問1｜順列の基本
異なる5冊の本から3冊を選び、棚に左から順に並べる。並べ方は何通りか。
- 60通り
- 10通り
- 15通り
- 125通り
正解と解説
正解：A. 60通り
選んだうえで並べるので順列。5×4×3=60通り。10通りは並べる順を考えない選び方の数で、順列と組合せの取り違え。125通りは同じ本を何度も置けるとした重複順列の値。15通りは 5×3 と掛けたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
SPI SPI APTITUDE TEST
場合の数・確率
この章で学ぶこと
- 「並べるのか、選ぶだけなのか」を最初に見分けて、積の法則・順列・円順列を使い分ける型を身につけます。
- 選ぶだけの数え方と、同じものがあるときの割り算、そして「組に区別があるか」で答えが変わる組分けを整理します。
- 分母と分子の数え方をそろえることから始め、余事象・独立・条件つき確率・期待値までを1つの型でつなげます。
1. 場合の数の数え方（積の法則・順列・円順列）
「並べるのか、選ぶだけなのか」を最初に見分けて、積の法則・順列・円順列を使い分ける型を身につけます。
場合の数の問題は、まず「並べるのか、選ぶだけなのか」を見分けます。1列に並べる、役職をつける、数字を作るというように順番が結果を変えるなら順列。代表を選ぶ、組を作るというように順番が結果を変えないなら組合せです。この見分けを最初にやらないと、答えが 60 と 10 のように何倍もずれます。迷ったら「その2人を入れかえたら別のものになるか」と自分に聞いてください。別になるなら順列です。
順列の土台は積の法則です。1つ目の決め方が a 通りあり、そのそれぞれに対して2つ目の決め方が b 通りあるなら、全体は a×b 通り。異なる5個から3個を選んで並べるなら、5通り・4通り・3通りと1つずつ減っていくので 5×4×3=60通りです。全部を並べるときは 5×4×3×2×1=5! となります。逆に、同じものを何度使ってもよい重複順列では数が減らないので、3種類から4個なら 3×3×3×3=81通りになります。
円形に並べる円順列は、回転して重なる並びを1通りと数えます。n 人の並べ方 n! を回転の n 通りで割って (n−1)! となりますが、実際には「1人の席を固定して、残りを1列に並べる」と考えるほうが速くて間違えません。特定の2人を隣り合わせる条件がついたら、その2人を1組にまとめて (n−1) 個の円順列を作り、最後に組の中の並び 2! を掛けます。3人を続けて並べるなら、まとめてから 3! を掛けます。
条件つきの並べ方は、まとめる・すき間に入れる・余事象で引く、の3つの型でほとんど処理できます。隣り合う条件はまとめる型、隣り合わない条件はすき間か余事象、「少なくとも」は余事象です。数字を作る問題では、先頭に0を置けないという制約を最初に処理するのが鉄則で、0を含む5枚のカードから3桁を作るなら 4×4×3=48個となります。どの型を使っても、最後に小さい場合で樹形図を書いて数え直すと安心です。
| 場面 | 式 | 例 |
|---|---|---|
| 順番をつけて r 個並べる | n から1つずつ減らして r 個分掛ける | 5個から3個で 5×4×3=60 |
| 全部を並べる | n! | 4個で 4!=24 |
| 同じものを何度でも使う | n を r 回掛ける | 3種類から4個で 81 |
| 円形に並べる | (n−1)! | 6人で 5!=120 |
| 円形で特定の2人が隣り合う | 2×(n−2)! | 5人で 2×3!=12 |
| 先頭に0を置けない3桁 | 先頭だけ別に数える | 0を含む5枚で 4×4×3=48 |
場合の数を数える手順1. 順番が結果を変えるかを判定する。変えるなら順列、変えないなら組合せ2. 同じものを何度も使えるかを確かめる。使えるなら重複順列3. 条件を先に処理する。先頭に0は置けない、この2人は隣、など4. 積の法則で1つずつ掛ける5. 円形なら1人を固定してから残りを並べる6. 小さい場合で樹形図を書き、数え直して検算する
用語
- 積の法則
- 続けて起こることがらの数え方。1つ目が a 通り、そのそれぞれで2つ目が b 通りなら全体は a×b 通り。場合の数の計算はほぼこれが土台。
- 順列
- 順番をつけて並べる数え方。異なる n 個から r 個を並べる数は n×(n−1)×… と r 個分だけ掛けたもの。5個から3個なら 5×4×3=60。
- 階乗
- n! は 1 から n までの整数をすべて掛けた数。4!=4×3×2×1=24。n 個すべてを1列に並べる方法の数にあたる。
- 重複順列
- 同じものを何度使ってもよいときの並べ方。n 種類から r 個なら n を r 回掛ける。3種類から4個で 81 通り。
- 円順列
- 円形に並べ、回転して重なるものを1通りと数える並べ方。n 個で (n−1)! 通り。1つを固定して残りを並べると考える。
- 樹形図
- 枝分かれの図で場合をすべて書き出す方法。数が小さいときの確実な検算手段で、公式で出した値と合うかを確かめるのに使う。
例題
例題：異なる6冊の本から2冊を選んで、左から順に並べる方法は何通りか。
答えと考え方 並べるので順列。6×5=30通り。選ぶだけなら 6×5/2=15通りで、半分になる。
例題：5人が円形のテーブルに座る方法は何通りか。回転して同じものは1通りと数える。
答えと考え方 1人の席を固定して残り4人を並べるので 4!=24通り。5! の120通りとしてしまうのは、回転して同じ並びを別々に数えたミス。
例題：男子2人と女子3人が1列に並ぶとき、男子2人が隣り合う並び方は何通りか。
答えと考え方 男子2人を1組にまとめると4つのものの並びで 4!=24通り。組の中の男子2人の並びが 2!=2通りなので 24×2=48通り。全体の 5!=120通りから引けば、隣り合わない並びは72通りとわかる。
出典・根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル教材です（SPI3に公開シラバスはありません）
2. 組合せ・同じものを含む並べ方・組分け
選ぶだけの数え方と、同じものがあるときの割り算、そして「組に区別があるか」で答えが変わる組分けを整理します。
組合せは、選ぶだけで順番を考えない数え方です。n 個から r 個を選ぶ組合せの数は、順列を r! で割った形になります。8人から3人の代表を選ぶなら 8×7×6/(3×2×1)=56通り。順列の336通りは、同じ3人組を並べ順の 3!=6 通り分だけ重複して数えた値です。また n 個から r 個を選ぶことは、残す n−r 個を選ぶことと同じなので、10人から8人を選ぶ数は10人から2人を選ぶ数と等しく45通りになります。
同じものを含む並べ方は、まず全部を区別して並べ、あとで同じものどうしの入れかえの分だけ割ります。赤玉3個と白玉2個なら 5!/(3!×2!)=10通り。文字の並べ方でも道順でも考え方は同じで、東へ4区画・北へ3区画進む最短経路は、7回の移動のうちどの3回を北にするかを決めればよいので 35通りです。「割る数を忘れて 5!=120 と答える」のがこの型の最大のミスです。
組分けは「組に区別があるか」で答えが変わります。A 室・B 室のように名前がついていれば区別あり、単に3つの組に分けるだけなら区別なしです。9人を3人ずつ3組に分けるとき、区別があれば 84×20×1=1680通り。区別がなければ、同じ分け方を組の並べ替え 3!=6 通り分だけ重複して数えているので 1680/6=280通りになります。この 3! で割る操作を忘れるのが定番の失点です。
注意したいのは、割るのはあくまで「人数が等しい組どうし」の入れかえだけということです。6人を4人と2人に分けるなら、人数が違うので入れかえても別の分け方になり、割る必要はありません。6人から4人を選ぶ15通りがそのまま答えです。人数の等しい組が k 組あるときだけ k! で割る、と覚えてください。
| 分け方 | 区別ありの数 | 割る数 | 答え |
|---|---|---|---|
| 9人を3人ずつ3組 | 1680 | 3!=6 | 280 |
| 8人を4人ずつ2組 | 70 | 2!=2 | 35 |
| 6人を2人ずつ3組 | 90 | 3!=6 | 15 |
| 6人を4人と2人の2組 | 15 | 1。人数が違うので割らない | 15 |
| 6人を A 室3人・B 室3人 | 20 | 1。部屋に区別がある | 20 |
組合せと組分けの手順1. 順番を考えるかを判定する。考えないなら組合せ2. 同じものがあれば、全部区別して並べてから同じものの階乗で割る3. 組分けは、まず区別がある前提で選び方を掛け合わせる4. 組に区別がなく、人数の等しい組が k 組あるなら最後に k! で割る5. 人数が違う組どうしは入れかえても別の分け方なので割らない6. 小さい人数で全部書き出し、数が合うか確かめる
用語
- 組合せ
- 順番を考えずに選ぶ数え方。n 個から r 個を選ぶ数は、順列を r! で割った値。8人から3人なら 56通り。
- 順列と組合せの違い
- 並べ順が結果を変えるなら順列、変えないなら組合せ。同じ選び方を r! 通り分だけ重複して数えるかどうかの違い。
- 同じものを含む順列
- 同じものがあるときの並べ方。全部を区別して並べた n! を、同じものの個数の階乗で割る。赤3白2なら 5!/(3!×2!)=10。
- 最短経路
- 碁盤の目を遠回りせず進む道順。東 a 回・北 b 回の移動の並べ替えなので、同じものを含む順列と同じ計算になる。
- 組分け
- 人やものをいくつかの組に分けること。組に名前があれば区別あり、なければ区別なしで、後者は等しい人数の組の個数の階乗で割る。
- 区別のない組
- 名前のついていない組。同じ分け方を組の並べ替えの分だけ重複して数えるため、その分を割って調整する必要がある。
例題
例題：7人から4人の委員を選ぶ方法は何通りか。
答えと考え方 選ぶだけなので組合せ。7×6×5×4/(4×3×2×1)=35通り。残す3人を選ぶと考えて 7×6×5/(3×2×1)=35 としても同じ値になる。
例題：白玉2個と黒玉4個を1列に並べる方法は何通りか。同じ色の玉は区別しない。
答えと考え方 6個すべてを区別すれば 6!=720通り。白2個の入れかえ 2! と黒4個の入れかえ 4! は同じ並びなので、720/(2×24)=15通り。
例題：4人を2人ずつ2つの組に分ける方法は何通りか。組に区別はない。
答えと考え方 区別があるなら 4人から2人を選ぶ6通り。組に区別がないので 2! で割って3通り。実際に書き出すと AB と CD、AC と BD、AD と BC の3通りで一致する。
出典・根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル教材です（SPI3に公開シラバスはありません）
3. 確率の型（余事象・独立・条件つき・期待値）
分母と分子の数え方をそろえることから始め、余事象・独立・条件つき確率・期待値までを1つの型でつなげます。
確率は「あてはまる場合の数を、全部の場合の数で割った値」です。ここで大事なのは、分母と分子を同じ数え方でそろえること。2個のサイコロの目の和が7になる確率は、36通りのうち6通りで 1/6 です。目の組を3通りと数えたのなら、分母も組の数で数え直さなければならず、混ぜて 3/36 としてしまうと 1/12 という誤った値になります。「区別して数えるか、しないか」を最初に決めて最後まで通してください。
「少なくとも」が出てきたら余事象です。求める確率は 1 から「起こらない確率」を引いた値になります。硬貨4枚で少なくとも1枚が表になる確率は、4枚とも裏になる確率 1/16 を1から引いて 15/16。直接数えるとちょうど1枚、ちょうど2枚と場合分けが増えるので、余事象のほうが速くて安全です。最後に1から引くのを忘れて 1/16 と答えてしまうのが定番のミスです。
複数の試行を組み合わせるときは、掛けるか足すかを区別します。「A も B も起こる」は掛け算、「A か B のどちらかが起こる。ただし同時には起こらない」は足し算です。互いに影響しない独立な試行なら、そのまま確率を掛けられます。影響する場合、たとえば玉を戻さずに引くときは、2回目の分母が1つ減ります。同時に2個取り出す問題は戻さずに引く場合と同じなので、組合せで数えるのが確実です。なお確率どうしをそのまま足すと1を超えることがあり、そのときは足し算が誤りだと気づけます。
条件つき確率は「分母を狭める」操作です。少なくとも1個は赤とわかっているなら、分母は全体ではなく「少なくとも1個赤」の場合の数に置きかわります。期待値は「値とその確率を掛けたもの」の合計で、くじの賞金なら、はずれの0円も分母に含めて計算します。当たりくじだけで平均すると値が大きく出るので気をつけてください。
| 場面 | 考え方 | 例 |
|---|---|---|
| 基本 | あてはまる場合の数を全部の場合の数で割る | 和が7 は 6/36=1/6 |
| 少なくとも1つ | 1 から余事象の確率を引く | 硬貨4枚で 1−1/16=15/16 |
| A も B も。独立のとき | 確率どうしを掛ける | 2/3×1/2=1/3 |
| 少なくとも一方。独立のとき | 1 から「両方とも起こらない」を引く | 1−1/3×1/2=5/6 |
| 同時に2個取り出す | 組合せで数える | 白5赤3で両方白 10/28=5/14 |
| 条件つき | 分母を条件にあてはまる場合の数にする | 3/15=1/5 |
| 期待値 | 値と確率を掛けて全部足す | 800/10=80円 |
確率を求める手順1. 全部の場合の数を数える。順序を区別するかを先に決めて固定する2. 分子も同じ数え方であてはまる場合を数える3. 「少なくとも」なら 1 から余事象を引く4. 複数の試行は「かつ」で掛け、「または」で足す5. 玉を戻さないときは2回目の分母が1つ減ることを確認する6. 条件つきなら分母を条件つきの場合の数に置きかえる7. 期待値は「値と確率の積」をすべて足す。はずれの0円も分母に入れる
用語
- 確率
- あてはまる場合の数を、起こりうる全部の場合の数で割った値。分母と分子は同じ数え方でそろえる必要がある。
- 余事象
- そのことがらが起こらない場合。求める確率は 1 から余事象の確率を引いて出す。「少なくとも」の合図。
- 独立
- 一方の結果が他方の確率に影響しないこと。独立なら「A も B も」の確率は、それぞれの確率の積になる。
- 非復元抽出
- 取り出したものを戻さずに次を引くこと。2回目は分母が1つ減る。同時に複数を取り出す場合もこれと同じ扱いになる。
- 条件つき確率
- ある条件が成り立つとわかっているときの確率。分母を全体ではなく、その条件にあてはまる場合の数に置きかえて計算する。
- 期待値
- とりうる値と、その確率を掛けたものをすべて足した平均的な値。くじなら、はずれの0円も分母に含めて計算する。
例題
例題：1個のサイコロを2回投げるとき、少なくとも1回は6が出る確率はいくらか。
答えと考え方 余事象は2回とも6以外で 5/6×5/6=25/36。求める確率は 1−25/36=11/36。直接数えると 6が1回だけの10通りと2回の1通りで 11/36 となり一致する。
例題：赤玉2個と白玉3個の袋から同時に2個を取り出すとき、2個とも赤玉である確率はいくらか。
答えと考え方 取り出し方は5個から2個で10通り、2個とも赤は1通り。1/10。1個ずつ戻して引くとした (2/5)² の 4/25 は誤りで、同時に取り出す場合は2個目の分母が4に減る。
例題：1本100円のくじが20本あり、当たり1本が1000円、他ははずれで0円のとき、1本引いてもらえる金額の期待値はいくらか。
答えと考え方 1000×(1/20)+0×(19/20)=50円。はずれの19本も分母に入れるのがポイントで、当たりだけを見て1000円と答えるのは誤り。
出典・根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル教材です（SPI3に公開シラバスはありません）
確認問題（35問）
問2｜4人の並び
A、B、C、D の4人全員を1列に並べる方法は何通りか。
- 12通り
- 24通り
- 16通り
- 256通り
正解と解説
正解：B. 24通り
全員を並べるので 4!=4×3×2×1=24通り。12通りは 4×3 で計算を止めたミス。16通りは 4×4 としたミス。256通りは同じ人を何度も選べるとした 4×4×4×4 の値。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問3｜積の法則
シャツ3種類、ズボン4種類、帽子2種類から1つずつ選んで組み合わせる。組み合わせは何通りか。
- 9通り
- 12通り
- 24通り
- 6通り
正解と解説
正解：C. 24通り
順に決めていくので積の法則。3×4×2=24通り。9通りは 3+4+2 と足したミスで、続けて決めることがらは掛け算になる。12通りは帽子を数え忘れた 3×4、6通りはズボンを数え忘れた 3×2。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問4｜円順列
6人が円形のテーブルに座る。回転して同じ並びになるものは1通りと数えるとき、座り方は何通りか。
- 720通り
- 360通り
- 36通り
- 120通り
正解と解説
正解：D. 120通り
1人の席を固定して残り5人を並べるので (6−1)!=5!=120通り。720通りは 6! で、回転して同じ並びを別々に数えたミス。360通りは 6!/2 とさらに裏返しまで同一視した数え方。36通りは 6×6 としたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問5｜3桁の整数
0、1、2、3、4 と書かれたカードが1枚ずつある。この中から3枚を使って3桁の整数を作ると、何個できるか。
- 60個
- 48個
- 24個
- 100個
正解と解説
正解：B. 48個
百の位は0を除く4通り、十の位は残り4通り、一の位は残り3通り。4×4×3=48個。60個は先頭に0を許した 5×4×3 で、0の扱いを忘れたミス。24個は 4×3×2 と数えたミス。100個は同じ数字を何度も使えるとした 4×5×5。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問6｜重複順列
3種類の記号がある。同じ記号を何度使ってもよいとして4個を1列に並べると、並べ方は何通りか。
- 12通り
- 64通り
- 81通り
- 24通り
正解と解説
正解：C. 81通り
1個目から4個目まで、それぞれ3通りずつ自由に選べるので 3×3×3×3=81通り。64通りは 4×4×4 と種類の数と個数を逆にしたミス。12通りは 3×4 と掛けたミス。24通りは 4! の値で、3種類しかないのに4個をすべて別の記号にしようとした矛盾した数え方。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問7｜隣り合う並び
男子3人と女子2人が1列に並ぶ。女子2人が必ず隣り合う並び方は何通りか。
- 48通り
- 24通り
- 72通り
- 120通り
正解と解説
正解：A. 48通り
女子2人を1組とみて4つのものを並べると 4!=24通り。組の中で女子2人が入れかわるので 24×2!=48通り。24通りは最後の 2! を掛け忘れたミス。72通りは女子が隣り合わない場合の数で、余事象と取り違えたミス。120通りは 5! で条件を無視した全体。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問8｜男女交互
男子3人と女子3人が1列に並ぶとき、男女が交互になる並び方は何通りか。
- 36通り
- 72通り
- 144通り
- 720通り
正解と解説
正解：B. 72通り
先頭が男子か女子かで2通り。それぞれについて男子3人の並びが 3!=6通り、女子3人の並びが 3!=6通り。2×6×6=72通り。36通りは先頭の2通りを掛け忘れたミス。144通りは2を二重に掛けたミス。720通りは 6! で条件を無視した全体。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問9｜役職を選ぶ
4人の中から会長1人と副会長1人を選ぶ。選び方は何通りか。
- 6通り
- 4通り
- 16通り
- 12通り
正解と解説
正解：D. 12通り
会長と副会長は役割が違うので順番のある選び方。会長が4通り、副会長は残りの3通りで 4×3=12通り。6通りは役職の区別を無視して2人を選ぶ数で、順列と組合せの取り違え。16通りは同じ人が兼任できるとした 4×4。4通りは会長の選び方だけを数えて、副会長の分を掛け忘れたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問10｜円卓で隣同士
5人が円形のテーブルに座るとき、特定の2人が隣り合う座り方は何通りか。回転して同じものは1通りと数える。
- 12通り
- 24通り
- 6通り
- 48通り
正解と解説
正解：A. 12通り
2人を1組とみると4つのものの円順列で (4−1)!=6通り。組の中の2人の並びが2通りなので 6×2=12通り。24通りは条件のない5人の円順列 4!=24 で、条件を使い忘れたミス。6通りは最後に2を掛け忘れたミス。48通りは円順列にせず 2×4! と数えたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問11｜前後の条件
6人を1列に並べるとき、A が B より前に来る並び方は何通りか。
- 720通り
- 120通り
- 360通り
- 240通り
正解と解説
正解：C. 360通り
6人の並び方 6!=720通りは、A が前になる場合と B が前になる場合にちょうど半分ずつ分かれる。720/2=360通り。720通りは条件を使い忘れた全体。240通りは 720 を3で割ったミス。120通りは 5! を答えたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問12｜円卓で3人
7人が円形のテーブルに座る。特定の3人が続けて並ぶ座り方は何通りか。回転して同じものは1通りと数える。
- 4320通り
- 24通り
- 720通り
- 144通り
正解と解説
正解：D. 144通り
3人を1組にまとめると5つのものの円順列で (5−1)!=24通り。組の中の3人の並びが 3!=6通りなので 24×6=144通り。4320通りは7人の円順列 720 にそのまま 3! を掛けたミスで、まとめた時点で人数が5に減ることを見落としている。24通りは 3! を掛け忘れたミス。720通りは条件のない7人の円順列。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問13｜組合せ基本
8人の中から代表3人を選ぶ。選び方は何通りか。
- 336通り
- 56通り
- 24通り
- 112通り
正解と解説
正解：B. 56通り
代表3人に区別がないので組合せ。8×7×6/(3×2×1)=56通り。336通りは並べる順まで数えた 8×7×6 で、同じ3人組を 3!=6 通り分だけ重複して数えている。112通りは56を2倍したミス。24通りは 8×3 と掛けたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問14｜2人を選ぶ
10人の中から掃除当番2人を選ぶ。選び方は何通りか。
- 45通り
- 90通り
- 20通り
- 100通り
正解と解説
正解：A. 45通り
当番2人に区別がないので 10×9/2=45通り。90通りは順番をつけた 10×9 で、2で割り忘れたミス。20通りは 10×2、100通りは 10×10 としたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問15｜男女から選ぶ
男子5人と女子4人のグループから、男子2人と女子2人を選ぶ。選び方は何通りか。
- 16通り
- 240通り
- 60通り
- 126通り
正解と解説
正解：C. 60通り
男子の選び方は 5×4/2=10通り、女子は 4×3/2=6通り。両方を同時に決めるので掛けて 10×6=60通り。16通りは 10+6 と足したミス。240通りは順番まで数えた 20×12。126通りは男女の区別をせず9人から4人を選ぶとしたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問16｜同じ玉の列
赤玉3個と白玉2個を1列に並べる。同じ色の玉は区別しないとき、並べ方は何通りか。
- 120通り
- 20通り
- 60通り
- 10通り
正解と解説
正解：D. 10通り
5個すべてを区別すれば 5!=120通りだが、赤3個の入れかえ 3!=6通りと白2個の入れかえ 2!=2通りは同じ並びなので割る。120/(6×2)=10通り。120通りは割り忘れ、20通りは 3! だけで割ったミス、60通りは 2! だけで割ったミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問17｜文字の並び
A が3個、B が2個、C が1個、合わせて6個の文字を1列に並べる。並べ方は何通りか。
- 60通り
- 720通り
- 120通り
- 30通り
正解と解説
正解：A. 60通り
6!/(3!×2!×1!)=720/12=60通り。720通りは同じ文字の入れかえを別々に数えた割り忘れ。120通りは 3! だけで割ったミス。30通りは C も2個あるとして 2! で余分に割ったミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問18｜最短経路
碁盤の目の道を、東へ4区画、北へ3区画進んで目的地に着く。遠回りをしない道順は何通りか。
- 12通り
- 35通り
- 21通り
- 70通り
正解と解説
正解：B. 35通り
合計7回の移動のうち、どの3回を北にするかを決めれば道順が決まる。7×6×5/(3×2×1)=35通り。12通りは 4×3 と掛けたミス。21通りは北を2回と数え違えた値。70通りは移動を8回と数え違えた値。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問19｜3種類を選ぶ
5種類のトッピングから3種類を選ぶ。順序は考えないとき、選び方は何通りか。
- 60通り
- 15通り
- 10通り
- 20通り
正解と解説
正解：C. 10通り
5×4×3/(3×2×1)=10通り。残す2種類を選ぶと考えて 5×4/2=10 としても同じ。60通りは順序まで考えた 5×4×3 で、順列と組合せの取り違え。15通りは 5×3、20通りは 5×4 としたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問20｜3組に分ける
9人を3人ずつ3つの組に分ける。組に区別がないとき、分け方は何通りか。
- 1680通り
- 280通り
- 840通り
- 84通り
正解と解説
正解：B. 280通り
区別のある3組に分けるなら 84×20×1=1680通り。組に区別がないので、3組の並べ替え 3!=6 通り分を重複して数えている。1680/6=280通り。1680通りは 3! で割り忘れた定番ミス。840通りは2で割ったミス。84通りは9人から3人を選ぶ数だけを答えたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問21｜部屋に分ける
6人を A 室と B 室に3人ずつ入れる。部屋に区別があるとき、入れ方は何通りか。
- 10通り
- 40通り
- 720通り
- 20通り
正解と解説
正解：D. 20通り
A 室に入る3人を決めれば残りは B 室に決まるので 6×5×4/(3×2×1)=20通り。10通りは部屋に区別がない場合の数で、必要のない2での割り算をしたミス。40通りは20を2倍したミス。720通りは 6! を答えたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問22｜2組に分ける
8人を4人ずつ2つの組に分ける。組に区別がないとき、分け方は何通りか。
- 35通り
- 70通り
- 28通り
- 16通り
正解と解説
正解：A. 35通り
8人から4人を選ぶと70通りだが、選ばれた4人と残りの4人を入れかえた分け方を2回数えている。70/2=35通り。70通りは2で割り忘れた定番ミス。28通りは8人から2人を選ぶ数と取り違えたミス。16通りは 4×4 としたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問23｜2人ずつ3組
6人を2人ずつ3つの組に分ける。組に区別がないとき、分け方は何通りか。
- 90通り
- 45通り
- 15通り
- 30通り
正解と解説
正解：C. 15通り
区別のある3組なら 15×6×1=90通り。組に区別がないので3組の並べ替え 3!=6 で割り、90/6=15通り。90通りは割り忘れ。45通りは2で割ったミス。30通りは 3! ではなく3で割ったミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問24｜サイコロ1回
1個のサイコロを1回投げる。出た目が3以上になる確率はいくらか。
- 2/3
- 1/2
- 1/3
- 5/6
正解と解説
正解：A. 2/3
3以上の目は3、4、5、6の4通りで、全部で6通り。4/6=2/3。1/2 は4以上と読み違えた 3/6。1/3 は5以上とした 2/6。5/6 は2以上とした 5/6。「以上」はその数を含むことに注意。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問25｜硬貨3枚
硬貨を3枚同時に投げる。3枚とも表が出る確率はいくらか。
- 1/6
- 1/8
- 1/4
- 3/8
正解と解説
正解：B. 1/8
表裏の出方は 2×2×2=8通りで、3枚とも表は1通り。1/8。1/6 は場合の数を6通りと数え違えたミス。1/4 は硬貨2枚のときの値。3/8 はちょうど2枚が表になる確率。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問26｜玉を1個引く
袋に赤玉4個と白玉6個が入っている。よくかき混ぜて1個取り出すとき、赤玉である確率はいくらか。
- 3/5
- 1/5
- 2/5
- 1/2
正解と解説
正解：C. 2/5
全部で10個のうち赤は4個。4/10=2/5。3/5 は白玉を取り出す確率で、問われている色の取り違え。1/5 は 4/10 を 2/10 と書き誤ったミス。1/2 は赤か白かの2択と考えたミスで、個数が違うので半々にはならない。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問27｜2個の和
2個のサイコロを同時に投げる。出た目の和が7になる確率はいくらか。
- 5/36
- 1/12
- 1/7
- 1/6
正解と解説
正解：D. 1/6
目の出方は 6×6=36通り。和が7になるのは 1と6、2と5、3と4 とその逆で6通り。6/36=1/6。5/36 は和が6になる確率。1/12 は順序を考えず3通りとして 3/36 とした数え違い。1/7 は分子を組で、分母を21通りの組で数えたが、実際の組は21通りが同じ確からしさではないため誤り。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問28｜少なくとも1枚
硬貨を4枚同時に投げる。少なくとも1枚は表が出る確率はいくらか。
- 1/16
- 15/16
- 1/2
- 1/4
正解と解説
正解：B. 15/16
余事象は4枚とも裏で、その確率は 1/16。求める確率は 1−1/16=15/16。1/16 は余事象のまま答えて、1から引き忘れた定番ミス。1/4 はちょうど1枚が表になる確率 4/16。1/2 は1枚だけを見たときの値。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問29｜2個とも白
赤玉3個と白玉5個が入った袋から、同時に2個を取り出す。2個とも白玉である確率はいくらか。
- 25/64
- 3/28
- 5/14
- 25/28
正解と解説
正解：C. 5/14
取り出し方は8個から2個で28通り、2個とも白は5個から2個で10通り。10/28=5/14。25/64 は1個ずつ戻して引くとした 5/8 の2乗で、同時に取り出す場合は2個目の分母が7に減るため誤り。3/28 は2個とも赤の確率。25/28 は少なくとも1個が白の確率。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問30｜赤を含む
白玉5個と赤玉3個が入った袋がある。ここから同時に2個を取り出すとき、少なくとも1個が赤玉である確率はいくらか。
- 9/14
- 5/14
- 15/28
- 3/28
正解と解説
正解：A. 9/14
余事象は2個とも白で 10/28=5/14。1−5/14=9/14。5/14 は余事象のまま答えて1から引き忘れたミス。15/28 はちょうど1個が赤の確率で、2個とも赤の分を足し忘れている。3/28 は2個とも赤の確率。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問31｜独立な命中
A が的に当てる確率は 2/3、B が当てる確率は 1/2 で、2人の結果は互いに影響しない。少なくとも一方が的に当てる確率はいくらか。
- 1/3
- 1/6
- 1/2
- 5/6
正解と解説
正解：D. 5/6
余事象は2人とも外すことで 1/3×1/2=1/6。1−1/6=5/6。1/3 は2人とも当てる確率 2/3×1/2。1/6 は余事象のまま答えたミス。1/2 はちょうど一方だけが当てる確率。なお確率をそのまま足すと 2/3+1/2 が1を超えてしまうので、足し算では求められないとわかる。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問32｜くじの順番
10本のくじの中に当たりが2本ある。A、B の順に1本ずつ引き、引いたくじは戻さない。B が当たりを引く確率はいくらか。
- 1/5
- 2/9
- 1/10
- 1/45
正解と解説
正解：A. 1/5
A が当たる場合は 2/10×1/9、A が外れる場合は 8/10×2/9。足すと 2/90+16/90=18/90=1/5。引く順番によらず 2/10=1/5 で変わらない。2/9 は A が外れた場合だけを見たミス。1/45 は2人とも当たる確率。1/10 は当たりを1本と数え違えたミス。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問33｜条件つき
赤玉3個と白玉4個の袋から同時に2個を取り出したところ、少なくとも1個は赤玉だとわかった。2個とも赤玉である確率はいくらか。
- 1/7
- 1/5
- 3/7
- 5/7
正解と解説
正解：B. 1/5
取り出し方は7個から2個で21通り。2個とも白は6通りなので、少なくとも1個が赤なのは 21−6=15通り。そのうち2個とも赤は3通りで 3/15=1/5。1/7 は条件を使わず分母を21のままにした 3/21。5/7 は少なくとも1個が赤である確率そのもの。3/7 は1個目が赤である確率。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問34｜くじの期待値
10本のくじのうち、1等の500円が1本、2等の100円が3本、残り6本ははずれで0円である。1本引くときにもらえる金額の期待値はいくらか。
- 200円
- 50円
- 80円
- 800円
正解と解説
正解：C. 80円
500×1と100×3と0×6を足して800円、これを10本で割って80円。200円は当たり4本だけで平均した 800/4 で、はずれを分母に入れ忘れたミス。800円は賞金の合計そのもの。50円は1等だけを見た 500/10。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
問35｜3回中2回
命中率が 1/3 の射撃を3回行う。3回のうちちょうど2回命中する確率はいくらか。
- 1/27
- 2/27
- 4/9
- 2/9
正解と解説
正解：D. 2/9
どの2回が命中するかで3通り。それぞれ 1/3×1/3×2/3=2/27 なので 3×2/27=6/27=2/9。2/27 は場合の数の3を掛け忘れたミス。1/27 は3回とも命中する確率。4/9 はちょうど1回だけ命中する確率。
根拠：※ SPI3の出題形式（場合の数・確率）に沿った、当サイトのオリジナル問題です（SPI3に公開シラバスはありません）
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