Fórmulas de Matemática II, B e C

Substituindo na fórmula da distância |ax₀+by₀+c|/√(a²+b²), obtém-se |3+8−1|/5=10/5=2. Se você esquecer o valor absoluto no numerador ou esquecer de dividir por √(a²+b²), chegará a 10. Memorize os dois passos como um conjunto: substituir e tomar o valor absoluto, depois dividir pela raiz.

Completando quadrados, obtém-se (x−2)²+(y+3)²=9. A armadilha é o sinal: (x−2)² significa que a coordenada x do centro é +2, o oposto do sinal que aparece entre parênteses. Observe também que o raio não é 9, e sim √9=3.

O ponto que divide na razão m:n é ((n·x₁+m·x₂)/(m+n), (n·y₁+m·y₂)/(m+n)). Para 2:1, isso dá ((1·1+2·7)/3, (1·2+2·5)/3)=(5, 4). Invertendo a razão, obtém-se (3, 3), e dividindo externamente, (13, 8). Memorize assim: 'multiplicar pela parte da razão do lado oposto' (multiplicação cruzada).

A distância do centro (0, 0) à reta 2x−y+5=0 é 5/√5=√5, exatamente igual ao raio √5, então a reta é tangente à circunferência. Se d=r, são tangentes; se d<r, interceptam-se em dois pontos; e se d>r, não há ponto em comum. Comparar a distância d do centro com o raio r é mais rápido do que usar o discriminante.

De AP:BP=1:2, obtém-se 4AP²=BP² e, reorganizando, (x+2)²+y²=16. Quando a razão das distâncias a dois pontos fixos não é 1:1, o lugar geométrico é uma 'circunferência de Apolônio'. A armadilha é que só o caso 1:1 dá a mediatriz. Verifique também que a circunferência fica do lado de A, o ponto com a menor parte da razão.

A condição de paralelismo é a₁b₂−a₂b₁=0, então 1·3−2·a=0 e a=3/2. A resposta a=−6 vem de usar a condição de perpendicularidade a₁a₂+b₁b₂=0, uma armadilha clássica. Separe bem as duas: paralelas significa que a forma da multiplicação cruzada é igual a 0; perpendiculares significa que a forma do produto escalar é igual a 0.

A fórmula de adição do seno segue a ordem 'seno-cosseno, cosseno-seno' e, para (α+β), o sinal continua +. O sinal − pertence a sin(α−β). Diga o ritmo 'sin cos, cos sin' em voz alta para fixar a ordem.

A fórmula de adição do cosseno segue 'cos cos, sin sin', e o ponto que exige mais atenção é que o sinal se inverte para − em (α+β). Ele passa a ser + em cos(α−β). Lembre-se: o cosseno inverte o sinal de dentro dos parênteses; o seno o mantém.

Substituindo cos²θ=1−sin²θ em cos2θ=cos²θ−sin²θ, obtém-se 1−2sin²θ. É fácil confundir com 2sin²θ−1, de sinal invertido, ou com a versão em cosseno 2cos²θ−1. Organize assim: escrito com sin, o 1 vem primeiro; escrito com cos, o −1 vem por último.

Decomponha como 75°=45°+30° e use a fórmula de adição: sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4. O valor (√6−√2)/4 é sin15°, o típico erro de sinal. Você pode conferir com 'aqui, quanto maior o ângulo, maior o valor, então 75° fica com a versão +'.

A amplitude é √(1²+(√3)²)=2, e cosα=1/2, sinα=√3/2 dão α=π/3. Ler os coeficientes ao contrário e obter π/6 é um erro muito comum. Confirme com o argumento do ponto (1, √3): o coeficiente de sin corresponde a cosα, e o coeficiente de cos corresponde a sinα.

Elevando os dois membros ao quadrado, obtém-se sin²θ+cos²θ+2sinθcosθ=1/4, então 1+2sinθcosθ=1/4 e sinθcosθ=−3/8. Esquecer que sin²θ+cos²θ=1 e escrever 2sinθcosθ=1/4 leva a 1/8. A regra de ouro: quando uma soma é dada, eleve-a ao quadrado primeiro e aparecerá um 1.

Como 8=2³, temos 8^(2/3)=(2³)^(2/3)=2²=4, usando a propriedade (aᵐ)ⁿ=aᵐⁿ. Também dá para fazer em dois passos: a potência 2/3 significa 'tirar a raiz cúbica e depois elevar ao quadrado', então ³√8=2 e 2²=4. Esquecer de multiplicar os expoentes produz respostas como 16.

A soma de logaritmos é o logaritmo do produto: log₁₀2+log₁₀5=log₁₀(2×5)=log₁₀10=1. Somar os logaritmandos para obter log₁₀7 é o erro clássico. A propriedade básica dos logaritmos é 'a adição vira multiplicação'.

Como 1/27=3⁻³, log₃3⁻³=−3. O truque é reformular como 'a que potência é preciso elevar 3 para obter 1/27?'. Não perca o sinal de menos respondendo 3, e não confunda com −1/3; confira com 'se o logaritmando é menor que 1, o logaritmo é negativo'.

Pela fórmula de mudança de base, log₄8=log₂8/log₂4=3/2. Trocar numerador e denominador e obter 2/3 é a armadilha. Lembre-se da disposição: a nova base você escolhe, o logaritmando vai em cima e a base original vai embaixo. Confira com 4^(3/2)=8.

Escrevendo tudo na base 3, temos 3²ˣ=3³·3^(1/2)=3^(7/2), então 2x=7/2 e x=7/4. Se você esquecer a conversão √3=3^(1/2) e comparar só com 27, obtém 3/2. O primeiro passo em qualquer equação exponencial é igualar as bases.

log₁₀2⁵⁰=50×0.3010=15.05, então 10¹⁵ < 2⁵⁰ < 10¹⁶ e o número tem 16 algarismos. Responder 15, a parte inteira do logaritmo, é o erro mais frequente. Lembre-se: número de algarismos = parte inteira do logaritmo + 1, então sempre some o 1.

Aplicando (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ a cada termo, obtém-se f′(x)=3x²−6x. Esquecer de multiplicar pelo coeficiente 3, ou derivar −3x² baixando só o coeficiente para obter −3x, são os deslizes típicos. Aplique com cuidado 'baixe o expoente para a frente e depois diminua o expoente em 1' a todos os termos.

Uma primitiva é x³+x², então [x³+x²]₀¹=1+1=2. Substituir x=1 no integrando sem integrar dá 5. Nunca inverta a ordem: primeiro integre, depois substitua os extremos.

O coeficiente angular da tangente é o valor da derivada f′(3). De y′=2x, substituindo x=3, obtém-se 6. Cuidado para não dar como resposta a coordenada y (9) nem a coordenada x (3). O lema: se você quer o coeficiente angular, derive primeiro.

De f′(x)=3x²−3=0, obtém-se x=±1. Uma tabela de sinais mostra que f′ passa de + para − em torno de x=−1, então há um máximo local ali, com f(−1)=−1+3=2. Em x=1 há um mínimo local (valor −2). Lembre-se da forma: se o coeficiente de x³ é positivo, o morro vem primeiro, então o máximo local fica à esquerda.

A curva corta o eixo x em x=0 e x=3. Pela fórmula de 1/6, |1|·(3−0)³/6=27/6=9/2. Como y≤0 nesse intervalo, esquecer de colocar o sinal de menos ao integrar causa erro de sinal. Com 'área limitada = (β−α)³/6', você resolve de uma vez só.

De x²=2x+3, obtém-se x²−2x−3=0, então as interseções são x=−1 e x=3. Pela fórmula de 1/6, (3−(−1))³/6=64/6=32/3. Esquecer de simplificar e procurar 64/6 entre as alternativas, ou elevar (β−α) ao quadrado em vez de ao cubo e chegar a 8/3, são os erros comuns. Eleve a diferença ao cubo e divida por 6, com precisão.

'(primeiro termo + último termo) × número de termos ÷ 2' é a fórmula da soma de uma progressão aritmética. Imagine-a como a área de um trapézio ((base menor + base maior) × altura ÷ 2) e você não vai esquecer. Esquecer o ÷2, ou esquecer de multiplicar pelo número de termos n, são os erros típicos.

A soma dos números naturais de 1 a n é n(n+1)/2. A expressão n(n−1)/2 é a soma de 1 a n−1, um erro causado pelo deslocamento do intervalo. Confira com n=2: 1+2=3=2·3/2. Memorize assim: 'metade do produto de dois números vizinhos'.

A fórmula da soma dos quadrados é n(n+1)(2n+1)/6. É fácil confundir com n²(n+1)²/4, que é a fórmula da soma dos cubos (Σk³). Conferir com n=2 dá certeza: 1+4=5=2·3·5/6. Palavras-chave: dividir por 6, e 2n+1 no meio.

Substituindo em a(rⁿ−1)/(r−1), obtém-se 3(2⁵−1)/(2−1)=3×31=93. Também dá para confirmar somando diretamente: 3+6+12+24+48=93. Cuidado com esquecer de multiplicar pelo primeiro termo 3, o que dá 31, e com confundir o quinto termo 48 com a resposta.

A diferença é 2n, então, para n≥2, obtém-se aₙ=1+Σ(k=1→n−1)2k=1+(n−1)n=n²−n+1 (o que também vale para n=1). Tomar n como limite superior da soma dá n²+n+1, e essa é a maior armadilha. Repita: 'a soma das diferenças vai só até n−1'. Confira com a₂=3.

Da equação característica α=3α+2, obtém-se α=−1. A recorrência pode ser reescrita como aₙ₊₁+1=3(aₙ+1), então {aₙ+1} é uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e razão 3, o que dá aₙ+1=2·3ⁿ⁻¹ e, portanto, aₙ=2·3ⁿ⁻¹−1. O deslize fácil é o sinal no último passo: você deve desfazer o deslocamento que somou, e não somá-lo de novo. Confira com a₂=5 e fique tranquilo.

O produto escalar é definido como 'produto dos módulos × cosθ'. A versão com sinθ é usada para coisas como a área de um paralelogramo e é algo bem diferente. Associe a uma imagem: o produto escalar usa cos, a ideia de uma sombra (projeção ortogonal). Isso também combina com o fato de o produto escalar ser 0 quando θ=90°.

Em componentes, o produto escalar é a soma do produto das partes x com o produto das partes y: 1×3+2×(−1)=3−2=1. Perder o sinal da componente y (−1) e escrever 3+2=5 é o erro típico. Observe também que o resultado de um produto escalar é um único número, não um vetor.

Se são perpendiculares, então θ=90° e cosθ=0, logo o produto escalar é 0. A condição a₁b₂−a₂b₁=0 é a condição para que os vetores sejam paralelos, e é a que mais facilmente se confunde com a perpendicularidade. Memorize-as em par: perpendicular significa produto escalar zero; paralelo significa multiplicação cruzada zero.

Da condição de paralelismo a₁b₂−a₂b₁=0, obtém-se 2×6−3x=0, então x=4. Resolver com produto escalar = 0, a condição de perpendicularidade, dá 2x+18=0 e, portanto, x=−9. Pensando na razão das componentes, 2:3=x:6, também se obtém x=4. Confirme com 'paralelo significa razões iguais'.

A divisão interna na razão m:n dá (n·a→+m·b→)/(m+n). Para 2:1, isso é (1·a→+2·b→)/3. O erro mais frequente é associar cada número da razão ao ponto mais próximo; por isso, lembre-se: 'cada parte da razão multiplica o ponto do lado oposto'. O denominador é sempre m+n, a soma da razão.

|a→+b→|²=|a→|²+2a→·b→+|b→|²=9−6+4=7, então |a→+b→|=√7. Transformar o sinal do produto escalar em + e escrever 9+6+4=19 é o erro típico. Sempre eleve o módulo ao quadrado antes de desenvolver e não se esqueça de tirar a raiz quadrada de novo no final.

O módulo é √(1²+1²)=√2, e o ponto (1, 1) tem argumento π/4. Os erros típicos são usar 1²+1²=2 como módulo sem a raiz e errar o sinal do argumento. Crie o hábito: r sempre leva raiz quadrada, e confira o argumento marcando o ponto no plano.

|z|=√(3²+4²)=√25=5. Erros comuns são somar a parte real e a parte imaginária como estão e obter 7, ou responder a soma dos quadrados 25 sem tirar a raiz. Lembre-se do triângulo retângulo 3:4:5 e a resposta sai num instante. O módulo é a distância até a origem.

Elevar à n-ésima potência multiplica o argumento por n: esse é o teorema de De Moivre. Elevar o próprio ângulo θ à n-ésima potência, ou elevar cos à n-ésima potência, está errado. Lembre-se dele como rotação: multiplicar soma os argumentos, então a n-ésima potência torna o argumento n vezes maior.

(1+i)²=1+2i+i²=2i, então (1+i)⁴=(2i)²=−4. Esquecer de usar i²=−1 e responder +4 é o erro típico. Na forma polar, o módulo é (√2)⁴=4 e o argumento é 4×45°=180°, então você pode responder −4 imediatamente. Uma questão que permite sentir a força do teorema de De Moivre.

Uma rotação de um ângulo θ significa multiplicar por (cosθ+i sinθ). Para θ=90°, temos cos90°+i sin90°=i, então a resposta é iz. Aqui, −iz é uma rotação de −90°, −z é uma rotação de 180°, e z̄ é a reflexão em relação ao eixo real, não uma rotação. 'Multiplicar por i significa girar 90° no sentido anti-horário' é o lema do plano complexo.

Para uma hipérbole, c²=a²+b², então c²=4+5=9 e os focos são (±3, 0). A maior armadilha é confundir isso com a relação da elipse c²=a²−b² e calcular 4−5 ou |4−5|=1. Separe bem as duas: na elipse se subtrai, na hipérbole se soma. Como o termo em x² é positivo, os focos ficam no eixo x.

A esperança é linear, então E(aX+b)=aE(X)+b. O ponto-chave é que a constante b permanece como está. Confundir isso com a fórmula da variância, em que b desaparece, e perder o b é o erro típico. Imagine: desloque todos os dados e a média se desloca exatamente na mesma quantidade.

A variância mede a dispersão, então um deslocamento por b não a altera e o b desaparece, enquanto o fator de escala a atua ao quadrado, dando a²V(X). Os dois erros frequentes são manter o b e esquecer de elevar o a ao quadrado. Aprenda o ritmo: na variância, a vai ao quadrado e b desaparece.

A variância de uma distribuição binomial é np(1−p)=100×0.2×0.8=16. O valor np=20 é a esperança e é facilmente confundido com a variância. O valor 4 é o desvio padrão √16. Aprenda em conjunto: esperança np e, para a variância, multiplique também por (1−p).

Padronizar significa z=(X−μ)/σ=(70−50)/10=2. Esquecer de dividir por σ dá 20, e dividir pela variância 100 dá 0.2. O ponto que exige mais atenção é que o '10²' em N(50, 10²) é a variância, enquanto o que se divide é o desvio padrão 10. Dois passos: subtrair e depois dividir por σ.

O desvio padrão da média amostral é σ/√n, então para 95% o intervalo é x̄±1.96·σ/√n. Os dois grandes erros são usar σ como está, esquecendo de dividir por √n, e dividir por n. O valor 2.58 pertence ao intervalo de confiança de 99%, outra armadilha clássica. Transforme em mantra: 95% vai com 1.96, e a largura usa σ/√n.

O desvio padrão da média amostral é σ/√n=12/√36=12/6=2. O erro mais frequente é perder a raiz e escrever 12/36=1/3, e responder o desvio padrão populacional 12 também está errado. Entenda assim: quanto maior n, menos a média amostral varia, e essa dispersão diminui por um fator de 1/√n.