數學II・B・C 公式

代入距離公式 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)，得 |3+8−1|/5=10/5=2。若忘記分子要取絕對值，或忘了除以 √(a²+b²)，就會得到「10」。請把「代入後取絕對值、再除以根號」當成一組步驟一起記住。

配方後得 (x−2)²+(y+3)²=9。(x−2)² 代表圓心的 x 坐標是「+2」，括號內看到的符號要反過來，這正是陷阱所在。另外半徑不是 9，而是 √9=3，也要注意。

m:n 內分點為 ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))。2:1 時為 ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4)。比例顛倒會得到 (3, 3)，改成外分則得 (13, 8)。記法是「比例要乘到對側的點上（交叉相乘）」。

圓心 (0, 0) 到直線 2x−y+5=0 的距離為 5/√5=√5，恰好等於半徑 √5，所以兩者相切。d=r 相切、d<r 交於兩點、d>r 沒有交點。比起用判別式，「比較圓心到直線的距離 d 與半徑 r」更快。

由 AP:BP=1:2 得 4AP²=BP²，整理後得 (x+2)²+y²=16。到兩定點的距離比不是 1:1 時，軌跡就是「阿波羅尼斯圓」。只有比為 1:1 時才會變成中垂線，這是陷阱。也可以順便確認：圓會偏向比例較小的那一側（靠近 A 的一側）。

平行條件是 a₁b₂−a₂b₁=0，故 1·3−2·a=0，得 a=3/2。a=−6 是誤用垂直條件 a₁a₂+b₁b₂=0 所得的答案，是經典陷阱。請區分記住「平行是交叉相乘＝0，垂直是內積型＝0」。

sin 的和角公式順序是「sin cos、cos sin」，(α+β) 時符號維持＋。符號變成 − 的是 sin(α−β)。把「正弦餘弦、餘弦正弦」的節奏念出來，就能記住順序。

cos 的和角公式是「cos cos、sin sin」，而 (α+β) 時符號會翻轉成 −，這是最需要注意的地方。變成＋的是 cos(α−β)。記住「餘弦公式的符號要反過來，正弦公式的符號則照舊」。

把 cos²θ=1−sin²θ 代入 cos2θ=cos²θ−sin²θ，得 1−2sin²θ。很容易和符號相反的 2sin²θ−1，或用 cos 表示的 2cos²θ−1 搞混。整理成「用 sin 表示時 1 在最前面，用 cos 表示時 −1 在最後面」就不會弄錯。

拆成 75°=45°+30° 再用和角公式：sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。(√6−√2)/4 是 sin15° 的值，是符號出錯的典型。可以用「角度愈大值也愈大，所以 75° 取＋的那個」來驗算。

振幅為 √(1²+(√3)²)=2，由 cosα=1/2、sinα=√3/2 得 α=π/3。把係數看反而寫成 π/6 是常見錯誤。可用點 (1, √3) 的幅角確認：「sin 的係數對應 cosα，cos 的係數對應 sinα」。

兩邊平方得 sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4，由 1+2sinθcosθ=1/4 得 sinθcosθ=−3/8。忘了 sin²θ+cos²θ=1 而寫成 2sinθcosθ=1/4，就會得到 1/8。鐵則是「給了和就先平方，1 自然會跑出來」。

因為 8=2³，所以 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4，用到的是指數律 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ。也可以分兩步想：「3 分之 2 次方＝先開三次方再平方」，³√8=2，2²=4。忘了把指數相乘就會出現 16 之類的錯誤。

對數相加等於真數相乘：log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1。把真數直接相加寫成 log₁₀7 是典型錯誤。「加法會變成乘法」是對數律的基本。

因為 1/27=3⁻³，所以 log₃3⁻³=−3。訣竅是換句話說：「3 的幾次方會等於 1/27？」不要因為是倒數就漏掉負號而答 3，也別和 −1/3 搞混；可用「真數小於 1 時對數為負」來驗算。

由換底公式，log₄8=log₂8/log₂4=3/2。把分子分母顛倒就會得到 2/3，這正是陷阱。用位置關係記住：「換過去的底可以自由選，真數放分子、原本的底放分母」。可用 4^(3/2)=8 驗算。

把底都化成 3，得 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2)，所以 2x=7/2，x=7/4。若忘了 √3=3^(1/2) 的轉換而只拿 27 來比較，就會得到 3/2。「指數方程式先統一底數」是第一步。

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05，所以 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶，是 16 位數。直接把對數值 15 當成位數作答是最常見的錯誤。記住「位數＝對數的整數部分＋1」，一定要加上 1。

對每一項使用 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹，得 f′(x)=3x²−6x。忘了乘上係數 3，或是把 −3x² 微分時只把係數拿下來寫成 −3x，都是常見失誤。請對每一項仔細套用「把指數搬到前面，指數再減 1」。

反導函數為 x³+x²，所以 [x³+x²]₀¹=1+1=2。沒有先積分就把 x=1 代入被積分函數，會得到 5。「先積分、再代入上下限」的順序不能亂。

切線的斜率就是導數值 f′(3)。由 y′=2x 代入 x=3 得 6。注意不要直接把 y 坐標 9 或 x 坐標 3 當成答案。口訣是「要斜率就先微分」。

由 f′(x)=3x²−3=0 得 x=±1。列出增減表可知 f′ 在 x=−1 前後由＋變成 −，所以該處為極大，且 f(−1)=−1+3=2。x=1 處則是極小（值為 −2）。用圖形的樣子記住：「x³ 的係數為正時山峰先出現（極大在左邊）」。

與 x 軸的交點是 x=0, 3。用六分之一公式：|1|·(3−0)³/6=27/6=9/2。此區間內 y≤0，忘了加上負號再積分就會出現符號錯誤。「所圍面積＝(β−α)³/6」一步到位。

由 x²=2x+3 得 x²−2x−3=0，交點為 x=−1, 3。用六分之一公式：(3−(−1))³/6=64/6=32/3。忘了約分而在選項中找 64/6，或是把 (β−α) 平方而得到 16/3，都是常見錯誤。「差的三次方除以 6」要算得精確。

「(首項＋末項)×項數÷2」就是等差數列求和公式。想成梯形面積（(上底+下底)×高÷2）的同一種形式，就不會忘記。忘了÷2、忘了乘上項數 n，是典型的失誤。

1 到 n 的自然數和是 n(n+1)/2。n(n−1)/2 是「1 到 n−1」的和，是範圍偏移造成的錯誤。用 n=2 驗算可確認 1+2=3=2·3/2。記成「相鄰兩數乘積的一半」。

平方和公式是 n(n+1)(2n+1)/6。n²(n+1)²/4 是立方和（Σk³）的公式，很容易混淆。用 n=2 驗算 1+4=5=2·3·5/6 最保險。關鍵字是「除以 6，中間是 2n+1」。

代入公式 a(rⁿ−1)/(r−1)，得 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93。也可以直接相加確認：3+6+12+24+48=93。忘了乘上首項 3 會得到 31，也要小心別把第 5 項 48 誤當成答案。

階差是 2n，所以 n≥2 時 aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1（n=1 時也成立）。把 Σ 的上限寫成 n，就會變成 n²+n+1，這是最大的陷阱。請默念「階差的和只加到 n−1」。可用 a₂=3 驗算。

由特徵方程式 α=3α+2 得 α=−1。遞迴式可改寫成 aₙ₊₁+1=3(aₙ+1)，故 {aₙ+1} 是首項 2、公比 3 的等比數列，得 aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹，因此 aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1。最後一步的符號最容易弄錯：要把加上去的量還原扣掉，而不是再加一次。用 a₂=5 驗算就安心了。

內積的定義是「兩向量長度的乘積 × cosθ」。用 sinθ 的是平行四邊形面積之類的場合，和內積是不同的東西。把它和「內積用 cos，是投影（正射影）的概念」連在一起記。這也和 θ=90° 時內積為 0 互相吻合。

用分量計算內積，是 x 分量相乘與 y 分量相乘再相加：1×3+2×(−1)=3−2=1。漏掉 y 分量的負號而寫成 3+2=5 是典型失誤。也要記住內積的結果是「一個數」而不是向量。

垂直時 θ=90°、cosθ=0，所以內積為 0。a₁b₂−a₂b₁=0 是平行條件，最容易和垂直條件搞混。成對背起來：「垂直＝內積為零，平行＝交叉相乘為零」。

由平行條件 a₁b₂−a₂b₁=0 得 2×6−3x=0，x=4。若用內積=0（垂直條件）去解，會由 2x+18=0 得到 x=−9。用分量比 2:3=x:6 來想也會得到 x=4。請用「平行就是比相等」確認一次。

m:n 內分為 (n·a→+m·b→)/(m+n)。2:1 時就是 (1·a→+2·b→)/3。最常見的錯誤是把比的數字配到靠近的一側而顛倒，記住「比要乘到對側（較遠）的點上」。分母一定是 m+n＝比的和。

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7，所以 |a→+b→|=√7。把內積的符號改成＋而算成 9+6+4=19 是典型失誤。「長度一定先平方再展開」，最後也別忘了開回根號。

絕對值是 √(1²+1²)=√2，點 (1, 1) 的幅角是 π/4。常見錯誤是直接把 1²+1²=2 當成絕對值（忘了開根號），以及幅角的符號弄錯。養成習慣：「r 一定帶根號，幅角要畫圖確認點的位置」。

|z|=√(3²+4²)=√25=5。把實部與虛部直接相加寫成 7，或把平方和 25 直接當答案，都是常見的錯誤。想起 3:4:5 的直角三角形就能瞬間答出。「絕對值就是到原點的距離」。

取 n 次方會讓「幅角變成 n 倍」，這就是棣美弗定理。把角 θ 本身取 n 次方、或把 cos 取 n 次方的形式，全部都是錯的。用旋轉的概念記：「相乘等於幅角相加，所以 n 次方就是幅角的 n 倍」。

(1+i)²=1+2i+i²=2i，所以 (1+i)⁴=(2i)²=−4。忘了處理 i²=−1 而答＋4 是典型失誤。改用極式的話，絕對值 (√2)⁴=4、幅角 4×45°=180°，可以立刻答出 −4。這是一題能感受棣美弗定理威力的題目。

旋轉角 θ 就是乘上 (cosθ+i sinθ)。θ=90° 時 cos90°+i sin90°=i，所以答案是 iz。−iz 是旋轉 −90°，−z 是旋轉 180°，z̄ 則是對實軸的對稱、並不是旋轉。「乘上 i ＝逆時針轉 90°」是複數平面的口訣。

雙曲線滿足 c²=a²+b²，所以 c²=4+5=9，焦點為 (±3, 0)。最大的陷阱是和橢圓的 c²=a²−b² 混淆而算成 4−5 或 |4−5|=1。務必確實區分「橢圓用減、雙曲線用加」。因為 x² 項為正，所以焦點落在 x 軸上。

期望值具有線性，所以 E(aX+b)=aE(X)+b。重點是常數 b 會原樣保留下來。和變異數的公式（b 會消失）搞混而漏掉 b 是典型失誤。想像成「資料整體平移，平均數就跟著平移同樣的量」。

變異數衡量的是「離散程度」，所以平移 b 不會改變它、b 會消失；而倍率 a 是以平方生效，得到 a²V(X)。留著 b、忘了把 a 平方，是兩個常見錯誤。用節奏記住「變異數裡 a 要平方、b 會消失」。

二項分布的變異數是 np(1−p)=100×0.2×0.8=16。np=20 是期望值，很容易和變異數弄混。4 則是標準差 √16。成套記住：「期望值 np，變異數再多乘一個 (1−p)」。

標準化是 z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2。忘了除以 σ 會得到 20，用變異數 100 去除則會得到 0.2。最需要注意的是 N(50, 10²) 中的「10²」是變異數，而要拿來除的是標準差 10。就兩個步驟：「先相減，再除以 σ」。

樣本平均數的標準差是 σ/√n，所以 95% 的區間是 x̄±1.96·σ/√n。兩大錯誤是直接用 σ（忘了除以 √n），以及誤除以 n。2.58 是 99% 信賴區間所用的值，也是常見的陷阱。把「95% 配 1.96，寬度用 σ/√n」當成咒語背下來吧。

樣本平均數的標準差是 σ/√n=12/√36=12/6=2。沒有開根號而寫成 12/36=1/3 是最常見的錯誤，直接用母體標準差 12 也是錯的。理解成「n 愈大，樣本平均數的離散就愈小，縮小的倍率是 √n 分之 1」。