수학 II·B·C 공식

거리 공식 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)에 대입하면 |3+8−1|/5=10/5=2이다. 분자의 절댓값을 빠뜨리거나 √(a²+b²)로 나누는 것을 잊으면 ‘10’이라는 답이 나온다. ‘대입해서 절댓값, 그다음 근호로 나누기’를 한 세트로 외워 두자.

완전제곱식으로 고치면 (x−2)²+(y+3)²=9가 된다. (x−2)²이므로 중심의 x좌표는 ‘+2’로, 괄호 안에 보이는 부호와 반대가 되는 것이 함정이다. 또 반지름은 9가 아니라 √9=3임에도 주의하자.

m:n으로 내분하는 점은 ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))이다. 2:1이면 ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). 비를 거꾸로 쓰면 (3, 3), 외분하면 (13, 8)이 나온다. ‘비의 수는 반대쪽 점에 곱한다(엇갈려 곱하기)’로 기억하자.

중심 (0, 0)과 직선 2x−y+5=0 사이의 거리는 5/√5=√5로 반지름 √5와 정확히 같으므로 접한다. d=r이면 접하고, d<r이면 두 점에서 만나며, d>r이면 공유점이 없다. 판별식을 쓰는 것보다 ‘중심까지의 거리 d와 반지름 r의 비교’가 훨씬 빠르다.

AP:BP=1:2에서 4AP²=BP²로 놓고 정리하면 (x+2)²+y²=16이 된다. 두 정점으로부터의 거리의 비가 1:1이 아닐 때 자취는 ‘아폴로니우스의 원’이 된다. 1:1일 때만 수직이등분선이 되는 점이 함정이다. 원이 비가 작은 쪽인 A에 가까이 치우친다는 것도 확인해 두자.

평행 조건은 a₁b₂−a₂b₁=0이므로 1·3−2·a=0에서 a=3/2이다. a=−6은 수직 조건 a₁a₂+b₁b₂=0을 썼을 때 나오는 값으로 단골 함정이다. ‘평행은 엇갈려 곱해서 0, 수직은 내적 꼴로 0’이라고 구분해서 외우자.

사인의 덧셈정리는 ‘사인·코사인, 코사인·사인’ 순서이고, (α+β)일 때는 부호가 그대로 +이다. 부호가 −인 것은 sin(α−β)일 때이다. ‘사코, 코사’라고 리듬으로 소리 내어 순서를 외워 두자.

코사인의 덧셈정리는 ‘코코, 사사’ 순서이고, (α+β)일 때 부호가 −로 뒤집히는 것이 가장 주의할 점이다. +가 되는 것은 cos(α−β)일 때이다. ‘코사인은 괄호 안 부호를 뒤집고, 사인은 그대로’라고 짝지어 외우자.

cos2θ=cos²θ−sin²θ에 cos²θ=1−sin²θ를 대입하면 1−2sin²θ가 된다. 부호를 뒤집은 2sin²θ−1이나 코사인으로 나타낸 2cos²θ−1과 헷갈리기 쉽다. ‘사인으로 쓰면 1이 앞, 코사인으로 쓰면 −1이 뒤’라고 정리해서 외우자.

75°=45°+30°으로 나누어 덧셈정리를 쓰면 sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4이다. (√6−√2)/4는 sin15°의 값으로, 부호 실수의 전형이다. ‘여기서는 각이 클수록 값도 크다, 그러니 75°는 + 쪽’으로 검산할 수 있다.

진폭은 √(1²+(√3)²)=2이고, cosα=1/2, sinα=√3/2에서 α=π/3이다. 계수를 거꾸로 보고 π/6이라고 하는 것이 자주 나오는 실수다. ‘sin의 계수가 cosα 쪽, cos의 계수가 sinα 쪽’에 대응한다는 것을 점 (1, √3)의 편각으로 확인하자.

양변을 제곱하면 sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4가 되고, 1+2sinθcosθ=1/4에서 sinθcosθ=−3/8이다. sin²θ+cos²θ=1을 잊고 2sinθcosθ=1/4로 두면 1/8이 나와 버린다. ‘합이 주어지면 먼저 제곱, 그러면 1이 나온다’가 철칙이다.

8=2³이므로 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4이다. 지수법칙 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ을 쓴 것이다. ‘3분의 2제곱＝세제곱근을 구한 뒤 제곱’이므로 ³√8=2, 2²=4처럼 두 단계로 생각해도 좋다. 지수끼리 곱하는 것을 잊으면 16 같은 답이 나온다.

로그의 합은 진수의 곱이다: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. 진수끼리 더해서 log₁₀7이라고 하는 것이 전형적인 오답이다. ‘덧셈은 곱셈으로 바뀐다’가 로그 법칙의 기본이다.

1/27=3⁻³이므로 log₃3⁻³=−3이다. ‘3을 몇 제곱하면 1/27이 되는가’로 바꿔 읽는 것이 요령이다. 역수라고 해서 음의 부호를 빠뜨리고 3이라 하거나 −1/3과 헷갈리지 않도록 ‘진수가 1보다 작으면 로그는 음수’로 검산하자.

밑변환 공식으로 log₄8=log₂8/log₂4=3/2이다. 분모와 분자를 거꾸로 쓰면 2/3이 되는 것이 함정이다. ‘바꿀 밑은 자유롭게, 진수가 분자·원래 밑이 분모’라고 위치 관계로 외우자. 4^(3/2)=8로 검산할 수 있다.

밑을 3으로 맞추면 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2)이므로 2x=7/2, x=7/4이다. √3=3^(1/2)로 고치는 것을 잊고 27만 놓고 비교하면 3/2이 나온다. ‘지수방정식은 먼저 밑을 통일한다’가 첫수이다.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05이므로 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶이 되어 16자리이다. 로그의 값 15를 그대로 자릿수라고 답하는 것이 가장 흔한 실수다. ‘자릿수＝로그의 정수 부분＋1’이므로 반드시 1을 더한다는 것을 기억하자.

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹을 각 항에 적용하면 f′(x)=3x²−6x이다. 계수 3을 곱하는 것을 잊거나, −3x²을 미분하면서 계수만 내려 −3x라고 하는 것이 단골 실수다. ‘지수를 앞으로 내리고, 지수를 1 줄인다’를 모든 항에 꼼꼼히 적용하자.

부정적분은 x³+x²이므로 [x³+x²]₀¹=1+1=2이다. 적분하지 않고 피적분함수에 x=1을 대입하면 5가 되어 버린다. ‘먼저 적분한 뒤 양 끝값을 대입한다’는 순서를 절대 흐트러뜨리지 말자.

접선의 기울기는 미분계수 f′(3)이다. y′=2x에 x=3을 대입하여 6. y좌표인 9나 x좌표인 3을 그대로 답하지 않도록 주의하자. ‘기울기가 필요하면 우선 미분’이 구호다.

f′(x)=3x²−3=0에서 x=±1이다. 증감표를 그려 보면 x=−1의 앞뒤에서 f′이 +에서 −로 바뀌므로 극대이고, f(−1)=−1+3=2이다. x=1은 극소(값은 −2)이다. ‘x³의 계수가 양수면 산이 먼저, 즉 왼쪽이 극대’라고 그래프 모양으로 외우자.

x축과의 교점은 x=0, 3이다. 6분의 1 공식으로 |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. 이 구간에서 y≤0이므로 음의 부호를 붙여 적분하는 것을 잊으면 부호 실수가 난다. ‘둘러싸인 넓이는 (β−α)³/6’으로 한 번에 끝난다.

x²=2x+3에서 x²−2x−3=0이므로 교점은 x=−1, 3이다. 6분의 1 공식으로 (3−(−1))³/6=64/6=32/3. 약분을 잊고 64/6인 채로 선택지를 찾거나, (β−α)를 세제곱이 아니라 제곱해서 16/3에 이르는 것이 흔한 오류다. ‘차를 세제곱해서 6으로 나눈다’를 정확하게.

‘(첫째항＋끝항)×항수÷2’가 등차수열의 합 공식이다. 사다리꼴의 넓이((윗변＋아랫변)×높이÷2)와 같은 꼴이라고 떠올리면 잊지 않는다. ÷2를 빠뜨리거나 항수 n을 곱하지 않는 것이 전형적인 실수다.

1부터 n까지 자연수의 합은 n(n+1)/2이다. n(n−1)/2는 ‘1부터 n−1까지’의 합으로, 범위가 어긋나서 생기는 오류다. n=2로 검산하면 1+2=3=2·3/2로 확인할 수 있다. ‘이웃한 두 수의 곱의 절반’이라고 외우자.

제곱의 합 공식은 n(n+1)(2n+1)/6이다. n²(n+1)²/4는 세제곱의 합(Σk³) 공식이라 헷갈리기 쉽다. n=2로 1+4=5=2·3·5/6임을 검산하면 확실하다. ‘6으로 나누고, 가운데에 2n+1’이 핵심어다.

공식 a(rⁿ−1)/(r−1)에 대입하여 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93이다. 3+6+12+24+48=93처럼 직접 더해서 확인해도 된다. 첫째항 3을 곱하는 것을 잊으면 31이 되고, 제5항인 48을 답으로 착각하는 실수에도 주의하자.

계차가 2n이므로 n≥2에서 aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1이다(n=1일 때도 성립). Σ의 위끝을 n으로 잡아 버리면 n²+n+1이 나오는데, 이것이 가장 큰 함정이다. ‘계차의 합은 n−1까지’라고 되뇌자. a₂=3으로 검산.

특성방정식 α=3α+2에서 α=−1이다. aₙ₊₁+1=3(aₙ+1)로 변형되므로 {aₙ+1}은 첫째항 2, 공비 3인 등비수열이고 aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹, 따라서 aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1이다. 마지막에 더했던 몫을 되돌리는 부호 처리를 틀리기 쉽다. a₂=5로 검산하면 안심이다.

내적의 정의는 ‘크기의 곱×cosθ’이다. sinθ를 쓰는 것은 평행사변형의 넓이 등이며 내적과는 다른 것이다. ‘내적은 cos, 그림자(정사영)의 이미지’와 연결해서 외우자. θ=90°일 때 내적이 0이 되는 것과도 앞뒤가 맞는다.

성분으로 나타낸 내적은 x끼리, y끼리 곱한 것의 합이다: 1×3+2×(−1)=3−2=1. y성분의 부호(−1)를 빠뜨리고 3+2=5라고 하는 것이 전형적인 실수다. 내적의 답은 벡터가 아니라 ‘하나의 수’라는 것도 짚어 두자.

수직이면 θ=90°이고 cosθ=0이므로 내적이 0이다. a₁b₂−a₂b₁=0은 평행 조건으로, 수직 조건과 가장 헷갈리기 쉽다. ‘수직＝내적 0, 평행＝엇갈려 곱해서 0’이라고 짝으로 암기하자.

평행 조건 a₁b₂−a₂b₁=0에서 2×6−3x=0, x=4이다. 내적=0(수직 조건)으로 풀면 2x+18=0에서 x=−9가 되어 버린다. 성분의 비로 2:3=x:6이라고 생각해도 x=4가 나온다. ‘평행은 비가 같다’로 확인하자.

m:n 내분은 (n·a→+m·b→)/(m+n)이다. 2:1이면 (1·a→+2·b→)/3. 비의 수를 가까운 쪽 점에 붙여 버리는 뒤집힘 실수가 가장 흔하므로 ‘비는 반대쪽(먼 쪽) 점에 곱한다’고 외운다. 분모는 반드시 m+n, 즉 비의 합이다.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7이므로 |a→+b→|=√7이다. 내적의 부호를 +로 바꿔 9+6+4=19라고 하는 것이 전형적인 실수다. ‘크기는 반드시 제곱한 뒤 전개’하고, 마지막에 근호를 다시 씌우는 것도 잊지 말자.

절댓값은 √(1²+1²)=√2이고, 점 (1, 1)의 편각은 π/4이다. 절댓값을 1²+1²=2인 채로 쓰는 실수와 편각의 부호 실수가 단골이다. ‘r에는 반드시 근호, 편각은 점의 위치를 그림으로 확인’을 습관으로 삼자.

|z|=√(3²+4²)=√25=5이다. 실수부와 허수부를 그냥 더해 7이라고 하거나, 제곱의 합인 25를 그대로 답하는 것이 흔한 오류다. 3:4:5 직각삼각형을 떠올리면 한순간에 끝난다. ‘절댓값은 원점으로부터의 거리’이다.

n제곱하면 ‘편각이 n배’가 되는 것이 드무아브르 정리다. 각 θ 자체를 n제곱하거나 cos를 n제곱하는 꼴은 모두 틀렸다. ‘곱셈은 편각의 덧셈, 그래서 n제곱은 편각이 n배’라고 회전의 이미지로 외우자.

(1+i)²=1+2i+i²=2i이므로 (1+i)⁴=(2i)²=−4이다. i²=−1의 처리를 잊고 +4라고 하는 것이 전형적인 실수다. 극형식으로 보면 절댓값은 (√2)⁴=4, 편각은 4×45°=180°이므로 −4라고 곧바로 답할 수 있다. 드무아브르 정리의 위력을 실감할 수 있는 문제다.

각 θ만큼의 회전은 (cosθ+i sinθ)를 곱하는 것이다. θ=90°이면 cos90°+i sin90°=i이므로 iz이다. −iz는 −90° 회전, −z는 180° 회전이고, z̄는 실축에 대한 대칭이지 회전이 아니다. ‘i를 곱한다＝시계 반대 방향으로 90°’는 복소평면의 구호다.

쌍곡선에서는 c²=a²+b²이므로 c²=4+5=9이고 초점은 (±3, 0)이다. 타원의 c²=a²−b²와 헷갈려 4−5나 |4−5|=1이라고 하는 것이 가장 큰 함정이다. ‘타원은 빼고, 쌍곡선은 더한다’를 확실히 구분하자. x²항이 양수이므로 초점은 x축 위에 있다.

기댓값은 선형성을 가지므로 E(aX+b)=aE(X)+b이다. 상수 b가 그대로 남는 것이 핵심이다. 분산의 공식(b가 사라진다)과 헷갈려 b를 빠뜨리는 것이 전형적인 실수다. ‘평균은 평행이동하면 그만큼 그대로 이동한다’고 떠올리자.

분산은 ‘흩어진 정도’이므로 b만큼의 평행이동으로는 변하지 않아 사라지고, 배율 a는 제곱으로 작용해 a²V(X)가 된다. b를 남기는 것과 a를 제곱하지 않는 것, 이 두 가지가 자주 나오는 실수다. ‘분산에서 a는 제곱, b는 사라진다’라고 리듬으로 외우자.

이항분포의 분산은 np(1−p)=100×0.2×0.8=16이다. np=20은 기댓값이라서 분산과 바꿔 생각하기 쉽다. 4는 표준편차 √16이다. ‘기댓값은 np, 분산은 거기에 (1−p)를 더 곱한다’고 한 세트로 외워 두자.

표준화는 z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2이다. σ로 나누는 것을 잊으면 20, 분산 100으로 나누면 0.2가 된다. N(50, 10²)의 ‘10²’은 분산이고, 나누는 것은 표준편차 10이라는 점이 가장 주의할 부분이다. ‘빼고, σ로 나눈다’의 두 단계.

표본평균의 표준편차는 σ/√n이므로 95%라면 x̄±1.96·σ/√n이다. σ를 그대로 쓰는 것(√n으로 나누는 것을 잊음)과 n으로 나누어 버리는 것이 2대 실수다. 2.58은 99% 신뢰구간의 값으로 이 또한 단골 함정이다. ‘95%는 1.96, 폭은 σ/√n’을 주문처럼 외우자.

표본평균의 표준편차는 σ/√n=12/√36=12/6=2이다. 근호를 붙이지 않고 12/36=1/3이라고 하는 것이 가장 흔한 실수이고, 모표준편차 12를 그대로 두는 것도 틀렸다. ‘n이 클수록 표본평균은 덜 흩어지며, 그 줄어드는 정도는 √n분의 1’이라고 이해해 두자.