Formules de Mathématiques II, B et C

En reportant dans la formule de distance |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²), on obtient |3+8−1|/5=10/5=2. Si l'on oublie la valeur absolue au numérateur, ou si l'on oublie de diviser par √(a²+b²), on aboutit à 10. Retenez les deux gestes ensemble : on reporte et on prend la valeur absolue, puis on divise par la racine.

La mise sous forme canonique donne (x−2)²+(y+3)²=9. Le piège est le signe : dans (x−2)², l'abscisse du centre vaut +2, c'est-à-dire l'opposé du signe que l'on lit dans la parenthèse. Remarquez aussi que le rayon n'est pas 9 mais √9=3.

Le point qui partage dans le rapport m:n a pour coordonnées ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Pour 2:1, cela donne ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). En inversant le rapport on trouve (3, 3), et un partage extérieur donne (13, 8). Retenez : chaque nombre du rapport multiplie le point situé de l'autre côté (multiplication en croix).

La distance du centre (0, 0) à la droite 2x−y+5=0 vaut 5/√5=√5, exactement égale au rayon √5 : la droite est donc tangente au cercle. Si d=r il y a tangence, si d<r il y a deux points d'intersection, et si d>r il n'y a aucun point commun. Comparer la distance d au centre avec le rayon r est plus rapide que de passer par le discriminant.

De AP:BP=1:2 on tire 4AP²=BP², et en développant on obtient (x+2)²+y²=16. Lorsque le rapport des distances à deux points fixes n'est pas 1:1, l'ensemble cherché est un « cercle d'Apollonius ». Le piège est là : seul le cas 1:1 donne la médiatrice. Vérifiez aussi que le cercle se rapproche de A, le point associé au plus petit terme du rapport.

La condition de parallélisme s'écrit a₁b₂−a₂b₁=0, donc 1·3−2·a=0 et a=3/2. La réponse a=−6 provient de la condition de perpendicularité a₁a₂+b₁b₂=0 : c'est le piège classique. Distinguez bien les deux : parallèles quand la multiplication en croix vaut 0, perpendiculaires quand la forme « produit scalaire » vaut 0.

La formule d'addition du sinus suit l'ordre « sinus-cosinus, cosinus-sinus », et pour (α+β) le signe reste +. Le signe − correspond à sin(α−β). Répétez le rythme « sin cos, cos sin » à voix haute pour fixer l'ordre.

La formule d'addition du cosinus s'écrit « cos cos, sin sin », et le point le plus délicat est que le signe devient − pour (α+β). Il devient + pour cos(α−β). À retenir : le cosinus inverse le signe de la parenthèse, le sinus le conserve.

En reportant cos²θ=1−sin²θ dans cos2θ=cos²θ−sin²θ, on obtient 1−2sin²θ. On la confond facilement avec 2sin²θ−1, de signes inversés, ou avec la version en cosinus 2cos²θ−1. Classez-les ainsi : écrite avec sin, le 1 est devant ; écrite avec cos, le −1 est derrière.

Décomposez en 75°=45°+30° et appliquez la formule d'addition : sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. La valeur (√6−√2)/4 est celle de sin15°, l'erreur de signe typique. On peut contrôler ainsi : ici, plus l'angle est grand, plus la valeur est grande, donc 75° correspond à la version avec +.

L'amplitude vaut √(1²+(√3)²)=2, et cosα=1/2, sinα=√3/2 donnent α=π/3. Lire les coefficients à l'envers et trouver π/6 est une erreur très fréquente. Vérifiez avec l'argument du point (1, √3) : le coefficient de sin correspond à cosα, et le coefficient de cos correspond à sinα.

En élevant les deux membres au carré, on obtient sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, donc 1+2sinθcosθ=1/4 et sinθcosθ=−3/8. Oublier sin²θ+cos²θ=1 et écrire 2sinθcosθ=1/4 conduit à 1/8. Règle d'or : dès qu'une somme est donnée, on élève au carré et un 1 apparaît.

Comme 8=2³, on a 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, en utilisant la règle (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. On peut aussi procéder en deux temps : l'exposant 2/3 signifie « prendre la racine cubique, puis élever au carré », donc ³√8=2 et 2²=4. Oublier de multiplier les exposants produit des réponses comme 16.

Une somme de logarithmes est le logarithme du produit : log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Additionner les arguments pour écrire log₁₀7 est l'erreur classique. La loi fondamentale des logarithmes, c'est « l'addition se transforme en multiplication ».

Comme 1/27=3⁻³, on a log₃3⁻³=−3. L'astuce consiste à reformuler : « à quelle puissance faut-il élever 3 pour obtenir 1/27 ? ». Ne perdez pas le signe moins en répondant 3, et ne confondez pas avec −1/3 ; contrôlez avec la règle « si l'argument est inférieur à 1, le logarithme est négatif ».

Par la formule de changement de base, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. Intervertir numérateur et dénominateur pour trouver 2/3 est le piège. Mémorisez la disposition : la nouvelle base est libre, l'argument va au numérateur et la base d'origine au dénominateur. Contrôle : 4^(3/2)=8.

En ramenant tout à la base 3, on a 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), donc 2x=7/2 et x=7/4. Si l'on oublie la conversion √3=3^(1/2) et que l'on compare avec 27 seulement, on trouve 3/2. Le premier geste devant toute équation exponentielle : uniformiser les bases.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, donc 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ et le nombre s'écrit avec 16 chiffres. Répondre 15, la partie entière du logarithme, est l'erreur la plus fréquente. Retenez : nombre de chiffres = partie entière du logarithme + 1, donc on ajoute toujours 1.

En appliquant (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ à chaque terme, on obtient f′(x)=3x²−6x. Oublier de multiplier par le coefficient 3, ou dériver −3x² en ne descendant que le coefficient pour écrire −3x, sont les fautes habituelles. Appliquez soigneusement à chaque terme : on descend l'exposant devant, puis on le diminue de 1.

Une primitive est x³+x², donc [x³+x²]₀¹=1+1=2. Reporter x=1 dans la fonction à intégrer sans intégrer donne 5. Ne cassez jamais l'ordre des étapes : on intègre d'abord, on reporte les bornes ensuite.

Le coefficient directeur de la tangente est le nombre dérivé f′(3). De y′=2x, en reportant x=3, on obtient 6. Attention à ne pas répondre l'ordonnée 9 ou l'abscisse 3 telles quelles. Le mot d'ordre : si l'on cherche une pente, on dérive d'abord.

De f′(x)=3x²−3=0 on tire x=±1. Le tableau de signes montre que f′ passe de + à − autour de x=−1 : il y a donc un maximum local, avec f(−1)=−1+3=2. En x=1 il y a un minimum local (valeur −2). Retenez l'allure de la courbe : si le coefficient de x³ est positif, la bosse vient en premier, donc le maximum local est à gauche.

La courbe coupe l'axe des abscisses en x=0 et x=3. Par la formule du 1/6, |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Comme y≤0 sur cet intervalle, oublier le signe moins au moment d'intégrer provoque une erreur de signe. L'aire délimitée vaut (β−α)³/6, d'un seul coup.

De x²=2x+3 on tire x²−2x−3=0, donc les points d'intersection sont x=−1 et x=3. Par la formule du 1/6, (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Oublier de simplifier et chercher 64/6 parmi les réponses, ou élever (β−α) au carré au lieu du cube et tomber sur 16/3, sont les erreurs habituelles. Élevez la différence au cube et divisez par 6, avec précision.

« (premier terme + dernier terme) × nombre de termes ÷ 2 » : voilà la formule de la somme d'une suite arithmétique. Imaginez l'aire d'un trapèze ((grande base + petite base) × hauteur ÷ 2) et vous ne l'oublierez plus. Oublier le ÷2, ou oublier de multiplier par le nombre de termes n, sont les fautes typiques.

La somme des entiers naturels de 1 à n vaut n(n+1)/2. L'expression n(n−1)/2 est la somme de 1 à n−1 : c'est l'erreur due au décalage des bornes. Contrôlez avec n=2 : 1+2=3=2·3/2. Retenez-la comme « la moitié du produit de deux entiers consécutifs ».

La formule de la somme des carrés est n(n+1)(2n+1)/6. On la confond facilement avec n²(n+1)²/4, qui est la formule de la somme des cubes (Σk³). Le contrôle avec n=2 lève tout doute : 1+4=5=2·3·5/6. Mots-clés : on divise par 6, et 2n+1 se place au milieu.

En reportant dans a(rⁿ−1)/(r−1), on obtient 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. On peut aussi vérifier par addition directe : 3+6+12+24+48=93. Attention à ne pas oublier de multiplier par le premier terme 3, ce qui donnerait 31, et à ne pas prendre le cinquième terme 48 pour la réponse.

La différence vaut 2n, donc pour n≥2 on a aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (valable aussi pour n=1). Prendre n comme borne supérieure de la somme donne n²+n+1 : c'est le plus gros piège. Répétez-le : « la somme des différences ne va que jusqu'à n−1 ». Contrôle avec a₂=3.

L'équation caractéristique α=3α+2 donne α=−1. La relation se réécrit aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), donc {aₙ+1} est une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3 : aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹, d'où aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. La faute facile est le signe de la dernière étape : il faut défaire le décalage ajouté, et non l'ajouter une seconde fois. Contrôlez avec a₂=5 et vous serez tranquille.

Le produit scalaire se définit comme « produit des normes × cosθ ». La version avec sinθ sert par exemple à l'aire d'un parallélogramme : c'est tout autre chose. Associez-le à une image : le produit scalaire utilise cos, c'est l'idée d'ombre portée (projection orthogonale). Cela s'accorde avec le fait que le produit scalaire est nul quand θ=90°.

En coordonnées, le produit scalaire est la somme du produit des abscisses et du produit des ordonnées : 1×3+2×(−1)=3−2=1. Perdre le signe de l'ordonnée (−1) et écrire 3+2=5 est l'erreur typique. Notez aussi que le résultat d'un produit scalaire est un nombre unique, et non un vecteur.

S'ils sont orthogonaux, θ=90° et cosθ=0, donc le produit scalaire est nul. La condition a₁b₂−a₂b₁=0 est celle de la colinéarité, et c'est celle que l'on confond le plus souvent avec l'orthogonalité. Mémorisez-les par paire : orthogonaux = produit scalaire nul, colinéaires = multiplication en croix nulle.

De la condition de colinéarité a₁b₂−a₂b₁=0, on tire 2×6−3x=0, donc x=4. En résolvant avec produit scalaire = 0, c'est-à-dire la condition d'orthogonalité, on obtient 2x+18=0 et donc x=−9. Le raisonnement par proportionnalité des coordonnées, 2:3=x:6, donne aussi x=4. Contrôle : « colinéaires, donc rapports égaux ».

Un partage intérieur dans le rapport m:n donne (n·a→+m·b→)/(m+n). Pour 2:1, cela vaut (1·a→+2·b→)/3. L'erreur la plus fréquente consiste à attribuer chaque nombre du rapport au point le plus proche ; retenez donc que « chaque terme du rapport multiplie le point situé de l'autre côté ». Le dénominateur est toujours m+n, la somme du rapport.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, donc |a→+b→|=√7. Changer le signe du produit scalaire en + et écrire 9+6+4=19 est l'erreur typique. Élevez toujours la norme au carré avant de développer, et n'oubliez pas de reprendre la racine à la fin.

Le module vaut √(1²+1²)=√2, et le point (1, 1) a pour argument π/4. Les fautes classiques sont d'utiliser 1²+1²=2 comme module, sans la racine, et de se tromper de signe pour l'argument. Prenez l'habitude : r porte toujours une racine, et l'argument se vérifie en plaçant le point sur un schéma.

|z|=√(3²+4²)=√25=5. Les erreurs courantes sont d'additionner la partie réelle et la partie imaginaire telles quelles pour obtenir 7, ou de répondre la somme des carrés 25 sans prendre la racine. Pensez au triangle rectangle 3:4:5 et c'est immédiat. Le module, c'est la distance à l'origine.

Élever à la puissance n multiplie l'argument par n : c'est la formule de Moivre. Élever l'angle θ lui-même à la puissance n, ou élever cos à la puissance n, sont des formes toutes fausses. Retenez-la par l'image de la rotation : multiplier revient à additionner les arguments, donc la puissance n multiplie l'argument par n.

(1+i)²=1+2i+i²=2i, donc (1+i)⁴=(2i)²=−4. Oublier d'utiliser i²=−1 et répondre +4 est l'erreur typique. En forme trigonométrique, le module vaut (√2)⁴=4 et l'argument 4×45°=180°, ce qui donne −4 instantanément. Une question qui fait sentir toute la puissance de la formule de Moivre.

Une rotation d'angle θ revient à multiplier par (cosθ+i sinθ). Pour θ=90°, on a cos90°+i sin90°=i, d'où iz. Ici −iz correspond à une rotation de −90°, −z à une rotation de 180°, et z̄ à la symétrie par rapport à l'axe des réels, qui n'est pas une rotation. « Multiplier par i, c'est tourner de 90° dans le sens direct » : c'est le mot d'ordre du plan complexe.

Pour une hyperbole, c²=a²+b², donc c²=4+5=9 et les foyers sont (±3, 0). Le plus gros piège est de confondre avec la relation de l'ellipse c²=a²−b² et de calculer 4−5 ou |4−5|=1. Séparez-les nettement : on soustrait pour l'ellipse, on additionne pour l'hyperbole. Comme le terme en x² est positif, les foyers sont sur l'axe des abscisses.

L'espérance est linéaire, donc E(aX+b)=aE(X)+b. Le point important est que la constante b subsiste telle quelle. Confondre avec la formule de la variance, où b disparaît, et perdre le b, voilà l'erreur typique. Imaginez-le : si l'on translate toutes les données, la moyenne se déplace exactement d'autant.

La variance mesure la dispersion : une translation de b la laisse inchangée et le b disparaît, tandis que le facteur d'échelle a agit au carré, d'où a²V(X). Les deux erreurs fréquentes sont de conserver le b et d'oublier d'élever le a au carré. Apprenez le rythme : pour la variance, le a est au carré et le b s'évanouit.

La variance d'une loi binomiale vaut np(1−p)=100×0.2×0.8=16. La valeur np=20 est l'espérance et se confond aisément avec la variance. La valeur 4 est l'écart type √16. Apprenez-les ensemble : espérance np, et pour la variance on multiplie en plus par (1−p).

Centrer et réduire, c'est calculer z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Oublier de diviser par σ donne 20, et diviser par la variance 100 donne 0.2. Le point le plus délicat : le « 10² » de N(50, 10²) est la variance, alors que l'on divise par l'écart type 10. Deux étapes : on soustrait, puis on divise par σ.

L'écart type de la moyenne d'échantillon vaut σ/√n, donc à 95 % l'intervalle s'écrit x̄±1.96·σ/√n. Les deux grosses erreurs sont d'utiliser σ tel quel, en oubliant de diviser par √n, et de diviser par n au lieu de √n. La valeur 2.58 correspond à l'intervalle de confiance à 99 % : encore un piège classique. Faites-en une formule magique : 95 % va avec 1.96, et la demi-largeur utilise σ/√n.

L'écart type de la moyenne d'échantillon vaut σ/√n=12/√36=12/6=2. L'erreur la plus fréquente est d'oublier la racine et d'écrire 12/36=1/3 ; répondre l'écart type 12 de la population est également faux. Comprenez-le ainsi : plus n est grand, moins la moyenne d'échantillon fluctue, et cette réduction se fait d'un facteur 1/√n.