数学II・B・C 公式

距離の公式 |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) に代入すると |3+8−1|/5=10/5=2。分子の絶対値を忘れたり、√(a²+b²)で割り忘れると「10」になってしまう。「代入して絶対値、ルートで割る」とセットで覚えよう。

平方完成すると (x−2)²+(y+3)²=9 となる。(x−2)²の中心のx座標は「+2」で、符号が逆になるのがひっかけポイント。半径は9ではなく√9=3であることにも注意。

m:n内分点は ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n))。2:1なら ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4)。比を逆にすると(3, 3)、外分すると(13, 8)になる。「相手側の比を掛ける（たすきがけ）」と覚えよう。

中心(0, 0)と直線 2x−y+5=0 の距離は 5/√5=√5 で、半径√5とちょうど等しいので接する。d=r なら接する、d<r なら2点で交わる、d>r なら共有点なし。判別式より「中心との距離 d と半径 r の比較」が速い。

AP:BP=1:2 から 4AP²=BP² として整理すると (x+2)²+y²=16。距離の比が1:1でない2定点からの軌跡は「アポロニウスの円」になる。1:1のときだけ垂直二等分線になる点がひっかけ。円はAに近い側（比の小さい側）に寄ることも確認しよう。

平行条件は a₁b₂−a₂b₁=0 なので 1·3−2·a=0 より a=3/2。a=−6 は垂直条件 a₁a₂+b₁b₂=0 を使ったときの答えで、定番のひっかけ。「平行はたすきがけ＝0、垂直は内積型＝0」と区別して覚えよう。

sinの加法定理は「サイン・コサイン、コサイン・サイン」の順で、(α+β)なら符号はそのまま＋。符号が−なのは sin(α−β) のとき。「咲いたコスモス、コスモス咲いた」の語呂で順番を覚えよう。

cosの加法定理は「コスコス・サインサイン」で、(α+β)のとき符号が−に反転するのが最大の注意点。＋になるのは cos(α−β)。「コスモスコスモス咲かない咲かない（符号が逆）」で覚えよう。

cos2θ=cos²θ−sin²θ に cos²θ=1−sin²θ を代入すると 1−2sin²θ。符号を逆にした 2sin²θ−1 や、cosで表した 2cos²θ−1 と混同しやすい。「sinで表すと1が先頭、cosで表すと−1が最後」と整理して覚えよう。

75°=45°+30° と分けて加法定理を使うと sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。(√6−√2)/4 は sin15° の値で、符号ミスの典型。「大きい角ほど値も大きい（＋の方が75°）」で検算できる。

振幅は √(1²+(√3)²)=2、cosα=1/2、sinα=√3/2 から α=π/3。係数を逆に見て π/6 としてしまうのが頻出ミス。「sinの係数がcosα側、cosの係数がsinα側」に対応することを座標(1, √3)の偏角で確認しよう。

両辺を2乗すると sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4 となり、1+2sinθcosθ=1/4 から sinθcosθ=−3/8。sin²θ+cos²θ=1 を忘れて 2sinθcosθ=1/4 とすると 1/8 になってしまう。「和が与えられたらまず2乗、1が出てくる」が鉄則。

8=2³ なので 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4。指数法則 (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ を使う。「3分の2乗＝3乗根してから2乗」なので ³√8=2、2²=4 と2段階で考えてもよい。指数を掛け算し忘れると16などのミスになる。

logの和は真数の積：log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1。真数どうしを足して log₁₀7 とするのが典型的な誤り。「足し算は掛け算に化ける」が対数法則の基本。

1/27=3⁻³ なので log₃3⁻³=−3。「3を何乗したら1/27か」と読み替えるのがコツ。逆数だからとマイナスを忘れて3としたり、−1/3と混同しないよう「真数が1より小さければlogは負」で検算しよう。

底の変換公式で log₄8=log₂8/log₂4=3/2。分母と分子を逆にすると2/3になるのがひっかけ。「変換後の底は自由、真数が分子・元の底が分母」と位置関係で覚えよう。4^(3/2)=8 で検算できる。

底を3にそろえると 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2) なので 2x=7/2、x=7/4。√3=3^(1/2) の変換を忘れて 27だけで比べると 3/2 になる。「指数方程式はまず底をそろえる」が第一手。

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05 なので 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ となり16桁。logの値15をそのまま桁数と答えるのが最頻出ミス。「桁数＝logの整数部分＋1」と必ず1を足すことを覚えよう。

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ を各項に使うと f′(x)=3x²−6x。係数3を掛け忘れたり、−3x²の微分で係数だけ下ろして−3xとするのが定番ミス。「指数を前に下ろして、指数を1減らす」を全項に丁寧に適用しよう。

原始関数は x³+x² なので [x³+x²]₀¹=1+1=2。積分せずに被積分関数へ x=1 を代入すると5になってしまう。「まず積分してから端点を代入」の手順を崩さないこと。

接線の傾きは微分係数 f′(3)。y′=2x に x=3 を代入して6。y座標の9やx座標の3をそのまま答えないよう注意。「傾きが欲しければまず微分」が合言葉。

f′(x)=3x²−3=0 より x=±1。増減表を書くと x=−1 の前後で f′ が＋から−に変わるので極大で、f(−1)=−1+3=2。x=1 は極小（値−2）。「x³の係数が正なら山が先（左が極大）」とグラフの形で覚えよう。

x軸との交点は x=0, 3。6分の1公式で |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2。区間で y≤0 なのでマイナスを付けて積分することを忘れると符号ミスになる。「囲まれた面積は (β−α)³/6」で一発。

x²=2x+3 から x²−2x−3=0、交点は x=−1, 3。6分の1公式で (3−(−1))³/6=64/6=32/3。約分を忘れて64/6のまま選択肢を探したり、(β−α)を2乗してしまうと16/3などになる。「差の3乗を6で割る」を正確に。

「(初項＋末項)×項数÷2」が等差数列の和の公式。台形の面積（(上底+下底)×高さ÷2）と同じ形とイメージすると忘れない。÷2を忘れる、項数nを掛け忘れるのが典型ミス。

1からnまでの自然数の和は n(n+1)/2。n(n−1)/2 は「1からn−1まで」の和で、範囲のずれによる誤り。n=2で検算すると 1+2=3=2·3/2 と確認できる。「隣どうしの積の半分」と覚えよう。

2乗和の公式は n(n+1)(2n+1)/6。n²(n+1)²/4 は3乗和（Σk³）の公式で混同しやすい。n=2 で 1+4=5=2·3·5/6 と検算すると確実。「6で割る、真ん中に2n+1」がキーワード。

公式 a(rⁿ−1)/(r−1) に代入して 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93。3+6+12+24+48=93 と直接足しても確認できる。初項3を掛け忘れると31、第5項48を最終項と取り違えるミスにも注意。

階差が2nなので n≥2 で aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1（n=1でも成立）。Σの上端を n としてしまうと n²+n+1 になる、これが最大のひっかけ。「階差の和は n−1 まで」と唱えよう。a₂=3 で検算。

特性方程式 α=3α+2 から α=−1。aₙ₊₁+1=3(aₙ+1) と変形でき、{aₙ+1} は初項2・公比3の等比数列なので aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹、よって aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1。最後に「−α」ではなく「+α分を戻す」符号処理を誤りやすい。a₂=5 で検算すれば安心。

内積の定義は「大きさの積×cosθ」。sinθ を使うのは平行四辺形の面積などで、内積とは別物。「内積は cos、影（正射影）のイメージ」と結びつけて覚えよう。θ=90°で内積0になることとも整合する。

成分での内積は x どうし、y どうしの積の和：1×3+2×(−1)=3−2=1。y成分の符号（−1）を落として 3+2=5 とするのが典型ミス。内積の答えはベクトルではなく「1つの数」になることも押さえよう。

垂直なら θ=90° で cosθ=0 だから内積が0。a₁b₂−a₂b₁=0 は平行条件で、垂直条件と最も混同しやすい。「垂直＝内積ゼロ、平行＝たすきがけゼロ」とペアで暗記しよう。

平行条件 a₁b₂−a₂b₁=0 より 2×6−3x=0、x=4。内積=0（垂直条件）で解くと 2x+18=0 から x=−9 になってしまう。成分比で 2:3=x:6 と考えても x=4 が出る。「平行は比が等しい」で確認を。

m:n内分は (n·a→+m·b→)/(m+n)。2:1 なら (1·a→+2·b→)/3。比の数字を近い側に付けてしまう逆転ミスが最頻出で、「比は相手側（遠い方の点）に掛ける」と覚える。分母は必ず m+n＝比の和。

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7 なので |a→+b→|=√7。内積の符号を＋にして 9+6+4=19 とするのが典型ミス。「大きさは必ず2乗してから展開」、最後にルートを戻すのも忘れずに。

絶対値は √(1²+1²)=√2、点(1, 1)の偏角は π/4。絶対値を1²+1²=2のまま使うミスと、偏角の符号ミスが定番。「r は必ずルート、偏角は点の位置を図で確認」を習慣に。

|z|=√(3²+4²)=√25=5。実部と虚部をそのまま足して7としたり、2乗和の25のまま答えるのがよくある誤り。3:4:5 の直角三角形を思い出せば一瞬。「絶対値は原点からの距離」だ。

n乗すると「偏角がn倍」になるのがド・モアブルの定理。角θ自体をn乗したり、cosをn乗したりする形はすべて誤り。「掛け算は偏角の足し算、だからn乗は偏角n倍」と回転のイメージで覚えよう。

(1+i)²=1+2i+i²=2i なので (1+i)⁴=(2i)²=−4。i²=−1 の処理を忘れて＋4とするのが典型ミス。極形式なら絶対値 (√2)⁴=4、偏角 4×45°=180° で −4 と即答できる。ド・モアブルの威力を実感できる一問。

角θの回転は (cosθ+i sinθ) を掛けること。θ=90° なら cos90°+i sin90°=i なので iz。−iz は −90°回転、−z は180°回転、z̄ は実軸対称で回転ではない。「i を掛ける＝反時計回りに90°」は複素数平面の合言葉。

双曲線では c²=a²+b² なので c²=4+5=9、焦点は (±3, 0)。楕円の c²=a²−b² と混同して 4−5 や |4−5|=1 とするのが最大の罠。「楕円は引く、双曲線は足す」を確実に区別。x²の項が正なので焦点はx軸上にある。

期待値は線形性をもつので E(aX+b)=aE(X)+b。定数bはそのまま残るのがポイント。分散の公式（bが消える）と混同して b を落とすのが典型ミス。「平均は平行移動すればそのままズレる」とイメージしよう。

分散は「散らばり」なので平行移動bでは変わらず消え、倍率aは2乗で効いて a²V(X)。bを残す、aを2乗し忘れる、の2つが頻出ミス。「分散のaは2乗、bは消える」とリズムで覚えよう。

二項分布の分散は np(1−p)=100×0.2×0.8=16。np=20 は期待値であり、分散と取り違えやすい。4は標準偏差√16。「期待値np、分散はさらに(1−p)を掛ける」とセットで覚えること。

標準化は z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2。σで割り忘れると20、分散100で割ると0.2になる。N(50, 10²) の「10²」は分散で、割るのは標準偏差10である点が最大の注意点。「引いて、σで割る」の2ステップ。

標本平均の標準偏差は σ/√n なので、95%なら x̄±1.96·σ/√n。σのまま使う（√nで割り忘れる）、nで割ってしまう、が2大ミス。2.58は99%信頼区間の値でこれも定番のひっかけ。「95%は1.96、幅はσ/√n」を呪文にしよう。

標本平均の標準偏差は σ/√n=12/√36=12/6=2。√を付けずに 12/36=1/3 とするのが最頻出ミスで、母標準偏差12のままも誤り。「標本平均はnが大きいほど散らばりが小さくなる、その縮み方は√n分の1」と理解しておこう。