Fórmulas de Matemáticas II, B y C

Al sustituir en la fórmula de la distancia |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²) se obtiene |3+8−1|/5=10/5=2. Si olvida el valor absoluto del numerador o no divide entre √(a²+b²), obtendrá 10. Aprenda los dos pasos como un conjunto: sustituir y tomar el valor absoluto, y luego dividir entre la raíz.

Al completar el cuadrado se obtiene (x−2)²+(y+3)²=9. La trampa está en el signo: (x−2)² significa que la coordenada x del centro es +2, el signo opuesto al que se ve dentro del paréntesis. Observe también que el radio no es 9, sino √9=3.

El punto que divide en la razón m:n es ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Para 2:1 se obtiene ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). Si invierte la razón obtiene (3, 3), y si divide externamente obtiene (13, 8). Recuérdelo como «multiplicar por la parte de la razón del lado opuesto» (multiplicación cruzada).

La distancia del centro (0, 0) a la recta 2x−y+5=0 es 5/√5=√5, exactamente igual al radio √5, así que la recta es tangente a la circunferencia. Si d=r se tocan, si d<r se cortan en dos puntos y si d>r no hay ningún punto común. Comparar la distancia d desde el centro con el radio r es más rápido que usar el discriminante.

De AP:BP=1:2 se obtiene 4AP²=BP², y al reordenar resulta (x+2)²+y²=16. Cuando la razón de las distancias a dos puntos fijos no es 1:1, el lugar geométrico es una «circunferencia de Apolonio». La trampa es que solo el caso 1:1 da la mediatriz. Compruebe también que la circunferencia queda del lado de A, el punto con la parte menor de la razón.

La condición de paralelismo es a₁b₂−a₂b₁=0, así que 1·3−2·a=0 y a=3/2. La respuesta a=−6 proviene de usar la condición de perpendicularidad a₁a₂+b₁b₂=0, una trampa clásica. Distíngalas: paralelas significa que la forma de multiplicación cruzada es igual a 0; perpendiculares, que la forma de producto escalar es igual a 0.

La fórmula de adición del seno sigue el orden «seno-coseno, coseno-seno», y para (α+β) el signo se mantiene como +. El signo − corresponde a sin(α−β). Repita en voz alta el ritmo «sin cos, cos sin» para fijar el orden.

La fórmula de adición del coseno sigue el patrón «cos cos, sin sin», y el punto al que hay que prestar más atención es que el signo cambia a − para (α+β). Se convierte en + para cos(α−β). Recuerde: el coseno invierte el signo del paréntesis; el seno lo mantiene.

Al sustituir cos²θ=1−sin²θ en cos2θ=cos²θ−sin²θ se obtiene 1−2sin²θ. Es fácil confundirla con 2sin²θ−1, con el signo invertido, o con la versión en coseno 2cos²θ−1. Organícelo así: escrita con sin, el 1 va primero; escrita con cos, el −1 va al final.

Descompóngalo como 75°=45°+30° y use la fórmula de adición: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. El valor (√6−√2)/4 es sin15°, el típico error de signo. Puede comprobarlo así: «aquí, cuanto mayor es el ángulo, mayor es el valor, así que a 75° le corresponde la versión con +».

La amplitud es √(1²+(√3)²)=2, y cosα=1/2, sinα=√3/2 dan α=π/3. Leer los coeficientes al revés y obtener π/6 es un error muy común. Compruébelo con el argumento del punto (1, √3): el coeficiente de sin corresponde a cosα y el coeficiente de cos corresponde a sinα.

Al elevar al cuadrado ambos miembros se obtiene sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, así que 1+2sinθcosθ=1/4 y sinθcosθ=−3/8. Si olvida sin²θ+cos²θ=1 y escribe 2sinθcosθ=1/4, llega a 1/8. La regla de oro: cuando se da una suma, elévela primero al cuadrado y aparecerá un 1.

Como 8=2³, se tiene 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, usando la ley de los exponentes (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. También puede trabajar en dos pasos: la potencia 2/3 significa «sacar la raíz cúbica y luego elevar al cuadrado», así que ³√8=2 y 2²=4. Olvidar multiplicar los exponentes produce respuestas como 16.

Una suma de logaritmos es el logaritmo del producto: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Sumar los argumentos para obtener log₁₀7 es el error clásico. La ley básica de los logaritmos es «la suma se convierte en multiplicación».

Como 1/27=3⁻³, log₃3⁻³=−3. El truco es reformularlo como «¿a qué potencia hay que elevar 3 para obtener 1/27?». No pierda el signo menos respondiendo 3, ni lo confunda con −1/3; compruébelo con «si el argumento es menor que 1, el logaritmo es negativo».

Por la fórmula del cambio de base, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. La trampa es intercambiar numerador y denominador y obtener 2/3. Recuerde la disposición: la nueva base la elige usted, el argumento va arriba y la base original va abajo. Compruébelo con 4^(3/2)=8.

Escribiendo todo en base 3 se obtiene 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), así que 2x=7/2 y x=7/4. Si olvida la conversión √3=3^(1/2) y compara solo con 27, obtiene 3/2. El primer paso en cualquier ecuación exponencial es igualar las bases.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, así que 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ y el número tiene 16 cifras. Responder 15, la parte entera del logaritmo, es el error más frecuente. Recuerde: número de cifras = parte entera del logaritmo + 1, así que sume siempre el 1.

Aplicando (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ a cada término se obtiene f′(x)=3x²−6x. Olvidar multiplicar por el coeficiente 3, o derivar −3x² bajando solo el coeficiente para obtener −3x, son los descuidos habituales. Aplique con cuidado a cada término la regla «bajar el exponente al frente y luego restarle 1 al exponente».

Una primitiva es x³+x², así que [x³+x²]₀¹=1+1=2. Sustituir x=1 en el integrando sin integrar da 5. No altere nunca el orden: primero integrar y después sustituir los extremos.

La pendiente de la tangente es el valor de la derivada f′(3). De y′=2x, sustituyendo x=3 se obtiene 6. Tenga cuidado de no responder tal cual la coordenada y, 9, ni la coordenada x, 3. La consigna: si quiere una pendiente, derive primero.

De f′(x)=3x²−3=0 se obtiene x=±1. Una tabla de signos muestra que f′ pasa de + a − alrededor de x=−1, así que allí hay un máximo local, con f(−1)=−1+3=2. En x=1 hay un mínimo local (valor −2). Recuerde la forma: si el coeficiente de x³ es positivo, la colina va primero, así que el máximo local está a la izquierda.

La curva corta el eje x en x=0 y x=3. Por la fórmula de 1/6, |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Como y≤0 en este intervalo, olvidar poner el signo menos al integrar provoca un error de signo. El área encerrada es (β−α)³/6 de un solo golpe.

De x²=2x+3 se obtiene x²−2x−3=0, así que las intersecciones son x=−1 y x=3. Por la fórmula de 1/6, (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Olvidar simplificar y buscar 64/6 entre las opciones, o elevar (β−α) al cuadrado en lugar de al cubo y llegar a 8/3, son los errores habituales. Eleve la diferencia al cubo y divida entre 6, con precisión.

«(primer término + último término) × número de términos ÷ 2» es la fórmula de la suma de una sucesión aritmética. Imagínela como el área de un trapecio ((base superior + base inferior) × altura ÷ 2) y no la olvidará. Olvidar el ÷2, u olvidar multiplicar por el número de términos n, son los errores típicos.

La suma de los números naturales de 1 a n es n(n+1)/2. La expresión n(n−1)/2 es la suma de 1 a n−1, un error causado por desplazar el rango. Compruébelo con n=2: 1+2=3=2·3/2. Recuérdelo como «la mitad del producto de dos números consecutivos».

La fórmula de la suma de cuadrados es n(n+1)(2n+1)/6. Es fácil confundirla con n²(n+1)²/4, que es la fórmula de la suma de cubos (Σk³). Comprobar con n=2 da certeza: 1+4=5=2·3·5/6. Palabras clave: dividir entre 6, y 2n+1 en el medio.

Sustituyendo en a(rⁿ−1)/(r−1) se obtiene 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. También puede confirmarlo sumando directamente: 3+6+12+24+48=93. Cuidado con olvidar multiplicar por el primer término 3, lo que da 31, y con tomar el quinto término 48 por la respuesta.

La diferencia es 2n, así que para n≥2 se obtiene aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (que también se cumple para n=1). Tomar n como límite superior de la suma da n²+n+1, y esa es la mayor trampa. Repítalo: «la suma de las diferencias llega solo hasta n−1». Compruébelo con a₂=3.

De la ecuación característica α=3α+2 se obtiene α=−1. La recurrencia puede reescribirse como aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), así que {aₙ+1} es una sucesión geométrica con primer término 2 y razón 3, lo que da aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ y, por tanto, aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. El descuido fácil es el signo del último paso: debe deshacer el desplazamiento que añadió, no volver a sumarlo. Compruébelo con a₂=5 y quedará tranquilo.

El producto escalar se define como «producto de los módulos × cosθ». La versión con sinθ se usa para cosas como el área de un paralelogramo y es algo muy distinto. Asócielo a una imagen: el producto escalar usa cos, la idea de una sombra (proyección ortogonal). Esto también concuerda con que el producto escalar es 0 cuando θ=90°.

En componentes, el producto escalar es la suma del producto de las partes x y el producto de las partes y: 1×3+2×(−1)=3−2=1. Perder el signo de la componente y (−1) y escribir 3+2=5 es el error típico. Observe también que el resultado de un producto escalar es un único número, no un vector.

Si son perpendiculares, entonces θ=90° y cosθ=0, así que el producto escalar es 0. La condición a₁b₂−a₂b₁=0 es la condición de paralelismo de los vectores, y es la que más fácilmente se confunde con la perpendicularidad. Memorícelas en pareja: perpendicular significa producto escalar cero; paralelo, multiplicación cruzada cero.

De la condición de paralelismo a₁b₂−a₂b₁=0 se obtiene 2×6−3x=0, así que x=4. Resolver con producto escalar = 0, la condición de perpendicularidad, da 2x+18=0 y, por tanto, x=−9. Pensando en la razón de las componentes, 2:3=x:6, también se obtiene x=4. Confírmelo con «paralelo significa razones iguales».

Dividir internamente en la razón m:n da (n·a→+m·b→)/(m+n). Para 2:1 esto es (1·a→+2·b→)/3. El error más frecuente es asignar cada número de la razón al punto más cercano, así que recuerde «cada parte de la razón multiplica al punto del lado lejano». El denominador es siempre m+n, la suma de la razón.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, así que |a→+b→|=√7. Cambiar el signo del producto escalar a + y escribir 9+6+4=19 es el error típico. Eleve siempre el módulo al cuadrado antes de desarrollar, y no olvide volver a sacar la raíz cuadrada al final.

El módulo es √(1²+1²)=√2, y el punto (1, 1) tiene argumento π/4. Los errores habituales son usar 1²+1²=2 como módulo sin la raíz y equivocarse en el signo del argumento. Conviértalo en hábito: r siempre lleva raíz cuadrada, y compruebe el argumento situando el punto en el plano.

|z|=√(3²+4²)=√25=5. Los errores comunes son sumar directamente la parte real y la parte imaginaria para obtener 7, o responder la suma de cuadrados 25 sin sacar la raíz. Recuerde el triángulo rectángulo 3:4:5 y lo resolverá al instante. El módulo es la distancia al origen.

Elevar a la n-ésima potencia multiplica el argumento por n: eso es el teorema de De Moivre. Elevar el propio ángulo θ a la n-ésima potencia, o elevar cos a la n-ésima potencia, es incorrecto en todos los casos. Recuérdelo como una rotación: al multiplicar se suman los argumentos, así que la n-ésima potencia hace el argumento n veces mayor.

(1+i)²=1+2i+i²=2i, así que (1+i)⁴=(2i)²=−4. Olvidar usar i²=−1 y responder +4 es el error típico. En forma polar, el módulo es (√2)⁴=4 y el argumento es 4×45°=180°, así que puede responder −4 de inmediato. Una pregunta que permite sentir el poder del teorema de De Moivre.

Una rotación de ángulo θ equivale a multiplicar por (cosθ+i sinθ). Para θ=90° se tiene cos90°+i sin90°=i, así que la respuesta es iz. Aquí −iz es una rotación de −90°, −z es una rotación de 180° y z̄ es la reflexión respecto al eje real, no una rotación. «Multiplicar por i significa girar 90° en sentido antihorario» es la consigna del plano complejo.

Para una hipérbola c²=a²+b², así que c²=4+5=9 y los focos son (±3, 0). La mayor trampa es confundirla con la relación de la elipse c²=a²−b² y calcular 4−5 o |4−5|=1. Distíngalas con firmeza: en la elipse se resta, en la hipérbola se suma. Como el término en x² es positivo, los focos están sobre el eje x.

La esperanza es lineal, así que E(aX+b)=aE(X)+b. Lo importante es que la constante b se mantiene tal cual. Confundirla con la fórmula de la varianza, donde b desaparece, y omitir la b es el error típico. Imagínelo: si desplaza todos los datos, la media se desplaza exactamente lo mismo.

La varianza mide la dispersión, así que un desplazamiento b no la cambia y la b desaparece, mientras que el factor de escala a actúa al cuadrado, lo que da a²V(X). Los dos errores frecuentes son conservar la b y olvidar elevar a al cuadrado. Aprenda el ritmo: en la varianza, a se eleva al cuadrado y b desaparece.

La varianza de una distribución binomial es np(1−p)=100×0.2×0.8=16. El valor np=20 es la esperanza y se confunde fácilmente con la varianza. El valor 4 es la desviación estándar √16. Apréndalas en conjunto: esperanza np, y para la varianza multiplique además por (1−p).

Estandarizar significa z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Olvidar dividir entre σ da 20, y dividir entre la varianza 100 da 0.2. Lo más importante es que el «10²» de N(50, 10²) es la varianza, mientras que el número entre el que se divide es la desviación estándar, 10. Dos pasos: restar y luego dividir entre σ.

La desviación estándar de la media muestral es σ/√n, así que para el 95% el intervalo es x̄±1.96·σ/√n. Los dos grandes errores son usar σ tal cual, olvidando dividir entre √n, y dividir entre n. El valor 2.58 corresponde al intervalo de confianza del 99%, otra trampa clásica. Conviértalo en un mantra: el 95% va con 1.96, y la amplitud usa σ/√n.

La desviación estándar de la media muestral es σ/√n=12/√36=12/6=2. El error más frecuente es omitir la raíz y escribir 12/36=1/3, y responder la desviación estándar poblacional 12 también es incorrecto. Entiéndalo así: cuanto mayor es n, menos varía la media muestral, y su dispersión queda multiplicada por 1/√n.