ملازمت کی زندگی اور ملازمت کی تلاش · SPI تیاری لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
5 مختلف کتابوں میں سے تین کتابیں چن کر شیلف پر بائیں سے ترتیب میں رکھی جاتی ہیں۔ کتنی ترتیبیں ممکن ہیں؟
آپ چنتے بھی ہیں اور ترتیب بھی دیتے ہیں، اس لیے یہ ترتیب (permutation) ہے: 5×4×3=60۔ 10 جواب ترتیب کا لحاظ کیے بغیر انتخاب کی تعداد ہے، یعنی ترتیب کو انتخاب (combination) سے گڈمڈ کرنا۔ 125 جواب ایک ہی کتاب کو دوبارہ استعمال کے قابل سمجھنا ہے، یعنی تکرار والی ترتیب۔ 15 جواب 5×3 سے آتا ہے۔
چاروں افراد A، B، C اور D کو ایک قطار میں کتنے طریقوں سے کھڑا کیا جا سکتا ہے؟
چاروں کو ترتیب دی جاتی ہے، اس لیے 4!=4×3×2×1=24۔ 12 جواب حساب کو 4×3 پر روک دینا ہے۔ 16 جواب 4×4 سے آتا ہے۔ 256 جواب ایک ہی فرد کو دوبارہ استعمال کے قابل سمجھنا، 4×4×4×4، ہے۔
3 قسم کی قمیضوں، 4 قسم کی پتلونوں اور 2 قسم کی ٹوپیوں میں سے ہر ایک میں سے ایک چیز چنی جاتی ہے۔ کتنے امتزاج بنتے ہیں؟
انتخاب یکے بعد دیگرے کیے جاتے ہیں، اس لیے ضرب کا اصول لاگو ہوتا ہے: 3×4×2=24۔ 9 جواب انہیں جمع کرنا، 3+4+2، ہے، لیکن یکے بعد دیگرے کیے گئے انتخاب ضرب کھاتے ہیں۔ 12 جواب ٹوپیاں بھول جانا، 3×4، اور 6 جواب پتلونیں بھول جانا، 3×2، ہے۔
چھ افراد ایک گول میز کے گرد بیٹھتے ہیں۔ گھمانے سے ایک جیسی بن جانے والی ترتیبوں کو ایک گنا جائے تو بیٹھنے کے کتنے طریقے ہیں؟
ایک فرد کی نشست مقرر کر دیں اور باقی پانچ کو ترتیب دیں: (6−1)!=5!=120۔ 720 جواب 6! ہے، جو ایک ہی ترتیب کی گردشوں کو الگ الگ گنتا ہے۔ 360 جواب 6!/2 ہے، جو آئینے کی عکسی ترتیبوں کو بھی ایک ہی سمجھے گا۔ 36 جواب 6×6 سے آتا ہے۔
0، 1، 2، 3 اور 4 لکھے ہوئے ایک ایک کارڈ ہیں۔ ان میں سے 3 استعمال کر کے تین ہندسی عدد بنانا ہو تو کتنے اعداد بن سکتے ہیں؟
سینکڑے کے ہندسے کے لیے 0 کو چھوڑ کر 4 انتخاب ہیں؛ دہائی کے ہندسے کے لیے باقی بچے 4؛ اکائی کے ہندسے کے لیے 3۔ 4×4×3=48۔ 60 جواب 0 کو شروع میں آنے دینا، 5×4×3، ہے، یعنی یہ بھول جانا کہ 0 کو کیسے سنبھالنا ہے۔ 24 جواب 4×3×2 گننا ہے۔ 100 جواب ہندسوں کو دوبارہ استعمال کے قابل سمجھنا، 4×5×5، ہے۔
3 قسم کی علامتیں ہیں۔ اگر ایک ہی علامت کو جتنی بار چاہیں استعمال کیا جا سکے تو 4 علامتوں کو ایک قطار میں کتنے طریقوں سے ترتیب دیا جا سکتا ہے؟
پہلی سے چوتھی جگہ تک ہر جگہ کے لیے آزادانہ طور پر 3 میں سے انتخاب کیا جا سکتا ہے، اس لیے 3×3×3×3=81 طریقے۔ 64 کا جواب اقسام کی تعداد اور جگہوں کی تعداد کو الٹ کر 4×4×4 لینے کی غلطی ہے۔ 12 کا جواب 3×4 ضرب دینے کی غلطی ہے۔ 24 کا جواب 4! کی قیمت ہے، جو صرف 3 اقسام ہونے کے باوجود چاروں علامتوں کو الگ الگ بنانے کی کوشش کرنے والی متضاد گنتی ہے۔
3 لڑکے اور 2 لڑکیاں ایک قطار میں کھڑے ہوتے ہیں۔ کتنے طریقوں میں دونوں لڑکیاں لازماً ایک دوسرے کے ساتھ ساتھ ہوں گی؟
دونوں لڑکیوں کو ایک گروپ مان کر 4 چیزوں کو ترتیب دیں تو 4!=24 طریقے۔ گروپ کے اندر دونوں لڑکیاں جگہ بدل سکتی ہیں، اس لیے 24×2!=48 طریقے۔ 24 کا جواب آخر میں 2! سے ضرب دینا بھول جانے کی غلطی ہے۔ 72 کا جواب اُن طریقوں کی تعداد ہے جن میں لڑکیاں ساتھ ساتھ نہیں ہوتیں، یعنی متمم واقعے سے خلط ملط کرنے کی غلطی۔ 120 کا جواب 5! ہے، جس میں شرط کو نظرانداز کر دیا گیا ہے۔
3 لڑکے اور 3 لڑکیاں ایک قطار میں کھڑے ہوتے ہیں۔ کتنے طریقوں میں لڑکے اور لڑکیاں باری باری ہوں گے؟
سب سے آگے لڑکا ہو یا لڑکی، اس کے 2 طریقے ہیں۔ ہر صورت میں 3 لڑکوں کی ترتیب 3!=6 طریقے اور 3 لڑکیوں کی ترتیب 3!=6 طریقے ہیں۔ 2×6×6=72 طریقے۔ 36 کا جواب سب سے آگے والے 2 طریقوں سے ضرب دینا بھول جانے کی غلطی ہے۔ 144 کا جواب 2 سے دو بار ضرب دینے کی غلطی ہے۔ 720 کا جواب 6! ہے، جس میں شرط کو نظرانداز کر دیا گیا ہے۔
4 افراد میں سے ایک صدر اور ایک نائب صدر منتخب کرنا ہے۔ انتخاب کے کتنے طریقے ہیں؟
صدر اور نائب صدر کے کردار مختلف ہیں، اس لیے یہ ایسا انتخاب ہے جس میں ترتیب اہم ہے۔ صدر کے لیے 4 طریقے اور نائب صدر کے لیے باقی 3 طریقے، یعنی 4×3=12 طریقے۔ 6 کا جواب عہدوں کے فرق کو نظرانداز کر کے صرف 2 افراد چننے کی تعداد ہے، یعنی ترتیب (permutation) اور انتخاب (combination) کو خلط ملط کرنا۔ 16 کا جواب یہ مان کر 4×4 لینا ہے کہ ایک ہی شخص دونوں عہدے رکھ سکتا ہے۔ 4 کا جواب صرف صدر کے انتخاب کو گن کر نائب صدر والے حصے سے ضرب دینا بھول جانے کی غلطی ہے۔
5 افراد ایک گول میز کے گرد بیٹھتے ہیں۔ کتنے طریقوں میں دو مخصوص افراد ساتھ ساتھ بیٹھیں گے؟ گھمانے پر ایک جیسی ہو جانے والی ترتیبوں کو ایک ہی طریقہ گنا جائے۔
دونوں کو ایک گروپ مانیں تو 4 چیزوں کی دائری ترتیب (4−1)!=6 طریقے بنتی ہے۔ گروپ کے اندر دونوں کی ترتیب 2 طریقوں سے ہو سکتی ہے، اس لیے 6×2=12 طریقے۔ 24 کا جواب بغیر شرط کے 5 افراد کی دائری ترتیب 4!=24 ہے، یعنی شرط استعمال کرنا بھول جانے کی غلطی۔ 6 کا جواب آخر میں 2 سے ضرب دینا بھول جانے کی غلطی ہے۔ 48 کا جواب دائری ترتیب بنائے بغیر 2×4! گننے کی غلطی ہے۔
6 افراد کو ایک قطار میں کھڑا کیا جائے تو کتنے طریقوں میں A، B سے آگے ہوگا؟
6 افراد کی تمام 6!=720 ترتیبیں ٹھیک آدھی آدھی تقسیم ہوتی ہیں: آدھی میں A آگے اور آدھی میں B آگے۔ 720/2=360 طریقے۔ 720 کا جواب شرط کو نظرانداز کرتا ہے۔ 240 کا جواب 720 کو 3 سے تقسیم کرنا ہے۔ 120 کا جواب 5! ہے۔
7 افراد ایک گول میز کے گرد بیٹھتے ہیں۔ کتنے طریقوں میں تین مخصوص افراد لگاتار ساتھ ساتھ بیٹھیں گے؟ گھمانے پر ایک جیسی ہو جانے والی ترتیبوں کو ایک ہی طریقہ گنا جائے۔
تینوں کو ایک گروپ میں باندھ لیں تو 5 چیزوں کی دائری ترتیب (5−1)!=24 طریقے بنتی ہے۔ گروپ کے اندر تینوں کی ترتیب 3!=6 طریقے ہیں، اس لیے 24×6=144 طریقے۔ 4320 کا جواب 7 افراد کی دائری ترتیب 720 کو 3! سے ضرب دینا ہے، جس میں یہ نظرانداز ہو گیا کہ گروپ بنانے سے چیزوں کی تعداد 5 رہ جاتی ہے۔ 24 کا جواب 3! سے ضرب دینا بھول جانے کی غلطی ہے۔ 720 کا جواب بغیر شرط کے 7 افراد کی دائری ترتیب ہے۔
8 افراد میں سے 3 نمائندے منتخب کرنے ہیں۔ انتخاب کے کتنے طریقے ہیں؟
تینوں نمائندوں میں کوئی فرق نہیں کیا جاتا، اس لیے یہ انتخاب (combination) ہے: 8×7×6/(3×2×1)=56 طریقے۔ 336 کا جواب ترتیب کو بھی گن کر 8×7×6 لینا ہے، جس سے تین افراد کا ہر مجموعہ 3!=6 بار زائد گنا جاتا ہے۔ 112 کا جواب 56 کو دگنا کرنا ہے۔ 24 کا جواب 8×3 ہے۔
صفائی کی ڈیوٹی کے لیے 10 افراد میں سے 2 افراد منتخب کرنے ہیں۔ انتخاب کے کتنے طریقے ہیں؟
ڈیوٹی والے دونوں افراد میں کوئی فرق نہیں کیا جاتا، اس لیے 10×9/2=45 طریقے۔ 90 کا جواب ترتیب کے ساتھ 10×9 لینا اور 2 سے تقسیم کرنا بھول جانا ہے۔ 20 کا جواب 10×2 ہے اور 100 کا جواب 10×10 ہے۔
5 مردوں اور 4 عورتوں کے گروپ میں سے 2 مرد اور 2 عورتیں منتخب کرنی ہیں۔ انتخاب کے کتنے طریقے ہیں؟
مردوں کا انتخاب 5×4/2=10 طریقے اور عورتوں کا انتخاب 4×3/2=6 طریقے ہیں۔ دونوں ایک ساتھ طے ہوتے ہیں، اس لیے ضرب دیں: 10×6=60 طریقے۔ 16 کا جواب 10+6 جمع کرنا ہے۔ 240 کا جواب ترتیب کو بھی گن کر 20×12 لینا ہے۔ 126 کا جواب مرد و عورت کی تقسیم کو نظرانداز کر کے 9 میں سے 4 چننا ہے۔
3 سرخ گیندیں اور 2 سفید گیندیں ایک قطار میں رکھی جاتی ہیں۔ ایک ہی رنگ کی گیندوں کو یکساں مانا جائے تو ترتیب کے کتنے طریقے ہیں؟
پانچوں کو الگ الگ مانیں تو 5!=120 طریقے ہیں، لیکن سرخ گیندوں کی آپس میں 3!=6 اور سفید گیندوں کی آپس میں 2!=2 ادلا بدلی سے ایک ہی ترتیب بنتی ہے، اس لیے تقسیم کریں: 120/(6×2)=10 طریقے۔ 120 کا جواب تقسیم نہیں کرتا؛ 20 کا جواب صرف 3! سے تقسیم کرتا ہے؛ 60 کا جواب صرف 2! سے تقسیم کرتا ہے۔
کل 6 حروف، یعنی تین A، دو B اور ایک C، ایک قطار میں رکھے جاتے ہیں۔ ترتیب کے کتنے طریقے ہیں؟
6!/(3!×2!×1!)=720/12=60 طریقے۔ 720 کا جواب ایک جیسے حروف کی ادلا بدلی کو الگ گن کر تقسیم نہیں کرتا۔ 120 کا جواب صرف 3! سے تقسیم کرتا ہے۔ 30 کا جواب یوں 2! سے اضافی تقسیم کرتا ہے جیسے C بھی دو ہوں۔
گلیوں کے جال (گرڈ) میں منزل تک پہنچنے کے لیے مشرق کی طرف 4 بلاک اور شمال کی طرف 3 بلاک جانا ہے۔ واپس مڑے بغیر کتنے راستے ہیں؟
کل 7 قدموں میں سے کون سے 3 شمال کی طرف ہوں گے، یہ طے کرنے سے راستہ طے ہو جاتا ہے: 7×6×5/(3×2×1)=35 طریقے۔ 12 کا جواب 4×3 ہے۔ 21 کا جواب شمالی قدموں کو غلطی سے 2 گننا ہے۔ 70 کا جواب قدموں کو غلطی سے 8 گننا ہے۔
5 اقسام میں سے 3 ٹاپنگز منتخب کرنی ہیں۔ ترتیب اہم نہیں۔ انتخاب کے کتنے طریقے ہیں؟
5×4×3/(3×2×1)=10 طریقے۔ اگر یوں سوچیں کہ کون سی 2 اقسام چھوڑنی ہیں تو بھی یہی جواب آتا ہے: 5×4/2=10 طریقے۔ 60 کا جواب ترتیب کو بھی گن کر 5×4×3 لینا ہے، یعنی ترتیب (permutation) اور انتخاب (combination) کو خلط ملط کرنا۔ 15 کا جواب 5×3 ہے اور 20 کا جواب 5×4 ہے۔
9 افراد کو تین تین افراد کے 3 گروپوں میں تقسیم کرنا ہے۔ گروپوں میں کوئی فرق نہیں کیا جاتا۔ تقسیم کے کتنے طریقے ہیں؟
اگر تینوں گروپ الگ الگ پہچانے جائیں تو 84×20×1=1680 طریقے ہیں۔ چونکہ گروپوں میں فرق نہیں کیا جاتا، اس لیے گروپوں کی ہر ترتیب کے حساب سے ہر تقسیم 3!=6 بار زائد گنی گئی ہے: 1680/6=280 طریقے۔ 1680 کا جواب 3! سے تقسیم کرنا بھول جانے کی عام غلطی ہے۔ 840 کا جواب 2 سے تقسیم کرنا ہے۔ 84 کا جواب صرف 9 میں سے 3 چننے کی تعداد ہے۔
6 افراد کو کمرہ A اور کمرہ B میں تین تین کر کے تقسیم کرنا ہے۔ کمروں میں فرق کیا جاتا ہے۔ تقسیم کے کتنے طریقے ہیں؟
کمرہ A کے تین افراد چن لینے سے باقی کمرہ B کے لیے طے ہو جاتے ہیں، اس لیے 6×5×4/(3×2×1)=20 طریقے۔ 10 کا جواب وہ تعداد ہے جب کمروں میں فرق نہ کیا جائے، یعنی جہاں 2 سے تقسیم نہیں کرنا تھا وہاں تقسیم کر دیا۔ 40 کا جواب 20 کو دگنا کرنا ہے۔ 720 کا جواب 6! ہے۔
8 افراد کو چار چار افراد کے دو گروپوں میں تقسیم کرنا ہے۔ گروپوں میں کوئی فرق نہیں کیا جاتا۔ تقسیم کے کتنے طریقے ہیں؟
8 میں سے 4 چننے کے 70 طریقے ہیں، لیکن اس میں ہر تقسیم دو بار گنی جاتی ہے: ایک بار چنے گئے چار کے لحاظ سے اور ایک بار باقی چار کے لحاظ سے۔ 70/2=35 طریقے۔ 70 کا جواب 2 سے تقسیم کرنا بھول جانے کی عام غلطی ہے۔ 28 کا جواب 8 میں سے 2 چننے سے خلط ملط کرنا ہے۔ 16 کا جواب 4×4 ہے۔
6 افراد کو دو دو افراد کے 3 گروپوں میں تقسیم کرنا ہے۔ گروپوں میں کوئی فرق نہیں کیا جاتا۔ تقسیم کے کتنے طریقے ہیں؟
اگر تینوں گروپ الگ الگ پہچانے جائیں تو 15×6×1=90 طریقے ہوتے۔ چونکہ گروپوں میں فرق نہیں کیا جاتا، اس لیے گروپوں کی ترتیب 3!=6 سے تقسیم کریں: 90/6=15 طریقے۔ 90 کا جواب تقسیم نہیں کرتا۔ 45 کا جواب 2 سے تقسیم کرتا ہے۔ 30 کا جواب 3! کے بجائے 3 سے تقسیم کرتا ہے۔
ایک پانسہ ایک بار پھینکا جاتا ہے۔ اس بات کا احتمال کیا ہے کہ آنے والا عدد 3 یا اس سے زیادہ ہو؟
3 یا اس سے زیادہ والے اعداد 3، 4، 5 اور 6 ہیں، یعنی کل 6 میں سے 4: 4/6=2/3۔ 1/2 کا جواب اسے 4 یا زیادہ سمجھ کر 3/6 لینا ہے۔ 1/3 کا جواب اسے 5 یا زیادہ سمجھ کر 2/6 لینا ہے۔ 5/6 کا جواب اسے 2 یا زیادہ سمجھنا ہے۔ یاد رکھیں کہ 'یا اس سے زیادہ' میں وہ عدد خود بھی شامل ہوتا ہے۔
تین سکے ایک ساتھ اچھالے جاتے ہیں۔ تینوں کے چت (ہیڈ) آنے کا احتمال کیا ہے؟
چت اور پٹ آنے کے 2×2×2=8 طریقے ہیں، اور تینوں چت ان میں سے 1 ہے: 1/8۔ 1/6 کا جواب صورتوں کو غلطی سے 6 گننا ہے۔ 1/4 کا جواب دو سکوں والی قیمت ہے۔ 3/8 کا جواب ٹھیک دو چت آنے کا احتمال ہے۔
ایک تھیلے میں 4 سرخ اور 6 سفید گیندیں ہیں۔ اچھی طرح ہلا کر ایک گیند نکالی جاتی ہے۔ اس کے سرخ ہونے کا احتمال کیا ہے؟
کل 10 گیندوں میں سے 4 سرخ ہیں: 4/10=2/5۔ 3/5 کا جواب سفید گیند نکلنے کا احتمال ہے، یعنی پوچھے گئے رنگ کو غلط سمجھنا۔ 1/5 کا جواب 4/10 کو غلطی سے 2/10 لکھنا ہے۔ 1/2 کا جواب اسے دو رنگوں میں سے انتخاب سمجھنا ہے، لیکن تعداد مختلف ہے اس لیے یہ برابر کی تقسیم نہیں۔
دو پانسے ایک ساتھ پھینکے جاتے ہیں۔ اعداد کا مجموعہ 7 ہونے کا احتمال کیا ہے؟
کل 6×6=36 نتائج ہیں۔ مجموعہ 7، یعنی 1 اور 6، 2 اور 5، 3 اور 4 اور ان کی الٹی ترتیبیں، کل 6 نتائج ہیں: 6/36=1/6۔ 5/36 کا جواب مجموعہ 6 کا احتمال ہے۔ 1/12 کا جواب ترتیب کو نظرانداز کر کے 3 نتائج گننا، یعنی 3/36 ہے۔ 1/7 کا جواب شمار کنندہ اور نسب نما دونوں میں بے ترتیب جوڑے گن کر 21 جوڑوں میں سے لینا ہے، لیکن یہ 21 جوڑے یکساں امکان والے نہیں، اس لیے یہ غلط ہے۔
چار سکے ایک ساتھ اچھالے جاتے ہیں۔ کم از کم ایک کے چت آنے کا احتمال کیا ہے؟
متمم واقعہ یہ ہے کہ چاروں پٹ آئیں، جس کا احتمال 1/16 ہے۔ مطلوبہ احتمال 1−1/16=15/16 ہے۔ 1/16 کا جواب متمم احتمال دے کر اسے 1 سے منہا کرنا بھول جانے کی عام غلطی ہے۔ 1/4 کا جواب ٹھیک ایک چت آنے کا احتمال، یعنی 4/16 ہے۔ 1/2 کا جواب ایک سکے والی قیمت ہے۔
3 سرخ اور 5 سفید گیندوں والے تھیلے سے 2 گیندیں ایک ساتھ نکالی جاتی ہیں۔ دونوں کے سفید ہونے کا احتمال کیا ہے؟
8 میں سے 2 نکالنے کے 28 طریقے ہیں، اور دونوں سفید ہونے کے، یعنی 5 میں سے 2 نکالنے کے، 10 طریقے ہیں: 10/28=5/14۔ 25/64 کا جواب یوں 5/8 کا مربع لینا ہے جیسے ہر گیند واپس ڈالی جاتی ہو؛ دونوں ایک ساتھ نکالی جائیں تو دوسری گیند کا نسب نما 7 رہ جاتا ہے، اس لیے یہ غلط ہے۔ 3/28 کا جواب دونوں کے سرخ ہونے کا احتمال ہے۔ 25/28 کا جواب کم از کم ایک کے سفید ہونے کا احتمال ہوگا۔
ایک تھیلے میں 5 سفید اور 3 سرخ گیندیں ہیں۔ 2 گیندیں ایک ساتھ نکالی جاتی ہیں۔ کم از کم ایک کے سرخ ہونے کا احتمال کیا ہے؟
متمم واقعہ یہ ہے کہ دونوں سفید ہوں، یعنی 10/28=5/14، اس لیے 1−5/14=9/14۔ 5/14 کا جواب متمم احتمال دے کر 1 سے منہا کرنا بھول جانا ہے۔ 15/28 کا جواب ٹھیک ایک سرخ ہونے کا احتمال ہے اور اس میں دونوں سرخ والی صورت شامل نہیں۔ 3/28 کا جواب دونوں کے سرخ ہونے کا احتمال ہے۔
A کا نشانہ 2/3 احتمال سے اور B کا 1/2 احتمال سے لگتا ہے، اور دونوں کے نتائج ایک دوسرے پر اثر انداز نہیں ہوتے۔ کم از کم ایک کا نشانہ لگنے کا احتمال کیا ہے؟
متمم واقعہ یہ ہے کہ دونوں کا نشانہ چوک جائے، یعنی 1/3×1/2=1/6، اس لیے 1−1/6=5/6۔ 1/3 کا جواب دونوں کا نشانہ لگنے کا احتمال، یعنی 2/3×1/2 ہے۔ 1/6 کا جواب خود متمم احتمال ہے۔ 1/2 کا جواب ٹھیک ایک کا نشانہ لگنے کا احتمال ہے۔ یہ بھی دیکھیں کہ احتمالات کو سیدھا جمع کرنے سے، یعنی 2/3+1/2، جواب 1 سے بڑھ جاتا ہے، جس سے ظاہر ہے کہ جمع کرنا درست طریقہ نہیں۔
10 پرچیوں میں سے 2 انعامی ہیں۔ A اور B اسی ترتیب سے ایک ایک پرچی نکالتے ہیں، اور پرچیاں واپس نہیں ڈالی جاتیں۔ B کے انعامی پرچی نکالنے کا احتمال کیا ہے؟
اگر A کو انعام ملے تو 2/10×1/9، اور اگر A کو نہ ملے تو 8/10×2/9۔ جمع کریں تو 2/90+16/90=18/90=1/5۔ نکالنے کی ترتیب سے کوئی فرق نہیں پڑتا؛ احتمال 2/10=1/5 ہی رہتا ہے۔ 2/9 کا جواب صرف اس صورت کو دیکھتا ہے جب A کو انعام نہ ملے۔ 1/45 کا جواب دونوں کو انعام ملنے کا احتمال ہے۔ 1/10 کا جواب انعامی پرچیوں کو غلطی سے 1 گننا ہے۔
3 سرخ اور 4 سفید گیندوں والے تھیلے سے 2 گیندیں ایک ساتھ نکالی گئیں، اور یہ معلوم ہے کہ کم از کم ایک سرخ ہے۔ دونوں کے سرخ ہونے کا احتمال کیا ہے؟
7 میں سے 2 نکالنے کے 21 طریقے ہیں۔ دونوں سفید کے 6 طریقے ہیں، اس لیے کم از کم ایک سرخ کے 21−6=15 طریقے ہیں۔ ان میں دونوں سرخ کے 3 طریقے ہیں: 3/15=1/5۔ 1/7 کا جواب شرط کو نظرانداز کر کے نسب نما 21 ہی رکھنا، یعنی 3/21 ہے۔ 5/7 کا جواب کم از کم ایک کے سرخ ہونے کا احتمال ہے۔ 3/7 کا جواب پہلی گیند کے سرخ ہونے کا احتمال ہے۔
10 پرچیوں میں ایک پہلا انعام 500 ین کا، تین دوسرے انعام 100 ین کے، اور باقی چھ خالی (0 ین) ہیں۔ ایک پرچی نکالنے پر ملنے والی متوقع رقم کتنی ہے؟
500×1، 100×3 اور 0×6 جمع کریں تو 800 ین بنتے ہیں، اور اسے 10 پرچیوں سے تقسیم کریں تو 80 ین۔ 200 ین کا جواب صرف 4 انعامی پرچیوں پر اوسط لینا، یعنی 800/4 ہے، جس میں خالی پرچیاں نسب نما سے نکل گئیں۔ 800 ین کا جواب خود کل انعامی رقم ہے۔ 50 ین کا جواب صرف پہلے انعام کو دیکھ کر 500/10 لینا ہے۔
تین بار نشانہ لگایا جاتا ہے، اور ہر بار نشانہ لگنے کا احتمال 1/3 ہے۔ تین میں سے ٹھیک دو بار نشانہ لگنے کا احتمال کیا ہے؟
کون سی دو کوششیں کامیاب ہوں، اس کے 3 طریقے ہیں، اور ہر ایک کا احتمال 1/3×1/3×2/3=2/27 ہے، اس لیے 3×2/27=6/27=2/9۔ 2/27 کا جواب 3 صورتوں سے ضرب دینا بھول جانا ہے۔ 1/27 کا جواب تینوں بار نشانہ لگنے کا احتمال ہے۔ 4/9 کا جواب ٹھیک ایک بار نشانہ لگنے کا احتمال ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
※ وضاحتیں مطالعے کے مقصد کے لیے معلومات ہیں۔ امتحان کا نصاب اور نظام سال بہ سال بدل سکتا ہے، اس لیے امتحان منعقد کرنے والے ادارے کے سرکاری اعلانات ضرور دیکھیں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ جاپانی اصل متن دیکھیں