Formule de Matematică II, B și C

Înlocuind în formula distanței |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) obținem |3+8−1|/5=10/5=2. Dacă uiți modulul de la numărător sau dacă uiți să împarți la √(a²+b²), ajungi la 10. Reține cei doi pași împreună: înlocuiești și iei modulul, apoi împarți la radical.

Formând pătratele perfecte obținem (x−2)²+(y+3)²=9. Capcana este semnul: din (x−2)² rezultă că abscisa centrului este +2, adică opusul semnului din paranteză. Ai grijă și că raza nu este 9, ci √9=3.

Punctul care împarte segmentul în raportul m:n are coordonatele ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Pentru 2:1 obținem ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). Dacă inversezi raportul obții (3, 3), iar dacă împarți exterior obții (13, 8). Ține minte: fiecare număr al raportului înmulțește punctul din partea opusă (înmulțire „în cruce”).

Distanța de la centrul (0, 0) la dreapta 2x−y+5=0 este 5/√5=√5, exact cât raza √5, deci dreapta este tangentă cercului. Dacă d=r sunt tangente, dacă d<r se intersectează în două puncte, iar dacă d>r nu există puncte comune. Compararea distanței d de la centru cu raza r este mai rapidă decât folosirea discriminantului.

Din AP:BP=1:2 rezultă 4AP²=BP², iar după calcule obținem (x+2)²+y²=16. Când raportul distanțelor față de două puncte fixe nu este 1:1, locul geometric este „cercul lui Apollonius”. Capcana este că doar cazul 1:1 dă mediatoarea. Verifică și faptul că cercul se află de partea lui A, punctul căruia îi corespunde numărul mai mic din raport.

Condiția de paralelism este a₁b₂−a₂b₁=0, deci 1·3−2·a=0 și a=3/2. Răspunsul a=−6 provine din folosirea condiției de perpendicularitate a₁a₂+b₁b₂=0, o capcană clasică. Ține-le separate: paralelism înseamnă produsul „în cruce” egal cu 0, perpendicularitate înseamnă produsul scalar egal cu 0.

Formula sinusului sumei merge în ordinea „sinus·cosinus, cosinus·sinus”, iar pentru (α+β) semnul rămâne +. Semnul − apare la sin(α−β). Repetă cu voce tare ritmul „sin cos, cos sin” ca să fixezi ordinea.

Formula cosinusului sumei se citește „cos cos, sin sin”, iar cel mai important lucru este că semnul se schimbă în − pentru (α+β). Devine + la cos(α−β). Reține: la cosinus semnul se inversează față de cel din paranteză, la sinus se păstrează.

Înlocuind cos²θ=1−sin²θ în cos2θ=cos²θ−sin²θ obținem 1−2sin²θ. Se confundă ușor cu 2sin²θ−1, care are semnele inversate, sau cu varianta scrisă în cosinus, 2cos²θ−1. Ordonează-le astfel: scrisă cu sin, formula începe cu 1; scrisă cu cos, se termină cu −1.

Scrie 75°=45°+30° și folosește formula adunării: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. Valoarea (√6−√2)/4 este sin15°, greșeala tipică de semn. Poți verifica astfel: aici, cu cât unghiul este mai mare, cu atât valoarea este mai mare, deci lui 75° îi corespunde varianta cu +.

Amplitudinea este √(1²+(√3)²)=2, iar din cosα=1/2 și sinα=√3/2 rezultă α=π/3. Citirea inversă a coeficienților, care duce la π/6, este o greșeală foarte frecventă. Verifică folosind argumentul punctului (1, √3): coeficientul lui sin corespunde lui cosα, iar coeficientul lui cos corespunde lui sinα.

Ridicând la pătrat ambii membri obținem sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, deci 1+2sinθcosθ=1/4 și sinθcosθ=−3/8. Dacă uiți că sin²θ+cos²θ=1 și scrii 2sinθcosθ=1/4, ajungi la 1/8. Regula de aur: când ți se dă o sumă, ridic-o mai întâi la pătrat și va apărea un 1.

Cum 8=2³, avem 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, folosind regula puterilor (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Poți lucra și în doi pași: exponentul 2/3 înseamnă „extragi radicalul de ordinul 3, apoi ridici la pătrat”, deci ³√8=2 și 2²=4. Dacă uiți să înmulțești exponenții, obții răspunsuri precum 16.

O sumă de logaritmi este logaritmul produsului: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Adunarea argumentelor, care dă log₁₀7, este greșeala clasică. Regula de bază a logaritmilor: adunarea se transformă în înmulțire.

Cum 1/27=3⁻³, avem log₃3⁻³=−3. Trucul este să reformulezi întrebarea: „la ce putere trebuie ridicat 3 ca să obținem 1/27?”. Nu pierde semnul minus răspunzând 3 și nu confunda rezultatul cu −1/3; verifică folosind regula „dacă argumentul este mai mic decât 1, logaritmul este negativ”.

Cu formula schimbării bazei, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. Inversarea numărătorului cu numitorul, care dă 2/3, este capcana. Reține așezarea: noua bază o alegi tu, argumentul stă sus, iar baza inițială stă jos. Verifică cu 4^(3/2)=8.

Scriind totul în baza 3 obținem 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), deci 2x=7/2 și x=7/4. Dacă uiți transformarea √3=3^(1/2) și compari doar cu 27, obții 3/2. Primul pas la orice ecuație exponențială este să aduci totul la aceeași bază.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, deci 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ și numărul are 16 cifre. Cea mai frecventă greșeală este să răspunzi 15, adică partea întreagă a logaritmului. Reține: numărul de cifre = partea întreagă a logaritmului + 1, deci adaugă întotdeauna 1.

Aplicând (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ fiecărui termen obținem f′(x)=3x²−6x. Greșelile obișnuite sunt să uiți să înmulțești cu coeficientul 3 sau, la −3x², să cobori doar coeficientul și să scrii −3x. Aplică atent la fiecare termen regula „coboară exponentul în față, apoi micșorează exponentul cu 1”.

O primitivă este x³+x², deci [x³+x²]₀¹=1+1=2. Dacă înlocuiești x=1 direct în funcția de sub integrală, fără să integrezi, obții 5. Nu schimba ordinea: mai întâi integrezi, apoi înlocuiești capetele intervalului.

Panta tangentei este valoarea derivatei f′(3). Din y′=2x, înlocuind x=3, obținem 6. Ai grijă să nu răspunzi cu ordonata 9 sau cu abscisa 3, luate ca atare. Deviza: dacă vrei o pantă, derivezi mai întâi.

Din f′(x)=3x²−3=0 rezultă x=±1. Tabelul de variație arată că f′ trece de la + la − în jurul lui x=−1, deci acolo avem un maxim local, cu f(−1)=−1+3=2. În x=1 avem un minim local (valoarea −2). Reține forma graficului: dacă coeficientul lui x³ este pozitiv, „dealul” vine primul, deci maximul local se află în stânga.

Curba intersectează axa Ox în x=0 și x=3. Cu formula 1/6 obținem |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Pe acest interval y≤0, așa că, dacă uiți semnul minus la integrare, apare o eroare de semn. Aria mărginită se obține dintr-o singură mișcare: (β−α)³/6.

Din x²=2x+3 obținem x²−2x−3=0, deci intersecțiile sunt x=−1 și x=3. Cu formula 1/6: (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Greșelile obișnuite sunt să uiți simplificarea și să cauți 64/6 printre variante sau să ridici (β−α) la pătrat în loc de cub, ajungând la 16/3. Ridici diferența la cub și împarți la 6, cu precizie.

„(primul termen + ultimul termen) × numărul de termeni ÷ 2” este formula sumei unei progresii aritmetice. Imaginează-ți aria unui trapez ((baza mare + baza mică) × înălțimea ÷ 2) și nu o vei mai uita. Greșelile tipice sunt să uiți ÷2 sau să uiți înmulțirea cu numărul de termeni n.

Suma numerelor naturale de la 1 la n este n(n+1)/2. Expresia n(n−1)/2 este suma de la 1 la n−1, o greșeală provocată de deplasarea intervalului. Verifică cu n=2: 1+2=3=2·3/2. Reține: jumătate din produsul a două numere consecutive.

Formula sumei pătratelor este n(n+1)(2n+1)/6. Se confundă ușor cu n²(n+1)²/4, care este formula sumei cuburilor (Σk³). Verificarea cu n=2 îți dă siguranță: 1+4=5=2·3·5/6. Cuvinte-cheie: împarți la 6 și ai 2n+1 la mijloc.

Înlocuind în formula a(rⁿ−1)/(r−1) obținem 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. Poți verifica și adunând direct: 3+6+12+24+48=93. Atenție să nu uiți înmulțirea cu primul termen 3, ceea ce ar da 31, și să nu confunzi al cincilea termen, 48, cu răspunsul.

Diferența este 2n, deci pentru n≥2 avem aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (formulă valabilă și pentru n=1). Dacă iei limita superioară a sumei egală cu n, obții n²+n+1, iar aceasta este cea mai mare capcană. Repetă: „suma diferențelor merge doar până la n−1”. Verifică cu a₂=3.

Din ecuația caracteristică α=3α+2 obținem α=−1. Recurența se rescrie ca aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), deci {aₙ+1} este o progresie geometrică cu primul termen 2 și rația 3, de unde aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ și, prin urmare, aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. Greșeala ușoară este semnul de la ultimul pas: trebuie să desfaci deplasarea adăugată, nu să o adaugi din nou. Verifică cu a₂=5 și poți fi liniștit.

Produsul scalar se definește ca „produsul modulelor × cosθ”. Varianta cu sinθ se folosește, de exemplu, pentru aria unui paralelogram și este cu totul altceva. Leagă-l de o imagine: produsul scalar folosește cos, adică ideea de umbră (proiecție ortogonală). Aceasta se potrivește și cu faptul că produsul scalar este 0 când θ=90°.

Pe componente, produsul scalar este suma dintre produsul componentelor x și produsul componentelor y: 1×3+2×(−1)=3−2=1. Greșeala tipică este să pierzi semnul componentei y (−1) și să scrii 3+2=5. Reține și că rezultatul unui produs scalar este un singur număr, nu un vector.

Dacă sunt perpendiculari, atunci θ=90° și cosθ=0, deci produsul scalar este 0. Condiția a₁b₂−a₂b₁=0 este condiția de paralelism (coliniaritate) și este cea mai ușor de confundat cu perpendicularitatea. Memorează-le în pereche: perpendicular înseamnă produs scalar zero, paralel înseamnă produs „în cruce” zero.

Din condiția de paralelism a₁b₂−a₂b₁=0 obținem 2×6−3x=0, deci x=4. Dacă rezolvi cu produsul scalar = 0, adică folosind condiția de perpendicularitate, obții 2x+18=0 și x=−9. Gândind în rapoarte de componente, 2:3=x:6, rezultă tot x=4. Verifică cu ideea „paralel înseamnă rapoarte egale”.

Împărțirea interioară în raportul m:n dă (n·a→+m·b→)/(m+n). Pentru 2:1 obținem (1·a→+2·b→)/3. Cea mai frecventă greșeală este să atașezi fiecare număr al raportului punctului mai apropiat, așa că reține: „fiecare parte a raportului înmulțește punctul din partea opusă”. Numitorul este întotdeauna m+n, adică suma raportului.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, deci |a→+b→|=√7. Greșeala tipică este să schimbi semnul produsului scalar în + și să scrii 9+6+4=19. Ridică întotdeauna modulul la pătrat înainte de a desface parantezele și nu uita să extragi radicalul la final.

Modulul este √(1²+1²)=√2, iar punctul (1, 1) are argumentul π/4. Greșelile standard sunt folosirea lui 1²+1²=2 ca modul, fără radical, și semnul greșit al argumentului. Fă-ți un obicei: r are întotdeauna radical, iar argumentul îl verifici desenând punctul.

|z|=√(3²+4²)=√25=5. Greșeli frecvente: adunarea directă a părții reale cu partea imaginară, care dă 7, sau răspunsul 25, adică suma pătratelor, fără radical. Amintește-ți triunghiul dreptunghic 3:4:5 și rezolvi într-o clipă. Modulul este distanța de la origine la punct.

Ridicarea la puterea n înmulțește argumentul cu n: aceasta este teorema lui Moivre. Ridicarea unghiului θ însuși la puterea n sau ridicarea lui cos la puterea n sunt toate greșite. Reține-o ca pe o rotație: înmulțirea adună argumentele, deci puterea a n-a face argumentul de n ori mai mare.

(1+i)²=1+2i+i²=2i, deci (1+i)⁴=(2i)²=−4. Greșeala tipică este să uiți că i²=−1 și să răspunzi +4. În formă trigonometrică, modulul este (√2)⁴=4 și argumentul 4×45°=180°, deci răspunzi imediat −4. O problemă care îți arată puterea teoremei lui Moivre.

O rotație de unghi θ înseamnă înmulțirea cu (cosθ+i sinθ). Pentru θ=90° avem cos90°+i sin90°=i, deci răspunsul este iz. Aici −iz este rotația cu −90°, −z este rotația cu 180°, iar z̄ este simetria față de axa reală, nu o rotație. „Înmulțirea cu i înseamnă rotire cu 90° în sens trigonometric” este deviza planului complex.

La hiperbolă c²=a²+b², deci c²=4+5=9, iar focarele sunt (±3, 0). Cea mai mare capcană este confuzia cu relația de la elipsă, c²=a²−b², care duce la 4−5 sau la |4−5|=1. Ține-le clar separate: la elipsă scazi, la hiperbolă aduni. Cum termenul în x² este pozitiv, focarele se află pe axa Ox.

Media este liniară, deci E(aX+b)=aE(X)+b. Important este că termenul constant b rămâne ca atare. Greșeala tipică este confuzia cu formula dispersiei, unde b dispare, și pierderea lui b. Imaginează-ți: dacă translatezi toate datele, media se deplasează exact la fel.

Dispersia (varianța) măsoară împrăștierea, deci o translație cu b nu o schimbă și b dispare, în timp ce factorul de scară a acționează la pătrat, dând a²V(X). Cele două greșeli frecvente sunt păstrarea lui b și uitarea ridicării lui a la pătrat. Învață ritmul: la dispersie, a se ridică la pătrat, iar b dispare.

Dispersia repartiției binomiale este np(1−p)=100×0.2×0.8=16. Valoarea np=20 este media și se confundă ușor cu dispersia. Valoarea 4 este abaterea standard, adică √16. Învață-le împreună: media este np, iar pentru dispersie mai înmulțești și cu (1−p).

Standardizarea înseamnă z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Dacă uiți să împarți la σ, obții 20, iar dacă împarți la dispersia 100, obții 0.2. Cel mai important este că „10²” din N(50, 10²) este dispersia, în timp ce împărțirea se face la abaterea standard 10. Doi pași: scazi, apoi împarți la σ.

Abaterea standard a mediei de selecție este σ/√n, deci pentru 95% intervalul este x̄±1.96·σ/√n. Cele două greșeli mari sunt folosirea lui σ ca atare, uitând împărțirea la √n, și împărțirea la n în loc de √n. Valoarea 2.58 aparține intervalului de încredere de 99%, altă capcană clasică. Fă-ți o mantră: 95% merge cu 1.96, iar lățimea folosește σ/√n.

Abaterea standard a mediei de selecție este σ/√n=12/√36=12/6=2. Cea mai frecventă greșeală este să pierzi radicalul și să scrii 12/36=1/3, iar răspunsul 12, abaterea standard a populației, este de asemenea greșit. Înțelege astfel: cu cât n este mai mare, cu atât media de selecție variază mai puțin, iar micșorarea are loc cu factorul 1/√n.