数学II·B·C 公式

代入点到直线的距离公式 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²)，得 |3+8−1|/5=10/5=2。分子忘记取绝对值，或者忘记除以 √(a²+b²)，就会得到“10”。把“代入后取绝对值，再除以根号”当作一套动作成对记住。

配方后得 (x−2)²+(y+3)²=9。(x−2)² 所对应的圆心横坐标是“+2”，与括号里看到的符号相反，这正是陷阱所在。还要注意半径不是9，而是 √9=3。

按 m:n 内分的点为 ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))。取 2:1 时为 ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4)。把比反过来会得到(3, 3)，改成外分则得到(13, 8)。记住“比例数要乘到对面那个点上（交叉相乘）”。

圆心(0, 0)到直线 2x−y+5=0 的距离是 5/√5=√5，恰好等于半径√5，所以相切。d=r 时相切，d<r 时交于两点，d>r 时没有公共点。比起用判别式，“比较圆心到直线的距离 d 与半径 r”更快。

由 AP:BP=1:2 得 4AP²=BP²，整理后为 (x+2)²+y²=16。到两个定点的距离之比不是1:1时，轨迹就是“阿波罗尼斯圆”。只有比为1:1时才是垂直平分线，这一点最容易上当。还要确认这个圆偏向A一侧（比值较小的一侧）。

平行条件是 a₁b₂−a₂b₁=0，由 1·3−2·a=0 得 a=3/2。a=−6 是误用垂直条件 a₁a₂+b₁b₂=0 得到的答案，是经典陷阱。“平行看交叉相乘＝0，垂直看数量积形式＝0”，要分开记牢。

正弦的和角公式按“正余、余正”的顺序排列，取 (α+β) 时符号照旧为＋。符号为−的是 sin(α−β)。用口诀“正余余正，符号相同”来记住顺序和符号。

余弦的和角公式是“余余、正正”，取 (α+β) 时符号反转为−，这是最需要注意的地方。变成＋的是 cos(α−β)。用口诀“余余正正，符号相反”来记。

把 cos²θ=1−sin²θ 代入 cos2θ=cos²θ−sin²θ，得 1−2sin²θ。容易与符号相反的 2sin²θ−1，或者用cos表示的 2cos²θ−1 混淆。整理成“用sin表示时1在最前，用cos表示时−1在最后”来记忆。

把 75°=45°+30° 拆开后用和角公式，得 sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。(√6−√2)/4 是 sin15° 的值，属于典型的符号失误。可以用“这里角越大值越大，所以75°取＋的那个”来检验。

振幅为 √(1²+(√3)²)=2，由 cosα=1/2、sinα=√3/2 得 α=π/3。把两个系数看反而写成 π/6 是高频错误。在坐标平面上画出点(1, √3)，就能确认“sin的系数对应cosα，cos的系数对应sinα”。

两边平方得 sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4，即 1+2sinθcosθ=1/4，所以 sinθcosθ=−3/8。忘记 sin²θ+cos²θ=1 而写成 2sinθcosθ=1/4，就会得到 1/8。“给出了和就先平方，1 自然会冒出来”是铁律。

因为 8=2³，所以 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4，用的是指数运算法则 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ。也可以分两步想：“3分之2次方＝先开三次方再平方”，即 ³√8=2，2²=4。忘记把指数相乘就会出现16之类的错误。

对数相加等于真数相乘：log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1。把真数直接相加写成 log₁₀7 是典型错误。“加法变乘法”是对数运算法则的基础。

因为 1/27=3⁻³，所以 log₃3⁻³=−3。诀窍是把它读成“3的多少次方等于1/27”。不要因为是倒数就漏掉负号写成3，也不要与 −1/3 混淆；可以用“真数小于1时对数为负”来检验。

用换底公式，log₄8=log₂8/log₂4=3/2。把分子分母写反就成了2/3，这就是陷阱。记住位置关系：“换成哪个底可以自由选，真数在分子、原来的底在分母”。可以用 4^(3/2)=8 来检验。

把底统一成3，得 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2)，所以 2x=7/2，x=7/4。忘记 √3=3^(1/2) 这个转换、只和27比较，就会得到 3/2。“解指数方程先统一底数”是第一步。

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05，所以 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶，是16位数。把对数的值15直接当作位数来回答是最常见的错误。记住“位数＝对数的整数部分＋1”，一定要加上这个1。

对每一项使用 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹，得 f′(x)=3x²−6x。忘记乘上系数3，或者对 −3x² 求导时只把系数拿下来写成 −3x，都是常见失误。“把指数拿到前面，再把指数减1”，要对每一项都认真执行。

原函数是 x³+x²，所以 [x³+x²]₀¹=1+1=2。不积分就直接把 x=1 代入被积函数，会得到5。“先积分，再代入上下限”这个顺序不能打乱。

切线的斜率就是导数值 f′(3)。由 y′=2x，代入 x=3 得6。注意不要把纵坐标9或横坐标3直接当成答案。“想要斜率就先求导”是口号。

由 f′(x)=3x²−3=0 得 x=±1。列出增减表可以看到，在 x=−1 前后 f′ 由＋变为−，所以此处取极大值，f(−1)=−1+3=2。x=1 处是极小值（值为−2）。用图像的形状记：“x³的系数为正时先出现山峰，即左边是极大”。

与x轴的交点是 x=0, 3。用6分之1公式，|1|·(3−0)³/6=27/6=9/2。这个区间上 y≤0，忘记加负号再积分就会出现符号错误。“所围面积＝(β−α)³/6”一步到位。

由 x²=2x+3 得 x²−2x−3=0，交点为 x=−1, 3。用6分之1公式，(3−(−1))³/6=64/6=32/3。忘记约分而在选项里找64/6，或者把 (β−α) 平方而不是立方，就会得到16/3之类的答案。“差的三次方除以6”要算得准确。

“(首项＋末项)×项数÷2”就是等差数列求和公式。把它想象成梯形面积（(上底+下底)×高÷2）的同一形式就不会忘。忘记÷2、忘记乘项数n，是典型错误。

从1到n的自然数之和是 n(n+1)/2。n(n−1)/2 是“从1到n−1”的和，属于范围错位造成的错误。取 n=2 检验就能确认：1+2=3=2·3/2。记成“相邻两数之积的一半”。

平方和公式是 n(n+1)(2n+1)/6。n²(n+1)²/4 是立方和（Σk³）的公式，很容易混淆。取 n=2 检验 1+4=5=2·3·5/6 就万无一失。关键词是“除以6，中间是2n+1”。

代入公式 a(rⁿ−1)/(r−1)，得 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93。也可以直接相加 3+6+12+24+48=93 来确认。要注意忘记乘首项3会得到31，也别把第5项48误当成答案。

因为差为2n，当 n≥2 时 aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1（n=1 时也成立）。把Σ的上限写成 n 就会得到 n²+n+1，这是最大的陷阱。念一句“差的和只累加到 n−1”。用 a₂=3 检验。

由特征方程 α=3α+2 得 α=−1。可变形为 aₙ₊₁+1=3(aₙ+1)，于是 {aₙ+1} 是首项2、公比3的等比数列，所以 aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹，从而 aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1。最后一步容易在符号上出错：要把先前加上去的量再减回来，而不是再加一次。用 a₂=5 检验就放心了。

数量积的定义是“两个模的乘积×cosθ”。用 sinθ 的是平行四边形面积之类的场合，与数量积完全是两回事。把它和“数量积用cos，是投影（正投影）的意象”联系起来记。这也与 θ=90° 时数量积为0相吻合。

用坐标计算数量积就是横坐标之积加纵坐标之积：1×3+2×(−1)=3−2=1。漏掉纵坐标的负号（−1）而写成 3+2=5 是典型失误。还要记住数量积的结果是“一个数”，而不是向量。

垂直时 θ=90°，cosθ=0，所以数量积为0。a₁b₂−a₂b₁=0 是平行条件，最容易与垂直条件混淆。“垂直＝数量积为零，平行＝交叉相乘为零”，成对背下来。

由平行条件 a₁b₂−a₂b₁=0 得 2×6−3x=0，所以 x=4。若用数量积=0（垂直条件）去解，则由 2x+18=0 得到 x=−9。用坐标之比 2:3=x:6 来想，同样得到 x=4。用“平行就是比相等”来确认。

按 m:n 内分为 (n·a→+m·b→)/(m+n)。取 2:1 时为 (1·a→+2·b→)/3。把比的数字乘到近的一侧是最高频的颠倒错误，所以记住“比要乘到对面（较远的那个点）上”。分母一定是 m+n，即比的和。

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7，所以 |a→+b→|=√7。把数量积的符号当成＋而写成 9+6+4=19 是典型失误。“求模一定先平方再展开”，最后别忘了再开回根号。

模是 √(1²+1²)=√2，点(1, 1)的辐角是 π/4。把模直接当成 1²+1²=2 而不开根号，以及辐角的符号出错，都是常见问题。养成习惯：“r 一定带根号，辐角要画图确认点的位置”。

|z|=√(3²+4²)=√25=5。把实部与虚部直接相加写成7，或者把平方和25直接当作答案，都是常见错误。想起 3:4:5 的直角三角形就能瞬间算出。“模就是到原点的距离”。

取n次方时“辐角变为n倍”，这就是棣莫弗定理。把角θ本身取n次方，或者把cos取n次方，都是错误的形式。用旋转的意象来记：“相乘就是辐角相加，所以n次方就是辐角的n倍”。

(1+i)²=1+2i+i²=2i，所以 (1+i)⁴=(2i)²=−4。忘记处理 i²=−1 而写成＋4 是典型失误。若用三角形式，模为 (√2)⁴=4，辐角为 4×45°=180°，可以立刻答出 −4。这道题能让人切身体会到棣莫弗定理的威力。

旋转角θ就是乘以 (cosθ+i sinθ)。θ=90° 时 cos90°+i sin90°=i，所以是 iz。−iz 是旋转 −90°，−z 是旋转180°，z̄ 是关于实轴对称而不是旋转。“乘以 i ＝逆时针旋转90°”是复数平面的口号。

双曲线中 c²=a²+b²，所以 c²=4+5=9，焦点是 (±3, 0)。与椭圆的 c²=a²−b² 混淆而算成 4−5 或 |4−5|=1，是最大的陷阱。“椭圆用减，双曲线用加”，一定要区分清楚。由于 x² 项为正，焦点在x轴上。

期望具有线性性，所以 E(aX+b)=aE(X)+b。要点在于常数b原样保留。与方差公式（b会消失）混淆而把 b 丢掉，是典型失误。这样想象即可：“数据整体平移多少，平均值就跟着移动多少”。

方差刻画的是“离散程度”，所以平移b不会改变它、b会消失，而倍率a要平方后起作用，得 a²V(X)。保留b、忘记把a平方，是两个高频错误。用节奏记住“方差里a要平方，b要消失”。

二项分布的方差是 np(1−p)=100×0.2×0.8=16。np=20 是期望，很容易与方差搞混。4 是标准差 √16。成套记住“期望是np，方差还要再乘上(1−p)”。

标准化就是 z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2。忘记除以σ会得到20，用方差100去除会得到0.2。N(50, 10²) 中的“10²”是方差，而要除的是标准差10，这是最需要注意的一点。分两步走：“先相减，再除以σ”。

样本均值的标准差是 σ/√n，所以95%时为 x̄±1.96·σ/√n。直接用σ（忘记除以√n）、或者除以n，是两大失误。2.58 是99%置信区间对应的值，也是常见陷阱。把“95%配1.96，宽度用σ/√n”当作口诀念熟。

样本均值的标准差是 σ/√n=12/√36=12/6=2。不加根号而写成 12/36=1/3 是最高频的错误，直接用总体标准差12也不对。要理解成“n越大，样本均值的离散程度越小，收缩的倍数是 1/√n”。