경우의 수·확률

고른 다음에 늘어놓으므로 순열이다. 5x4x3=60가지다. 10가지는 늘어놓는 차례를 생각하지 않은 고르기의 수로 순열과 조합을 뒤바꾼 것이다. 125가지는 같은 책을 몇 번이라도 놓을 수 있다고 본 중복순열의 값이다. 15가지는 5x3으로 곱한 실수다.

모두를 늘어놓으므로 4!=4x3x2x1=24가지다. 12가지는 4x3에서 계산을 멈춘 실수다. 16가지는 4x4로 계산한 실수다. 256가지는 같은 사람을 몇 번이라도 고를 수 있다고 본 4x4x4x4의 값이다.

차례로 정해 가므로 곱의 법칙이다. 3x4x2=24가지다. 9가지는 3+4+2로 더한 실수인데, 잇달아 정하는 일은 곱셈이 된다. 12가지는 모자를 세지 않은 3x4이고, 6가지는 바지를 세지 않은 3x2다.

한 사람의 자리를 고정하고 남은 다섯 사람을 늘어놓으므로 (6-1)!=5!=120가지다. 720가지는 6!으로 돌려서 같은 배열을 따로따로 센 실수다. 360가지는 6!/2로 뒤집은 것까지 같다고 본 셈법이다. 36가지는 6x6으로 계산한 실수다.

백의 자리는 0을 뺀 4가지, 십의 자리는 남은 4가지, 일의 자리는 남은 3가지다. 4x4x3=48개다. 60개는 맨 앞에 0을 허락한 5x4x3으로 0을 다루는 것을 잊은 실수다. 24개는 4x3x2로 센 실수다. 100개는 같은 숫자를 몇 번이라도 쓸 수 있다고 본 4x5x5다.

첫째부터 넷째까지 저마다 3가지씩 마음대로 고를 수 있으므로 3x3x3x3=81가지다. 64가지는 4x4x4로 종류의 수와 개수를 뒤바꾼 실수다. 12가지는 3x4로 곱한 실수다. 24가지는 4!의 값으로, 3종류밖에 없는데 4개를 모두 다른 기호로 하려 한 앞뒤가 맞지 않는 셈법이다.

여자 2명을 한 덩어리로 보고 네 개를 늘어놓으면 4!=24가지다. 덩어리 안에서 여자 2명이 자리를 바꾸므로 24x2!=48가지다. 24가지는 마지막 2!을 곱하는 것을 잊은 실수다. 72가지는 여자가 이웃하지 않는 경우의 수로 여사건과 뒤바꾼 실수다. 120가지는 5!로 조건을 무시한 전체다.

맨 앞이 남자냐 여자냐로 2가지다. 그 각각에 대해 남자 3명의 배열이 3!=6가지, 여자 3명의 배열이 3!=6가지다. 2x6x6=72가지다. 36가지는 맨 앞의 2가지를 곱하는 것을 잊은 실수다. 144가지는 2를 두 번 곱한 실수다. 720가지는 6!으로 조건을 무시한 전체다.

회장과 부회장은 구실이 다르므로 차례가 있는 뽑기다. 회장이 4가지, 부회장은 남은 3가지이므로 4x3=12가지다. 6가지는 직책의 구별을 무시하고 두 사람을 뽑는 수로 순열과 조합을 뒤바꾼 것이다. 16가지는 같은 사람이 겸할 수 있다고 본 4x4다. 4가지는 회장을 뽑는 방법만 세고 부회장 몫을 곱하는 것을 잊은 실수다.

두 사람을 한 덩어리로 보면 네 개의 원순열이므로 (4-1)!=6가지다. 덩어리 안의 두 사람 배열이 2가지이므로 6x2=12가지다. 24가지는 조건이 없는 다섯 사람의 원순열 4!=24로 조건을 쓰지 않은 실수다. 6가지는 마지막에 2를 곱하는 것을 잊은 실수다. 48가지는 원순열로 하지 않고 2x4!으로 센 실수다.

여섯 사람의 배열 6!=720가지는 A가 앞인 경우와 B가 앞인 경우로 꼭 절반씩 갈린다. 720/2=360가지다. 720가지는 조건을 쓰지 않은 전체다. 240가지는 720을 3으로 나눈 실수다. 120가지는 5!을 답한 실수다.

세 사람을 한 덩어리로 묶으면 다섯 개의 원순열이므로 (5-1)!=24가지다. 덩어리 안의 세 사람 배열이 3!=6가지이므로 24x6=144가지다. 4320가지는 일곱 사람의 원순열 720에 그대로 3!을 곱한 실수로, 묶은 시점에 사람 수가 5로 줄어드는 것을 놓친 것이다. 24가지는 3!을 곱하는 것을 잊은 실수다. 720가지는 조건이 없는 일곱 사람의 원순열이다.

대표 3명에 구별이 없으므로 조합이다. 8x7x6/(3x2x1)=56가지다. 336가지는 늘어놓는 차례까지 센 8x7x6으로, 같은 세 사람 묶음을 3!=6가지만큼 겹쳐 센 것이다. 112가지는 56을 2배 한 실수다. 24가지는 8x3으로 곱한 실수다.

당번 2명에 구별이 없으므로 10x9/2=45가지다. 90가지는 차례를 매긴 10x9로 2로 나누는 것을 잊은 실수다. 20가지는 10x2, 100가지는 10x10으로 계산한 실수다.

남자를 뽑는 방법은 5x4/2=10가지, 여자는 4x3/2=6가지다. 둘을 동시에 정하므로 곱하여 10x6=60가지다. 16가지는 10+6으로 더한 실수다. 240가지는 차례까지 센 20x12다. 126가지는 남녀를 구별하지 않고 아홉 사람에서 4명을 뽑는 것으로 본 실수다.

5개를 모두 구별하면 5!=120가지이지만, 빨강 3개의 자리바꿈 3!=6가지와 흰 것 2개의 자리바꿈 2!=2가지는 같은 배열이므로 나눈다. 120/(6x2)=10가지다. 120가지는 나누는 것을 잊은 것이고, 20가지는 3!으로만 나눈 실수, 60가지는 2!로만 나눈 실수다.

6!/(3!x2!x1!)=720/12=60가지다. 720가지는 같은 문자의 자리바꿈을 따로따로 세어 나누는 것을 잊은 것이다. 120가지는 3!으로만 나눈 실수다. 30가지는 C도 2개라고 보고 2!로 더 나눈 실수다.

모두 7번의 이동 가운데 어느 3번을 북쪽으로 할지 정하면 길이 정해진다. 7x6x5/(3x2x1)=35가지다. 12가지는 4x3으로 곱한 실수다. 21가지는 북쪽을 2번으로 잘못 센 값이다. 70가지는 이동을 8번으로 잘못 센 값이다.

5x4x3/(3x2x1)=10가지다. 남기는 2종류를 고른다고 보고 5x4/2=10으로 해도 같다. 60가지는 차례까지 생각한 5x4x3으로 순열과 조합을 뒤바꾼 것이다. 15가지는 5x3, 20가지는 5x4로 계산한 실수다.

구별이 있는 세 모둠으로 나눈다면 84x20x1=1680가지다. 모둠에 구별이 없으므로 세 모둠의 자리바꿈 3!=6가지만큼 겹쳐 센 셈이다. 1680/6=280가지다. 1680가지는 3!으로 나누는 것을 잊은 흔한 실수다. 840가지는 2로 나눈 실수다. 84가지는 아홉 사람에서 3명을 고르는 수만 답한 실수다.

A실에 들어갈 3명을 정하면 나머지는 B실로 정해지므로 6x5x4/(3x2x1)=20가지다. 10가지는 방에 구별이 없을 때의 수로, 할 필요가 없는 2로 나누기를 한 실수다. 40가지는 20을 2배 한 실수다. 720가지는 6!을 답한 실수다.

여덟 사람에서 4명을 고르면 70가지이지만, 뽑힌 4명과 남은 4명을 맞바꾼 나눔을 두 번 센 셈이다. 70/2=35가지다. 70가지는 2로 나누는 것을 잊은 흔한 실수다. 28가지는 여덟 사람에서 2명을 고르는 수와 뒤바꾼 실수다. 16가지는 4x4로 계산한 실수다.

구별이 있는 세 모둠이라면 15x6x1=90가지다. 모둠에 구별이 없으므로 세 모둠의 자리바꿈 3!=6으로 나누어 90/6=15가지다. 90가지는 나누는 것을 잊은 것이다. 45가지는 2로 나눈 실수다. 30가지는 3!이 아니라 3으로 나눈 실수다.

3 이상인 눈은 3, 4, 5, 6의 4가지이고 모두 6가지다. 4/6=2/3이다. 1/2은 4 이상으로 잘못 읽은 3/6이다. 1/3은 5 이상으로 본 2/6이다. 5/6은 2 이상으로 본 것이다. '이상'은 그 수를 포함한다는 점에 주의한다.

앞뒤가 나오는 방식은 2x2x2=8가지이고 세 개 모두 앞면인 것은 1가지다. 1/8이다. 1/6은 경우의 수를 6가지로 잘못 센 실수다. 1/4은 동전이 두 개일 때의 값이다. 3/8은 꼭 두 개가 앞면이 될 확률이다.

모두 10개 가운데 빨강은 4개다. 4/10=2/5다. 3/5는 흰 구슬을 꺼낼 확률로 묻는 색을 뒤바꾼 것이다. 1/5은 4/10을 2/10으로 잘못 적은 실수다. 1/2은 빨강이냐 흰 것이냐의 둘 중 하나라고 여긴 실수로, 개수가 다르므로 반반이 되지 않는다.

눈이 나오는 방식은 6x6=36가지다. 합이 7이 되는 것은 1과 6, 2와 5, 3과 4 그리고 그 반대까지 6가지다. 6/36=1/6이다. 5/36은 합이 6이 될 확률이다. 1/12은 차례를 생각하지 않고 3가지로 보아 3/36으로 잘못 센 것이다. 1/7은 분자를 짝으로, 분모를 21가지의 짝으로 세었으나 실제 21가지의 짝은 똑같이 그럴듯하지 않으므로 틀렸다.

여사건은 네 개 모두 뒷면인 경우이고 그 확률은 1/16이다. 구하는 확률은 1-1/16=15/16이다. 1/16은 여사건 그대로 답하고 1에서 빼는 것을 잊은 흔한 실수다. 1/4은 꼭 한 개가 앞면이 될 확률 4/16이다. 1/2은 동전 하나만 보았을 때의 값이다.

꺼내는 방법은 8개에서 2개이므로 28가지이고, 두 개 모두 흰 것은 5개에서 2개이므로 10가지다. 10/28=5/14다. 25/64는 하나씩 도로 넣고 뽑는다고 본 5/8의 제곱으로, 한꺼번에 꺼낼 때에는 두 번째의 분모가 7로 줄어들기 때문에 틀리다. 3/28은 두 개 모두 빨강일 확률이다. 25/28은 적어도 하나가 흰 것일 확률이다.

여사건은 두 개 모두 흰 것으로 10/28=5/14다. 1-5/14=9/14다. 5/14는 여사건 그대로 답하고 1에서 빼는 것을 잊은 실수다. 15/28은 꼭 하나가 빨강일 확률로, 두 개 모두 빨강인 몫을 더하는 것을 잊은 것이다. 3/28은 두 개 모두 빨강일 확률이다.

여사건은 두 사람 다 빗맞히는 경우로 1/3x1/2=1/6이다. 1-1/6=5/6이다. 1/3은 두 사람 다 맞힐 확률 2/3x1/2이다. 1/6은 여사건 그대로 답한 실수다. 1/2은 꼭 한쪽만 맞힐 확률이다. 또한 확률을 그대로 더하면 2/3+1/2이 1을 넘어 버리므로 덧셈으로는 구할 수 없음을 알 수 있다.

A가 당첨될 경우는 2/10x1/9, A가 빗나갈 경우는 8/10x2/9이다. 더하면 2/90+16/90=18/90=1/5이다. 뽑는 차례와 상관없이 2/10=1/5로 달라지지 않는다. 2/9는 A가 빗나간 경우만 본 실수다. 1/45는 두 사람 다 당첨될 확률이다. 1/10은 당첨을 하나로 잘못 센 실수다.

꺼내는 방법은 7개에서 2개이므로 21가지다. 두 개 모두 흰 것은 6가지이므로 적어도 하나가 빨강인 것은 21-6=15가지다. 그 가운데 두 개 모두 빨강인 것은 3가지여서 3/15=1/5이다. 1/7은 조건을 쓰지 않고 분모를 21인 채로 둔 3/21이다. 5/7은 적어도 하나가 빨강일 확률 그 자체다. 3/7은 첫 번째가 빨강일 확률이다.

500x1과 100x3과 0x6을 더하면 800엔이고 이것을 제비 10개로 나누면 80엔이다. 200엔은 당첨 4개만으로 평균한 800/4로 꽝을 분모에 넣는 것을 잊은 실수다. 800엔은 상금의 합계 그 자체다. 50엔은 1등만 본 500/10이다.

어느 두 번이 명중하느냐로 3가지다. 저마다 1/3x1/3x2/3=2/27이므로 3x2/27=6/27=2/9다. 2/27은 경우의 수인 3을 곱하는 것을 잊은 실수다. 1/27은 세 번 모두 명중할 확률이다. 4/9는 꼭 한 번만 명중할 확률이다.