Dénombrement et probabilités

On choisit puis on ordonne : ce sont des arrangements, soit 5 × 4 × 3 = 60. Le résultat 10 est le nombre de choix sans tenir compte de l'ordre : c'est confondre arrangements et combinaisons. Le résultat 125 correspond à des arrangements avec répétition, où l'on pourrait reposer plusieurs fois le même livre ; 15 vient d'avoir multiplié 5 × 3.

Comme on aligne tout le monde, on a 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 façons. Le résultat 12 vient d'avoir arrêté le calcul à 4 × 3, et 16 d'avoir posé 4 × 4. Le résultat 256 correspond à 4 × 4 × 4 × 4, où l'on pourrait choisir plusieurs fois la même personne.

Les choix se font l'un après l'autre : c'est le principe multiplicatif, soit 3 × 4 × 2 = 24. Le résultat 9 vient d'avoir additionné, 3 + 4 + 2, alors que des choix successifs se multiplient. Le résultat 12 oublie les chapeaux, 3 × 4, et 6 oublie les pantalons, 3 × 2.

On fixe la place d'une personne et l'on aligne les 5 autres, d'où (6 − 1)! = 5! = 120 façons. Le résultat 720 correspond à 6!, où l'on compterait séparément des dispositions identiques à une rotation près ; 360 correspond à 6!/2, où l'on identifierait en outre les dispositions symétriques ; 36 vient d'avoir posé 6 × 6.

Le chiffre des centaines admet 4 possibilités, puisque 0 est exclu ; celui des dizaines 4 parmi les cartes restantes, et celui des unités 3, soit 4 × 4 × 3 = 48. Le résultat 60 vient d'avoir autorisé 0 en tête, 5 × 4 × 3 ; 24 vient d'avoir compté 4 × 3 × 2 ; 100 correspond à 4 × 5 × 5, où l'on pourrait réutiliser un même chiffre.

Du premier au quatrième symbole, on choisit librement parmi 3 à chaque fois, d'où 3 × 3 × 3 × 3 = 81. Le résultat 64 correspond à 4 × 4 × 4, où l'on a interverti le nombre de sortes et le nombre de positions ; 12 vient d'avoir posé 3 × 4 ; 24 est la valeur de 4!, ce qui reviendrait à vouloir 4 symboles tous différents alors qu'il n'en existe que 3.

En traitant les 2 filles comme un bloc unique, on aligne 4 objets, soit 4! = 24 dispositions. Comme les 2 filles peuvent permuter à l'intérieur du bloc, on obtient 24 × 2! = 48. Le résultat 24 vient d'avoir oublié le facteur 2! final ; 72 est le nombre de dispositions où les filles ne sont pas côte à côte, c'est-à-dire l'événement complémentaire ; 120 correspond à 5!, sans tenir compte de la condition.

La rangée commence par un garçon ou par une fille, soit 2 possibilités. Pour chacune, les 3 garçons se rangent de 3! = 6 façons et les 3 filles de 3! = 6 façons, d'où 2 × 6 × 6 = 72. Le résultat 36 vient d'avoir oublié le facteur 2 initial ; 144 vient de l'avoir compté deux fois ; 720 correspond à 6!, sans tenir compte de la condition.

Les deux fonctions étant distinctes, l'ordre compte : 4 possibilités pour la présidence, puis 3 pour la vice-présidence, soit 4 × 3 = 12. Le résultat 6 est le nombre de façons de choisir 2 personnes sans distinguer les fonctions : c'est confondre arrangements et combinaisons. Le résultat 16 correspond à 4 × 4, comme si une même personne pouvait cumuler ; 4 ne compte que le choix du président, en oubliant de multiplier par celui du vice-président.

En traitant les 2 personnes comme un bloc, on a une permutation circulaire de 4 objets, soit (4 − 1)! = 6 façons. Les 2 personnes pouvant permuter dans le bloc, on obtient 6 × 2 = 12. Le résultat 24 est la permutation circulaire de 5 personnes sans condition, 4! = 24 ; 6 vient d'avoir oublié le facteur 2 final ; 48 vient d'avoir compté 2 × 4! sans passer par la permutation circulaire.

Les 6! = 720 dispositions se partagent exactement par moitié entre celles où A précède B et celles où B précède A, d'où 720/2 = 360. Le résultat 720 ignore la condition ; 240 vient d'avoir divisé 720 par 3 ; 120 correspond à 5!.

En groupant les 3 personnes en un bloc, on a une permutation circulaire de 5 objets, soit (5 − 1)! = 24 façons ; les 3 personnes se rangeant de 3! = 6 façons dans le bloc, on obtient 24 × 6 = 144. Le résultat 4 320 vient d'avoir multiplié par 3! la permutation circulaire de 7 personnes, 720, en oubliant que le regroupement ramène l'effectif à 5. Le résultat 24 oublie le facteur 3!, et 720 est la permutation circulaire de 7 personnes sans condition.

Les 3 représentants n'étant pas distingués, ce sont des combinaisons : 8 × 7 × 6/(3 × 2 × 1) = 56. Le résultat 336 compte aussi l'ordre, 8 × 7 × 6, et compte donc chaque trio 3! = 6 fois. Le résultat 112 double 56, et 24 vient d'avoir posé 8 × 3.

Les 2 personnes n'étant pas distinguées, on a 10 × 9/2 = 45 façons. Le résultat 90 compte l'ordre, 10 × 9, sans diviser par 2 ; 20 vient de 10 × 2 et 100 de 10 × 10.

Les garçons se choisissent de 5 × 4/2 = 10 façons et les filles de 4 × 3/2 = 6 façons. Les deux choix se faisant conjointement, on multiplie : 10 × 6 = 60. Le résultat 16 vient d'avoir additionné, 10 + 6 ; 240 compte aussi l'ordre, 20 × 12 ; 126 revient à choisir 4 personnes parmi 9 sans distinguer garçons et filles.

Si les 5 billes étaient toutes distinctes, on aurait 5! = 120 dispositions ; mais les 3! = 6 permutations des rouges et les 2! = 2 permutations des blanches donnent la même disposition, d'où la division : 120/(6 × 2) = 10. Le résultat 120 oublie de diviser, 20 ne divise que par 3! et 60 que par 2!.

On a 6!/(3! × 2! × 1!) = 720/12 = 60. Le résultat 720 compte séparément les permutations de lettres identiques, faute d'avoir divisé ; 120 ne divise que par 3! ; 30 divise une fois de trop par 2!, comme s'il y avait aussi 2 C.

Sur les 7 déplacements au total, il suffit de décider lesquels des 3 se font vers le nord pour fixer l'itinéraire : 7 × 6 × 5/(3 × 2 × 1) = 35. Le résultat 12 vient d'avoir multiplié 4 × 3 ; 21 revient à ne compter que 2 déplacements vers le nord ; 70 revient à compter 8 déplacements.

On a 5 × 4 × 3/(3 × 2 × 1) = 10. On obtient le même résultat en choisissant plutôt les 2 sortes écartées : 5 × 4/2 = 10. Le résultat 60 compte aussi l'ordre, 5 × 4 × 3 : c'est confondre arrangements et combinaisons. Le résultat 15 vient de 5 × 3 et 20 de 5 × 4.

Avec 3 groupes distingués, on aurait 84 × 20 × 1 = 1 680 répartitions. Les groupes n'étant pas distingués, chaque répartition est comptée autant de fois qu'il y a de permutations des 3 groupes, soit 3! = 6 : 1 680/6 = 280. Le résultat 1 680 est l'erreur classique de l'oubli de la division par 3! ; 840 divise par 2 ; 84 ne donne que le nombre de façons de choisir 3 personnes parmi 9.

Choisir les 3 personnes de la salle A détermine celles de la salle B, d'où 6 × 5 × 4/(3 × 2 × 1) = 20. Le résultat 10 correspond au cas où les salles ne seraient pas distinguées : c'est une division par 2 inutile ici. Le résultat 40 double 20, et 720 correspond à 6!.

Choisir 4 personnes parmi 8 donne 70 possibilités, mais on compte deux fois chaque répartition, une fois pour les 4 choisis et une fois pour les 4 restants : 70/2 = 35. Le résultat 70 est l'erreur classique de l'oubli de la division par 2 ; 28 est le nombre de façons de choisir 2 personnes parmi 8 ; 16 vient de 4 × 4.

Avec 3 groupes distingués, on aurait 15 × 6 × 1 = 90 répartitions. Les groupes n'étant pas distingués, on divise par les 3! = 6 permutations des groupes : 90/6 = 15. Le résultat 90 oublie la division ; 45 divise par 2 ; 30 divise par 3 au lieu de 3!.

Les résultats de 3 ou plus sont 3, 4, 5 et 6, soit 4 cas sur 6 : 4/6 = 2/3. La valeur 1/2 correspond à 4 ou plus, 3/6 ; 1/3 à 5 ou plus, 2/6 ; 5/6 à 2 ou plus. Il faut prendre garde que « 3 ou plus » comprend le 3 lui-même.

Les issues possibles sont au nombre de 2 × 2 × 2 = 8, et un seul cas donne 3 faces : la probabilité vaut 1/8. La valeur 1/6 vient d'avoir compté 6 cas ; 1/4 correspond à 2 pièces ; 3/8 est la probabilité d'obtenir exactement 2 faces.

Sur 10 billes en tout, 4 sont rouges : 4/10 = 2/5. La valeur 3/5 est la probabilité de tirer une blanche, c'est-à-dire une confusion de couleur. La valeur 1/5 vient d'avoir écrit 4/10 comme 2/10. La valeur 1/2 suppose un choix à deux issues équiprobables, alors que les effectifs diffèrent.

Il y a 6 × 6 = 36 issues possibles. La somme vaut 7 pour 1 et 6, 2 et 5, 3 et 4, ainsi que dans l'ordre inverse, soit 6 cas : 6/36 = 1/6. La valeur 5/36 est la probabilité que la somme vaille 6. La valeur 1/12 vient d'avoir compté 3 cas sans tenir compte de l'ordre, 3/36. La valeur 1/7 met au dénominateur les 21 paires non ordonnées, qui ne sont pas équiprobables : le raisonnement est donc faux.

L'événement contraire est que les 4 pièces tombent sur pile, de probabilité 1/16. La probabilité cherchée vaut donc 1 − 1/16 = 15/16. La valeur 1/16 est l'erreur classique où l'on donne l'événement contraire sans le retrancher de 1 ; 1/4 est la probabilité d'obtenir exactement une face, 4/16 ; 1/2 est la valeur obtenue en ne considérant qu'une pièce.

Il y a 28 façons de tirer 2 billes parmi 8, et 10 façons d'en tirer 2 parmi les 5 blanches : 10/28 = 5/14. La valeur 25/64 est le carré de 5/8, c'est-à-dire le cas de tirages avec remise ; ici, le dénominateur du second tirage tombe à 7. La valeur 3/28 est la probabilité de tirer 2 rouges, et 25/28 celle d'obtenir au moins une blanche.

L'événement contraire est que les 2 billes soient blanches, de probabilité 10/28 = 5/14, d'où 1 − 5/14 = 9/14. La valeur 5/14 donne l'événement contraire sans le retrancher de 1 ; 15/28 est la probabilité d'obtenir exactement une rouge, sans ajouter le cas de 2 rouges ; 3/28 est la probabilité d'obtenir 2 rouges.

L'événement contraire est que tous deux manquent, de probabilité 1/3 × 1/2 = 1/6, d'où 1 − 1/6 = 5/6. La valeur 1/3 est la probabilité que tous deux atteignent la cible, 2/3 × 1/2 ; 1/6 donne l'événement contraire sans le retrancher de 1 ; 1/2 est la probabilité qu'exactement l'un des deux atteigne la cible. On remarquera d'ailleurs qu'additionner les probabilités donnerait 2/3 + 1/2, qui dépasse 1 : l'addition ne convient donc pas.

Si A gagne, la probabilité vaut 2/10 × 1/9 ; s'il perd, elle vaut 8/10 × 2/9. En additionnant, 2/90 + 16/90 = 18/90 = 1/5. Le résultat ne dépend pas de l'ordre des tirages et reste égal à 2/10 = 1/5. La valeur 2/9 ne considère que le cas où A a perdu ; 1/45 est la probabilité que les deux gagnent ; 1/10 revient à ne compter qu'un seul billet gagnant.

Il y a 21 façons de tirer 2 billes parmi 7. Les tirages de 2 blanches sont au nombre de 6, donc les tirages comportant au moins une rouge sont 21 − 6 = 15. Parmi eux, 3 donnent 2 rouges : 3/15 = 1/5. La valeur 1/7 garde 21 au dénominateur sans utiliser la condition, 3/21 ; 5/7 est la probabilité qu'au moins une bille soit rouge ; 3/7 est la probabilité que la première soit rouge.

En additionnant 500 × 1, 100 × 3 et 0 × 6, on obtient 800 yens, que l'on divise par les 10 billets : 80 yens. Le résultat 200 vient de 800/4, où l'on n'a moyenné que sur les 4 billets gagnants, en oubliant les perdants au dénominateur ; 800 est le total des gains ; 50 ne considère que le premier prix, 500/10.

Il y a 3 façons de choisir lesquels des 2 tirs touchent, et chacune a pour probabilité 1/3 × 1/3 × 2/3 = 2/27, d'où 3 × 2/27 = 6/27 = 2/9. La valeur 2/27 oublie de multiplier par les 3 cas ; 1/27 est la probabilité de toucher les 3 fois ; 4/9 est celle de ne toucher qu'une seule fois.