương án, hoặc bình phương (β−α) thay vì lập phương và ra 16/3, là những lỗi thường gặp. Hãy làm chính xác: lập phương hiệu rồi chia cho 6.

Công thức tổng của cấp số cộng là 「(số hạng đầu + số hạng cuối) × số số hạng ÷ 2」. Hãy hình dung nó giống diện tích hình thang ((đáy lớn + đáy bé) × chiều cao ÷ 2) thì sẽ không quên. Quên chia 2, hoặc quên nhân với số số hạng n, là các lỗi điển hình.

Tổng các số tự nhiên từ 1 đến n là n(n+1)/2. Biểu thức n(n−1)/2 là tổng từ 1 đến n−1, một lỗi do lệch phạm vi cộng. Kiểm tra với n=2: 1+2=3=2·3/2. Hãy nhớ là 「một nửa tích của hai số liền nhau」.

Công thức tổng các bình phương là n(n+1)(2n+1)/6. Rất dễ nhầm với n²(n+1)²/4, vốn là công thức tổng các lập phương (Σk³). Kiểm tra với n=2 cho chắc chắn: 1+4=5=2·3·5/6. Từ khóa: chia cho 6, và ở giữa có 2n+1.

Thay vào công thức a(rⁿ−1)/(r−1) ta được 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. Cũng có thể cộng trực tiếp để kiểm tra: 3+6+12+24+48=93. Cẩn thận với việc quên nhân số hạng đầu 3 (dẫn tới 31) và với việc nhầm số hạng thứ năm 48 thành đáp án.

Sai phân bằng 2n nên với n≥2 ta có aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (công thức này cũng đúng khi n=1). Nếu lấy cận trên của tổng là n thì sẽ ra n²+n+1, và đó là cái bẫy lớn nhất. Hãy tự nhắc: 「tổng các sai phân chỉ chạy đến n−1」. Kiểm tra bằng a₂=3.

Từ phương trình đặc trưng α=3α+2 ta được α=−1. Hệ thức truy hồi viết lại thành aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), nên {aₙ+1} là cấp số nhân với số hạng đầu 2 và công bội 3, cho aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ và do đó aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. Lỗi dễ mắc nằm ở dấu của bước cuối: phải trừ đi phần đã cộng thêm chứ không cộng thêm lần nữa. Kiểm tra bằng a₂=5 là yên tâm.

Tích vô hướng được định nghĩa là 「tích hai độ dài × cosθ」. Dạng có sinθ dùng cho những thứ khác như diện tích hình bình hành, hoàn toàn không phải tích vô hướng. Hãy gắn với hình ảnh: tích vô hướng đi với cos, tức ý tưởng về hình chiếu (bóng đổ). Điều này cũng phù hợp với việc tích vô hướng bằng 0 khi θ=90°.

Theo tọa độ, tích vô hướng là tổng của tích các hoành độ và tích các tung độ: 1×3+2×(−1)=3−2=1. Bỏ sót dấu của tung độ (−1) rồi viết 3+2=5 là lỗi điển hình. Cũng cần nhớ kết quả của tích vô hướng là một số, không phải một vectơ.

Nếu vuông góc thì θ=90° và cosθ=0, nên tích vô hướng bằng 0. Điều kiện a₁b₂−a₂b₁=0 là điều kiện để hai vectơ cùng phương, và đây là thứ dễ nhầm với điều kiện vuông góc nhất. Hãy học thuộc theo cặp: vuông góc thì tích vô hướng bằng 0, cùng phương thì nhân chéo bằng 0.

Từ điều kiện cùng phương a₁b₂−a₂b₁=0 ta có 2×6−3x=0, nên x=4. Nếu giải bằng tích vô hướng = 0 (điều kiện vuông góc) thì được 2x+18=0 và x=−9. Xét theo tỉ lệ tọa độ, 2:3=x:6, cũng cho x=4. Hãy xác nhận lại bằng 「cùng phương thì các tỉ lệ bằng nhau」.

Chia trong theo tỉ số m:n cho (n·a→+m·b→)/(m+n). Với 2:1 ta được (1·a→+2·b→)/3. Lỗi hay gặp nhất là gắn mỗi số của tỉ số với điểm ở gần nó, nên hãy nhớ 「mỗi phần của tỉ số nhân với điểm ở phía xa」. Mẫu số luôn là m+n, tức tổng của tỉ số.

Ta có |a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, nên |a→+b→|=√7. Đổi dấu tích vô hướng thành + rồi viết 9+6+4=19 là lỗi điển hình. Luôn bình phương độ dài trước khi khai triển, và đừng quên lấy căn lại ở bước cuối.

Mô đun là √(1²+1²)=√2, còn điểm (1, 1) có acgumen π/4. Hai lỗi quen thuộc là lấy 1²+1²=2 làm mô đun mà quên căn, và nhầm dấu của acgumen. Hãy tạo thói quen: r luôn có dấu căn, còn acgumen thì kiểm tra bằng cách chấm điểm lên mặt phẳng phức.

Ta có |z|=√(3²+4²)=√25=5. Các lỗi thường gặp là cộng thẳng phần thực với phần ảo ra 7, hoặc trả lời tổng bình phương 25 mà quên lấy căn. Nhớ tới tam giác vuông 3:4:5 thì tính ra ngay lập tức. Mô đun chính là khoảng cách từ gốc tọa độ.

Nâng lên lũy thừa bậc n thì acgumen được nhân với n: đó chính là định lí Moivre. Nâng bản thân góc θ lên lũy thừa n, hay nâng cos lên lũy thừa n, đều sai. Hãy nhớ theo hình ảnh phép quay: phép nhân thì cộng acgumen, nên lũy thừa bậc n làm acgumen tăng gấp n lần.

Ta có (1+i)²=1+2i+i²=2i, nên (1+i)⁴=(2i)²=−4. Quên xử lí i²=−1 rồi trả lời +4 là lỗi điển hình. Nếu dùng dạng lượng giác thì mô đun là (√2)⁴=4 và acgumen là 4×45°=180°, nên trả lời ngay được −4. Đây là câu cho ta cảm nhận rõ sức mạnh của định lí Moivre.

Phép quay góc θ tương ứng với việc nhân với (cosθ+i sinθ). Với θ=90° ta có cos90°+i sin90°=i, nên đáp án là iz. Ở đây −iz là phép quay góc −90°, −z là phép quay 180°, còn z̄ là phép đối xứng qua trục thực chứ không phải phép quay. 「Nhân với i nghĩa là quay 90° ngược chiều kim đồng hồ」 là câu cửa miệng của mặt phẳng phức.

Với hypebol ta có c²=a²+b², nên c²=4+5=9 và các tiêu điểm là (±3, 0). Cái bẫy lớn nhất là nhầm với hệ thức của elip c²=a²−b² rồi tính 4−5 hoặc |4−5|=1. Hãy phân biệt thật rõ: elip thì trừ, hypebol thì cộng. Vì hạng tử x² mang dấu dương nên các tiêu điểm nằm trên trục Ox.

Kì vọng có tính tuyến tính nên E(aX+b)=aE(X)+b. Điểm mấu chốt là hằng số b được giữ nguyên. Nhầm với công thức phương sai (nơi b biến mất) rồi bỏ mất b là lỗi điển hình. Hãy hình dung: tịnh tiến toàn bộ dữ liệu thì giá trị trung bình cũng dịch đi đúng bằng chừng ấy.

Phương sai đo độ phân tán nên phép tịnh tiến b không làm nó thay đổi, b biến mất, còn hệ số tỉ lệ a tác động dưới dạng bình phương, cho a²V(X). Hai lỗi hay gặp là giữ lại b và quên bình phương a. Hãy nhớ theo nhịp: với phương sai thì a bình phương, b biến mất.

Phương sai của phân phối nhị thức là np(1−p)=100×0.2×0.8=16. Giá trị np=20 là kì vọng, rất dễ bị lấy nhầm làm phương sai. Còn 4 là độ lệch chuẩn √16. Hãy học thành cặp: kì vọng là np, còn phương sai thì nhân thêm (1−p).

Chuẩn hóa nghĩa là z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Quên chia cho σ thì ra 20, còn chia cho phương sai 100 thì ra 0.2. Điều cần chú ý nhất là 「10²」 trong N(50, 10²) là phương sai, còn thứ ta chia cho là độ lệch chuẩn 10. Chỉ hai bước: trừ đi, rồi chia cho σ.

Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu là σ/√n, nên với mức 95% khoảng tin cậy là x̄±1.96·σ/√n. Hai lỗi lớn là dùng nguyên σ (quên chia cho √n) và chia cho n thay vì √n. Giá trị 2.58 thuộc về khoảng tin cậy 99%, cũng là một cái bẫy kinh điển. Hãy biến nó thành câu thần chú: 95% đi với 1.96, độ rộng dùng σ/√n.

Độ lệch chuẩn của trung bình mẫu là σ/√n=12/√36=12/6=2. Lỗi hay gặp nhất là bỏ dấu căn rồi viết 12/36=1/3, còn trả lời độ lệch chuẩn tổng thể 12 cũng sai. Hãy hiểu thế này: n càng lớn thì trung bình mẫu càng ít phân tán, và mức co lại đúng bằng 1/√n.