Rumus Matematika II, B, dan C

Dengan mensubstitusikan ke rumus jarak |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) diperoleh |3+8−1|/5=10/5=2. Jika nilai mutlak pada pembilang terlupa, atau lupa membagi dengan √(a²+b²), hasilnya menjadi 10. Hafalkan kedua langkahnya sekaligus: substitusikan lalu ambil nilai mutlaknya, kemudian bagi dengan akarnya.

Dengan melengkapkan kuadrat sempurna diperoleh (x−2)²+(y+3)²=9. Jebakannya ada pada tanda: bentuk (x−2)² berarti absis pusatnya +2, kebalikan dari tanda yang terlihat di dalam kurung. Perhatikan juga bahwa jari-jarinya bukan 9, melainkan √9=3.

Titik yang membagi dengan perbandingan m:n adalah ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Untuk 2:1 diperoleh ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). Jika perbandingannya dibalik hasilnya (3, 3), dan jika dibagi di luar hasilnya (13, 8). Ingat begini: 「kalikan dengan bagian perbandingan yang berada di seberangnya」 (perkalian silang).

Jarak dari pusat (0, 0) ke garis 2x−y+5=0 adalah 5/√5=√5, tepat sama dengan jari-jari √5, sehingga garis itu menyinggung lingkaran. Jika d=r keduanya bersinggungan, jika d<r berpotongan di dua titik, dan jika d>r tidak ada titik persekutuan. Membandingkan jarak d dari pusat dengan jari-jari r lebih cepat daripada memakai diskriminan.

Dari AP:BP=1:2 diperoleh 4AP²=BP², dan setelah dirapikan menjadi (x+2)²+y²=16. Jika perbandingan jarak terhadap dua titik tetap bukan 1:1, tempat kedudukannya berupa 「lingkaran Apollonius」. Jebakannya, hanya kasus 1:1 yang menghasilkan garis sumbu. Periksa juga bahwa lingkarannya condong ke sisi A, yaitu titik dengan bagian perbandingan yang lebih kecil.

Syarat sejajar adalah a₁b₂−a₂b₁=0, sehingga 1·3−2·a=0 dan a=3/2. Jawaban a=−6 muncul jika memakai syarat tegak lurus a₁a₂+b₁b₂=0, sebuah jebakan klasik. Bedakan dengan jelas: sejajar berarti bentuk perkalian silang sama dengan 0, tegak lurus berarti bentuk hasil kali skalar sama dengan 0.

Rumus penjumlahan sudut untuk sinus berurutan 「sin-cos, cos-sin」, dan untuk (α+β) tandanya tetap +. Tanda − dipakai pada sin(α−β). Ucapkan iramanya 「sin cos, cos sin」 agar urutannya melekat.

Rumus penjumlahan sudut untuk kosinus berbunyi 「cos cos, sin sin」, dan hal yang paling perlu diperhatikan adalah tandanya berbalik menjadi − untuk (α+β). Tandanya menjadi + pada cos(α−β). Ingat: kosinus membalik tanda yang ada di dalam kurung, sinus mempertahankannya.

Dengan mensubstitusikan cos²θ=1−sin²θ ke cos2θ=cos²θ−sin²θ diperoleh 1−2sin²θ. Bentuk ini mudah tertukar dengan 2sin²θ−1 yang tandanya terbalik, atau dengan versi kosinus 2cos²θ−1. Rapikan begini: jika ditulis dengan sin, angka 1 berada di depan; jika ditulis dengan cos, −1 berada di belakang.

Pecah menjadi 75°=45°+30° lalu gunakan rumus penjumlahan sudut: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. Nilai (√6−√2)/4 adalah sin15°, kesalahan tanda yang khas. Kamu bisa memeriksanya dengan 「di daerah ini makin besar sudutnya makin besar pula nilainya, jadi 75° memakai versi +」.

Amplitudonya √(1²+(√3)²)=2, dan dari cosα=1/2, sinα=√3/2 diperoleh α=π/3. Membaca koefisiennya secara terbalik lalu menjawab π/6 adalah kesalahan yang sangat sering terjadi. Pastikan lewat argumen titik (1, √3): koefisien sin bersesuaian dengan cosα, dan koefisien cos bersesuaian dengan sinα.

Dengan mengkuadratkan kedua ruas diperoleh sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, sehingga 1+2sinθcosθ=1/4 dan sinθcosθ=−3/8. Melupakan sin²θ+cos²θ=1 lalu menulis 2sinθcosθ=1/4 menghasilkan 1/8. Aturan emasnya: begitu jumlahnya diketahui, kuadratkan lebih dulu maka angka 1 akan muncul.

Karena 8=2³, maka 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, dengan memakai sifat pangkat (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Bisa juga dikerjakan dua langkah: pangkat 2/3 berarti 「tarik akar pangkat tiga dulu, lalu kuadratkan」, jadi ³√8=2 dan 2²=4. Lupa mengalikan pangkatnya menghasilkan jawaban seperti 16.

Jumlah logaritma sama dengan logaritma dari hasil kalinya: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Menjumlahkan numerusnya sehingga menjadi log₁₀7 adalah kesalahan klasik. Sifat dasar logaritma: 「penjumlahan berubah menjadi perkalian」.

Karena 1/27=3⁻³, maka log₃3⁻³=−3. Kuncinya, ubah pertanyaannya menjadi 「3 dipangkatkan berapa agar menghasilkan 1/27?」. Jangan menghilangkan tanda minusnya lalu menjawab 3, dan jangan tertukar dengan −1/3; periksa dengan 「jika numerusnya kurang dari 1, logaritmanya negatif」.

Dengan rumus pengubahan basis, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. Menukar pembilang dengan penyebut sehingga menjadi 2/3 adalah jebakannya. Ingat susunannya: basis barunya bebas kita pilih, numerus berada di atas dan basis lama berada di bawah. Periksa dengan 4^(3/2)=8.

Dengan menyamakan semuanya ke basis 3 diperoleh 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), sehingga 2x=7/2 dan x=7/4. Jika lupa mengubah √3=3^(1/2) dan hanya membandingkan dengan 27 saja, hasilnya menjadi 3/2. Langkah pertama untuk setiap persamaan eksponen adalah menyamakan basisnya.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, sehingga 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ dan bilangan itu terdiri atas 16 angka. Menjawab 15, yaitu bagian bulat dari logaritmanya, adalah kesalahan yang paling sering muncul. Ingat: banyaknya angka = bagian bulat logaritma + 1, jadi selalu tambahkan 1.

Menerapkan (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ pada tiap suku memberikan f′(x)=3x²−6x. Lupa mengalikan dengan koefisien 3, atau menurunkan −3x² dengan hanya menurunkan koefisiennya sehingga menjadi −3x, adalah kesalahan yang biasa terjadi. Terapkan 「turunkan pangkatnya ke depan, lalu kurangi pangkatnya dengan 1」 secara teliti pada setiap suku.

Salah satu antiturunannya adalah x³+x², sehingga [x³+x²]₀¹=1+1=2. Mensubstitusikan x=1 ke fungsi yang diintegralkan tanpa mengintegralkannya lebih dulu menghasilkan 5. Jangan pernah membalik urutannya: integralkan dulu, baru substitusikan batas-batasnya.

Gradien garis singgung adalah nilai turunan f′(3). Dari y′=2x, substitusi x=3 memberikan 6. Hati-hati, jangan menjawab ordinat 9 atau absis 3 apa adanya. Slogannya: kalau ingin gradien, turunkan dulu.

Dari f′(x)=3x²−3=0 diperoleh x=±1. Tabel tanda menunjukkan bahwa f′ berubah dari + menjadi − di sekitar x=−1, jadi di sana terdapat maksimum lokal dengan f(−1)=−1+3=2. Di x=1 terdapat minimum lokal (nilainya −2). Ingat bentuk grafiknya: jika koefisien x³ positif, bukitnya muncul lebih dulu, sehingga maksimum lokalnya berada di sebelah kiri.

Kurva itu memotong sumbu x di x=0 dan x=3. Dengan rumus 1/6, |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Karena y≤0 pada selang ini, lupa membubuhkan tanda minus saat mengintegralkan akan menimbulkan kesalahan tanda. Luas daerah yang dibatasi langsung diperoleh dari (β−α)³/6.

Dari x²=2x+3 diperoleh x²−2x−3=0, sehingga titik potongnya x=−1 dan x=3. Dengan rumus 1/6, (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Lupa menyederhanakan lalu mencari 64/6 di antara pilihan, atau mengkuadratkan (β−α) alih-alih memangkatkan tiga sehingga mendapat 16/3, adalah kesalahan yang biasa terjadi. Pangkatkan tiga selisihnya lalu bagi dengan 6, dengan cermat.

「(suku pertama + suku terakhir) × banyak suku ÷ 2」 adalah rumus jumlah deret aritmetika. Bayangkan sebagai luas trapesium ((sisi sejajar atas + sisi sejajar bawah) × tinggi ÷ 2) maka rumusnya tidak akan terlupa. Lupa membagi dengan 2, atau lupa mengalikan dengan banyak suku n, adalah kesalahan yang khas.

Jumlah bilangan asli dari 1 sampai n adalah n(n+1)/2. Bentuk n(n−1)/2 adalah jumlah dari 1 sampai n−1, kesalahan yang timbul karena pergeseran batas. Periksa dengan n=2: 1+2=3=2·3/2. Ingat sebagai 「setengah dari hasil kali dua bilangan yang berurutan」.

Rumus jumlah kuadrat adalah n(n+1)(2n+1)/6. Bentuk ini mudah tertukar dengan n²(n+1)²/4, yaitu rumus jumlah pangkat tiga (Σk³). Memeriksanya dengan n=2 membuatnya pasti: 1+4=5=2·3·5/6. Kata kuncinya: dibagi 6, dan ada 2n+1 di tengah.

Substitusi ke rumus a(rⁿ−1)/(r−1) memberikan 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. Bisa juga dipastikan dengan menjumlahkan langsung: 3+6+12+24+48=93. Waspadai lupa mengalikan dengan suku pertama 3 yang menghasilkan 31, dan salah menganggap suku kelima 48 sebagai jawabannya.

Selisihnya 2n, sehingga untuk n≥2 diperoleh aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (yang juga berlaku untuk n=1). Mengambil batas atas penjumlahannya sebagai n justru menghasilkan n²+n+1, dan itulah jebakan terbesarnya. Ucapkan terus: 「jumlah selisihnya hanya sampai n−1」. Periksa dengan a₂=3.

Dari persamaan karakteristik α=3α+2 diperoleh α=−1. Relasinya dapat ditulis ulang menjadi aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), sehingga {aₙ+1} adalah barisan geometri dengan suku pertama 2 dan rasio 3, memberikan aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ dan karena itu aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. Kesalahan yang mudah terjadi ada pada tanda di langkah terakhir: pergeseran yang tadi ditambahkan harus dikembalikan, bukan ditambahkan lagi. Periksa dengan a₂=5 maka kamu bisa tenang.

Hasil kali skalar didefinisikan sebagai 「hasil kali panjang kedua vektor × cosθ」. Bentuk dengan sinθ dipakai untuk hal lain, misalnya luas jajaran genjang, jadi keduanya berbeda. Kaitkan dengan gambar: hasil kali skalar memakai cos, yaitu gagasan bayangan (proyeksi ortogonal). Ini juga sesuai dengan kenyataan bahwa hasil kali skalarnya 0 ketika θ=90°.

Dalam bentuk komponen, hasil kali skalar adalah jumlah dari hasil kali komponen x dan hasil kali komponen y: 1×3+2×(−1)=3−2=1. Menghilangkan tanda pada komponen y (−1) lalu menulis 3+2=5 adalah kesalahan yang khas. Perhatikan juga bahwa hasil kali skalar berupa satu bilangan, bukan vektor.

Jika keduanya tegak lurus maka θ=90° dan cosθ=0, sehingga hasil kali skalarnya 0. Syarat a₁b₂−a₂b₁=0 adalah syarat agar kedua vektor sejajar, dan syarat itulah yang paling mudah tertukar dengan syarat tegak lurus. Hafalkan berpasangan: tegak lurus berarti hasil kali skalar nol, sejajar berarti perkalian silang nol.

Dari syarat sejajar a₁b₂−a₂b₁=0 diperoleh 2×6−3x=0, sehingga x=4. Menyelesaikannya dengan hasil kali skalar = 0, yaitu syarat tegak lurus, memberikan 2x+18=0 sehingga x=−9. Berpikir lewat perbandingan komponen, 2:3=x:6, juga memberikan x=4. Pastikan dengan 「sejajar berarti perbandingannya sama」.

Membagi di dalam dengan perbandingan m:n memberikan (n·a→+m·b→)/(m+n). Untuk 2:1 hasilnya (1·a→+2·b→)/3. Kesalahan yang paling sering adalah menempelkan tiap angka perbandingan pada titik yang lebih dekat, jadi ingatlah 「tiap bagian perbandingan mengalikan titik di seberangnya」. Penyebutnya selalu m+n, yaitu jumlah perbandingannya.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, sehingga |a→+b→|=√7. Mengubah tanda hasil kali skalarnya menjadi + lalu menulis 9+6+4=19 adalah kesalahan yang khas. Selalu kuadratkan panjangnya sebelum menjabarkan, dan jangan lupa menarik akarnya kembali di akhir.

Modulusnya √(1²+1²)=√2, dan titik (1, 1) mempunyai argumen π/4. Kesalahan bakunya adalah memakai 1²+1²=2 sebagai modulus tanpa menarik akar, serta salah tanda pada argumennya. Jadikan kebiasaan: r selalu memuat akar, dan argumennya diperiksa dengan menggambar titiknya.

|z|=√(3²+4²)=√25=5. Kesalahan yang umum adalah menjumlahkan bagian real dan bagian imajiner apa adanya sehingga menjadi 7, atau menjawab jumlah kuadratnya 25 tanpa menarik akar. Ingat segitiga siku-siku 3:4:5 maka jawabannya keluar dalam sekejap. Modulus adalah jarak dari titik asal.

Memangkatkan dengan n membuat argumennya menjadi n kali lipat: itulah teorema De Moivre. Memangkatkan sudut θ itu sendiri dengan n, atau memangkatkan cos dengan n, semuanya salah. Ingat lewat gagasan rotasi: perkalian berarti penjumlahan argumen, jadi pangkat n membuat argumennya n kali lipat.

(1+i)²=1+2i+i²=2i, sehingga (1+i)⁴=(2i)²=−4. Lupa memakai i²=−1 lalu menjawab +4 adalah kesalahan yang khas. Dalam bentuk polar, modulusnya (√2)⁴=4 dan argumennya 4×45°=180°, jadi jawaban −4 bisa langsung diperoleh. Soal yang membuat kita merasakan ampuhnya teorema De Moivre.

Rotasi sebesar sudut θ berarti mengalikan dengan (cosθ+i sinθ). Untuk θ=90° kita punya cos90°+i sin90°=i, jadi jawabannya iz. Di sini −iz adalah rotasi sebesar −90°, −z adalah rotasi 180°, dan z̄ adalah pencerminan terhadap sumbu real, bukan rotasi. 「Mengalikan dengan i berarti memutar 90° berlawanan arah jarum jam」 adalah semboyan bidang kompleks.

Untuk hiperbola berlaku c²=a²+b², sehingga c²=4+5=9 dan titik fokusnya (±3, 0). Jebakan terbesarnya adalah tertukar dengan hubungan pada elips c²=a²−b² lalu menghitung 4−5 atau |4−5|=1. Bedakan dengan tegas: elips mengurangkan, hiperbola menjumlahkan. Karena suku x² bertanda positif, titik fokusnya terletak pada sumbu x.

Nilai harapan bersifat linear, sehingga E(aX+b)=aE(X)+b. Intinya, konstanta b tetap ada apa adanya. Tertukar dengan rumus varians, yang di situ b menghilang, lalu ikut menghilangkan b adalah kesalahan yang khas. Bayangkan begini: geser seluruh datanya maka rata-ratanya bergeser persis sebesar itu juga.

Varians mengukur sebaran, sehingga pergeseran sebesar b tidak mengubahnya dan b pun menghilang, sedangkan faktor skala a berpengaruh secara kuadrat sehingga hasilnya a²V(X). Dua kesalahan yang sering muncul adalah mempertahankan b dan lupa mengkuadratkan a. Hafalkan iramanya: pada varians, a dikuadratkan dan b lenyap.

Varians distribusi binomial adalah np(1−p)=100×0.2×0.8=16. Nilai np=20 adalah nilai harapannya dan mudah dikira varians. Nilai 4 adalah simpangan bakunya, yaitu √16. Hafalkan sepaket: nilai harapan np, dan untuk varians kalikan juga dengan (1−p).

Pembakuan berarti z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Lupa membagi dengan σ menghasilkan 20, dan membagi dengan varians 100 menghasilkan 0.2. Hal yang paling perlu diperhatikan: 「10²」 pada N(50, 10²) adalah variansnya, sedangkan pembaginya adalah simpangan baku 10. Dua langkah: kurangkan, lalu bagi dengan σ.

Simpangan baku rata-rata sampel adalah σ/√n, sehingga untuk 95% selangnya menjadi x̄±1.96·σ/√n. Dua kesalahan besarnya adalah memakai σ apa adanya karena lupa membagi dengan √n, dan justru membagi dengan n. Nilai 2.58 milik selang kepercayaan 99%, jebakan baku lainnya. Jadikan mantra: 95% berpasangan dengan 1.96, dan lebarnya memakai σ/√n.

Simpangan baku rata-rata sampel adalah σ/√n=12/√36=12/6=2. Kesalahan yang paling sering adalah menghilangkan akarnya lalu menulis 12/36=1/3, dan menjawab simpangan baku populasi 12 juga salah. Pahami begini: makin besar n, makin kecil keragaman rata-rata sampel, dan penyusutannya sebesar 1/√n.