การนับวิธีและความน่าจะเป็น

เพราะเลือกแล้วยังต้องนำมาเรียงด้วย จึงเป็นการเรียงสับเปลี่ยน คำนวณได้ 5×4×3=60 แบบ ส่วน 10 แบบ คือจำนวนวิธีเลือกโดยไม่สนใจลำดับการเรียง ซึ่งเป็นการสับสนระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่ ส่วน 125 แบบ คือค่าของการเรียงสับเปลี่ยนแบบซ้ำได้ ซึ่งถือว่าวางหนังสือเล่มเดิมซ้ำได้หลายครั้ง และ 15 แบบ เกิดจากการคูณเป็น 5×3

เพราะเรียงทุกคน จึงเป็นแฟกทอเรียลของ 4 คือ 4×3×2×1=24 แบบ ส่วน 12 แบบ เกิดจากการหยุดคำนวณไว้ที่ 4×3 ส่วน 16 แบบ เกิดจากการคำนวณ 4×4 และ 256 แบบ คือค่าของ 4×4×4×4 ซึ่งถือว่าเลือกคนเดิมซ้ำได้หลายครั้ง

เพราะตัดสินใจไปทีละขั้นตามลำดับ จึงใช้กฎการคูณ คำนวณได้ 3×4×2=24 แบบ ส่วน 9 แบบ เกิดจากการบวกเป็น 3+4+2 ทั้งที่เรื่องที่ตัดสินใจต่อเนื่องกันต้องใช้การคูณ ส่วน 12 แบบ คือ 3×4 ซึ่งลืมนับหมวก และ 6 แบบ คือ 3×2 ซึ่งลืมนับกางเกง

ให้ตรึงที่นั่งของคนหนึ่งไว้แล้วเรียงอีก 5 คนที่เหลือ จึงเป็นแฟกทอเรียลของ (6−1) คือ 5!=120 แบบ ส่วน 720 แบบ คือ 6! ซึ่งเป็นการนับการเรียงที่หมุนแล้วเหมือนกันแยกออกจากกัน ส่วน 360 แบบ คือวิธีนับแบบ 6!/2 ซึ่งถือว่าการพลิกกลับด้านก็เหมือนกันด้วย และ 36 แบบ เกิดจากการคำนวณ 6×6

หลักร้อยเลือกได้ 4 แบบเพราะต้องตัด 0 ออก หลักสิบเลือกได้ 4 แบบจากที่เหลือ และหลักหน่วยเลือกได้ 3 แบบ จึงได้ 4×4×3=48 จำนวน ส่วน 60 จำนวน คือ 5×4×3 ซึ่งยอมให้ 0 อยู่หน้าสุด จึงเป็นการลืมเงื่อนไขของเลข 0 ส่วน 24 จำนวน เกิดจากการนับเป็น 4×3×2 และ 100 จำนวน คือ 4×5×5 ซึ่งถือว่าใช้ตัวเลขเดิมซ้ำได้

ตั้งแต่ตัวที่หนึ่งถึงตัวที่สี่ แต่ละตัวเลือกได้อย่างอิสระตัวละ 3 แบบ จึงได้ 3×3×3×3=81 แบบ ส่วน 64 แบบ คือ 4×4×4 ซึ่งเกิดจากการสลับจำนวนชนิดกับจำนวนตัว ส่วน 12 แบบ เกิดจากการคูณเป็น 3×4 และ 24 แบบ คือค่าของ 4! ซึ่งเป็นการนับที่ขัดแย้งในตัวเอง เพราะพยายามให้ทั้ง 4 ตัวเป็นสัญลักษณ์คนละตัวกันทั้งที่มีอยู่เพียง 3 ชนิด

มองหญิง 2 คนเป็นชุดเดียว แล้วเรียงสิ่งของ 4 ชิ้นจะได้ 4!=24 แบบ และเพราะภายในชุดหญิง 2 คนสลับที่กันได้ จึงเป็น 24×2!=48 แบบ ส่วน 24 แบบ เกิดจากการลืมคูณด้วย 2! ในขั้นสุดท้าย ส่วน 72 แบบ คือจำนวนกรณีที่หญิงไม่อยู่ติดกัน ซึ่งเป็นการสับสนกับเหตุการณ์ตรงข้าม และ 120 แบบ คือ 5! ซึ่งเป็นจำนวนทั้งหมดโดยไม่สนใจเงื่อนไข

หัวแถวจะเป็นชายหรือหญิงก็ได้ จึงมี 2 แบบ และในแต่ละแบบ การเรียงของชาย 3 คนมี 3!=6 แบบ และการเรียงของหญิง 3 คนมี 3!=6 แบบ จึงได้ 2×6×6=72 แบบ ส่วน 36 แบบ เกิดจากการลืมคูณด้วย 2 ของหัวแถว ส่วน 144 แบบ เกิดจากการคูณด้วย 2 ซ้ำสองครั้ง และ 720 แบบ คือ 6! ซึ่งเป็นจำนวนทั้งหมดโดยไม่สนใจเงื่อนไข

เพราะประธานกับรองประธานมีบทบาทต่างกัน จึงเป็นการเลือกที่มีลำดับ ประธานเลือกได้ 4 แบบ และรองประธานเลือกได้ 3 แบบจากที่เหลือ จึงได้ 4×3=12 แบบ ส่วน 6 แบบ คือจำนวนวิธีเลือกคน 2 คนโดยไม่แยกตำแหน่ง ซึ่งเป็นการสับสนระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่ ส่วน 16 แบบ คือ 4×4 ซึ่งยอมให้คนเดียวควบสองตำแหน่ง และ 4 แบบ เกิดจากการนับเพียงวิธีเลือกประธานแล้วลืมคูณส่วนของรองประธาน

เมื่อมองสองคนนั้นเป็นชุดเดียว จะกลายเป็นการเรียงเป็นวงกลมของสิ่งของ 4 ชิ้น จึงได้แฟกทอเรียลของ (4−1) คือ 6 แบบ และเพราะภายในชุดสองคนสลับที่กันได้ 2 แบบ จึงเป็น 6×2=12 แบบ ส่วน 24 แบบ คือการเรียงเป็นวงกลมของ 5 คนโดยไม่มีเงื่อนไข ซึ่งคือ 4!=24 จึงเป็นการลืมใช้เงื่อนไข ส่วน 6 แบบ เกิดจากการลืมคูณด้วย 2 ในขั้นสุดท้าย และ 48 แบบ เกิดจากการนับเป็น 2×4! โดยไม่ทำให้เป็นการเรียงเป็นวงกลม

วิธีเรียงคน 6 คนคือ 6!=720 แบบ ซึ่งแบ่งครึ่งพอดีระหว่างกรณีที่ A อยู่หน้า กับกรณีที่ B อยู่หน้า จึงได้ 720/2=360 แบบ ส่วน 720 แบบ คือจำนวนทั้งหมดที่ลืมใช้เงื่อนไข ส่วน 240 แบบ เกิดจากการเอา 720 ไปหารด้วย 3 และ 120 แบบ เกิดจากการตอบค่าของ 5!

เมื่อรวบสามคนนั้นเป็นชุดเดียว จะกลายเป็นการเรียงเป็นวงกลมของสิ่งของ 5 ชิ้น จึงได้แฟกทอเรียลของ (5−1) คือ 24 แบบ และเพราะภายในชุดสามคนเรียงกันได้ 3!=6 แบบ จึงเป็น 24×6=144 แบบ ส่วน 4320 แบบ เกิดจากการเอา 3! ไปคูณกับการเรียงเป็นวงกลมของ 7 คนคือ 720 ตรง ๆ ซึ่งมองข้ามไปว่าเมื่อรวบเป็นชุดแล้วจำนวนสิ่งของลดเหลือ 5 ส่วน 24 แบบ เกิดจากการลืมคูณด้วย 3! และ 720 แบบ คือการเรียงเป็นวงกลมของ 7 คนโดยไม่มีเงื่อนไข

เพราะตัวแทนทั้ง 3 คนไม่มีความแตกต่างกัน จึงเป็นการจัดหมู่ คำนวณได้ 8×7×6 หารด้วย (3×2×1) เท่ากับ 56 แบบ ส่วน 336 แบบ คือ 8×7×6 ซึ่งนับลำดับการเรียงเข้าไปด้วย จึงนับชุดคนสามคนชุดเดียวกันซ้ำถึง 3!=6 ครั้ง ส่วน 112 แบบ เกิดจากการเอา 56 ไปคูณสอง และ 24 แบบ เกิดจากการคูณเป็น 8×3

เพราะเวรทั้ง 2 คนไม่มีความแตกต่างกัน จึงได้ 10×9 หารด้วย 2 เท่ากับ 45 แบบ ส่วน 90 แบบ คือ 10×9 ซึ่งใส่ลำดับเข้าไปด้วยแล้วลืมหารด้วย 2 ส่วน 20 แบบ เกิดจากการคำนวณ 10×2 และ 100 แบบ เกิดจากการคำนวณ 10×10

วิธีเลือกฝ่ายชายคือ 5×4 หารด้วย 2 เท่ากับ 10 แบบ และฝ่ายหญิงคือ 4×3 หารด้วย 2 เท่ากับ 6 แบบ เพราะต้องตัดสินทั้งสองฝ่ายไปพร้อมกัน จึงคูณกันได้ 10×6=60 แบบ ส่วน 16 แบบ เกิดจากการบวกเป็น 10+6 ส่วน 240 แบบ คือ 20×12 ซึ่งนับลำดับเข้าไปด้วย และ 126 แบบ เกิดจากการเลือก 4 คนจาก 9 คนโดยไม่แยกชายหญิง

ถ้าแยกลูกบอลทั้ง 5 ลูกออกจากกันหมดจะได้ 5!=120 แบบ แต่การสลับที่ของสีแดง 3 ลูกซึ่งมี 3!=6 แบบ และการสลับที่ของสีขาว 2 ลูกซึ่งมี 2!=2 แบบ ล้วนให้แถวเดียวกัน จึงต้องหารออก ได้ 120 หารด้วย (6×2) เท่ากับ 10 แบบ ส่วน 120 แบบ คือการลืมหาร ส่วน 20 แบบ เกิดจากการหารด้วย 3! อย่างเดียว และ 60 แบบ เกิดจากการหารด้วย 2! อย่างเดียว

คำนวณได้ 6! หารด้วย (3!×2!×1!) เท่ากับ 720/12=60 แบบ ส่วน 720 แบบ เกิดจากการลืมหาร จึงนับการสลับที่ของตัวอักษรเดียวกันแยกออกจากกัน ส่วน 120 แบบ เกิดจากการหารด้วย 3! อย่างเดียว และ 30 แบบ เกิดจากการหารเกินด้วย 2! โดยเข้าใจผิดว่ามี C อยู่ 2 ตัวด้วย

จากการเคลื่อนที่รวม 7 ครั้ง เพียงกำหนดว่าจะให้ครั้งใดใน 3 ครั้งเป็นการไปทางเหนือ เส้นทางก็ถูกกำหนดแล้ว คำนวณได้ 7×6×5 หารด้วย (3×2×1) เท่ากับ 35 แบบ ส่วน 12 แบบ เกิดจากการคูณเป็น 4×3 ส่วน 21 แบบ คือค่าที่ได้จากการนับผิดว่าไปทางเหนือ 2 ครั้ง และ 70 แบบ คือค่าที่ได้จากการนับผิดว่าเคลื่อนที่ 8 ครั้ง

คำนวณได้ 5×4×3 หารด้วย (3×2×1) เท่ากับ 10 แบบ หรือจะคิดกลับกันว่าเลือก 2 ชนิดที่เหลือไว้ แล้วคำนวณ 5×4 หารด้วย 2 เท่ากับ 10 ก็ได้ผลเดียวกัน ส่วน 60 แบบ คือ 5×4×3 ซึ่งคิดลำดับเข้าไปด้วย จึงเป็นการสับสนระหว่างการเรียงสับเปลี่ยนกับการจัดหมู่ ส่วน 15 แบบ เกิดจากการคำนวณ 5×3 และ 20 แบบ เกิดจากการคำนวณ 5×4

ถ้าแบ่งเป็น 3 กลุ่มที่แตกต่างกันจะได้ 84×20×1=1680 แบบ แต่เพราะกลุ่มไม่มีความแตกต่างกัน จึงเป็นการนับซ้ำเท่ากับจำนวนการสลับที่ของ 3 กลุ่มคือ 3!=6 แบบ ดังนั้นจึงได้ 1680/6=280 แบบ ส่วน 1680 แบบ คือความผิดพลาดยอดฮิตที่ลืมหารด้วย 3! ส่วน 840 แบบ เกิดจากการหารด้วย 2 และ 84 แบบ เกิดจากการตอบเพียงจำนวนวิธีเลือกคน 3 คนจาก 9 คน

เพียงกำหนดว่าใคร 3 คนเข้าห้อง A ที่เหลือก็ถูกกำหนดให้เข้าห้อง B โดยอัตโนมัติ จึงได้ 6×5×4 หารด้วย (3×2×1) เท่ากับ 20 แบบ ส่วน 10 แบบ คือจำนวนกรณีที่ห้องไม่มีความแตกต่างกัน ซึ่งเกิดจากการหารด้วย 2 ทั้งที่ไม่จำเป็น ส่วน 40 แบบ เกิดจากการเอา 20 ไปคูณสอง และ 720 แบบ เกิดจากการตอบค่าของ 6!

การเลือกคน 4 คนจาก 8 คนได้ 70 แบบ แต่การแบ่งที่สลับระหว่าง 4 คนที่ถูกเลือกกับ 4 คนที่เหลือถูกนับซ้ำสองครั้ง จึงได้ 70/2=35 แบบ ส่วน 70 แบบ คือความผิดพลาดยอดฮิตที่ลืมหารด้วย 2 ส่วน 28 แบบ เกิดจากการสับสนกับจำนวนวิธีเลือกคน 2 คนจาก 8 คน และ 16 แบบ เกิดจากการคำนวณ 4×4

ถ้าเป็น 3 กลุ่มที่แตกต่างกันจะได้ 15×6×1=90 แบบ แต่เพราะกลุ่มไม่มีความแตกต่างกัน จึงต้องหารด้วยจำนวนการสลับที่ของ 3 กลุ่มคือ 3!=6 ได้ 90/6=15 แบบ ส่วน 90 แบบ คือการลืมหาร ส่วน 45 แบบ เกิดจากการหารด้วย 2 และ 30 แบบ เกิดจากการหารด้วย 3 แทนที่จะเป็น 3!

แต้มตั้งแต่ 3 ขึ้นไปมี 4 แบบคือ 3, 4, 5 และ 6 จากทั้งหมด 6 แบบ จึงได้ 4/6=2/3 ส่วน 1/2 คือ 3/6 ซึ่งเกิดจากการอ่านผิดเป็นตั้งแต่ 4 ขึ้นไป ส่วน 1/3 คือ 2/6 ซึ่งคิดเป็นตั้งแต่ 5 ขึ้นไป และ 5/6 คือกรณีที่คิดเป็นตั้งแต่ 2 ขึ้นไป พึงระวังว่าคำว่าตั้งแต่ขึ้นไปนั้นนับตัวเลขนั้นรวมเข้ามาด้วย

รูปแบบของหัวและก้อยมี 2×2×2=8 แบบ และกรณีที่ออกหัวทั้ง 3 เหรียญมีเพียง 1 แบบ จึงได้ 1/8 ส่วน 1/6 เกิดจากการนับจำนวนกรณีผิดเป็น 6 แบบ ส่วน 1/4 คือค่าของกรณีที่มีเหรียญ 2 เหรียญ และ 3/8 คือความน่าจะเป็นที่ออกหัวพอดี 2 เหรียญ

จากทั้งหมด 10 ลูก เป็นสีแดง 4 ลูก จึงได้ 4/10=2/5 ส่วน 3/5 คือความน่าจะเป็นที่หยิบได้ลูกสีขาว ซึ่งเป็นการสับสนสีที่โจทย์ถาม ส่วน 1/5 เกิดจากการเขียน 4/10 ผิดเป็น 2/10 และ 1/2 เกิดจากการคิดว่ามีสองทางเลือกคือแดงหรือขาว ซึ่งผิดเพราะจำนวนลูกไม่เท่ากัน โอกาสจึงไม่ใช่ครึ่งต่อครึ่ง

รูปแบบของแต้มมี 6×6=36 แบบ และกรณีที่ผลรวมเป็น 7 คือ 1 กับ 6, 2 กับ 5, 3 กับ 4 พร้อมทั้งคู่กลับด้าน รวมเป็น 6 แบบ จึงได้ 6/36=1/6 ส่วน 5/36 คือความน่าจะเป็นที่ผลรวมเป็น 6 ส่วน 1/12 คือการนับผิดเป็น 3/36 โดยไม่คิดลำดับ และ 1/7 เกิดจากการนับตัวเศษเป็นคู่และตัวส่วนเป็น 21 คู่ ซึ่งผิดเพราะ 21 คู่นั้นไม่ได้มีโอกาสเกิดเท่ากัน

เหตุการณ์ตรงข้ามคือออกก้อยทั้ง 4 เหรียญ ซึ่งมีความน่าจะเป็น 1/16 ความน่าจะเป็นที่ต้องการจึงเป็น 1−1/16=15/16 ส่วน 1/16 คือความผิดพลาดยอดฮิตที่ตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลยโดยลืมเอา 1 ตั้งลบ ส่วน 1/4 คือ 4/16 ซึ่งเป็นความน่าจะเป็นที่ออกหัวพอดี 1 เหรียญ และ 1/2 คือค่าที่ได้เมื่อมองเพียงเหรียญเดียว

วิธีหยิบคือเลือก 2 ลูกจาก 8 ลูกได้ 28 แบบ และกรณีที่ได้สีขาวทั้ง 2 ลูกคือเลือก 2 ลูกจาก 5 ลูกได้ 10 แบบ จึงได้ 10/28=5/14 ส่วน 25/64 คือกำลังสองของ 5/8 ซึ่งถือว่าหยิบทีละลูกแล้วใส่คืน จึงผิด เพราะเมื่อหยิบพร้อมกัน ตัวส่วนของลูกที่สองจะลดเหลือ 7 ส่วน 3/28 คือความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงทั้ง 2 ลูก และ 25/28 คือความน่าจะเป็นที่ได้สีขาวอย่างน้อย 1 ลูก

เหตุการณ์ตรงข้ามคือได้สีขาวทั้ง 2 ลูก ซึ่งเป็น 10/28=5/14 จึงได้ 1−5/14=9/14 ส่วน 5/14 คือการตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลยโดยลืมเอา 1 ตั้งลบ ส่วน 15/28 คือความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงพอดี 1 ลูก ซึ่งลืมบวกส่วนที่ได้สีแดงทั้ง 2 ลูกเข้าไป และ 3/28 คือความน่าจะเป็นที่ได้สีแดงทั้ง 2 ลูก

เหตุการณ์ตรงข้ามคือทั้งสองคนยิงพลาด ซึ่งเป็น 1/3×1/2=1/6 จึงได้ 1−1/6=5/6 ส่วน 1/3 คือความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนยิงเข้า ซึ่งได้จาก 2/3×1/2 ส่วน 1/6 คือการตอบเหตุการณ์ตรงข้ามไปเลย และ 1/2 คือความน่าจะเป็นที่มีเพียงฝ่ายเดียวยิงเข้าพอดี อนึ่ง หากเอาความน่าจะเป็นมาบวกกันตรง ๆ ผลของ 2/3+1/2 จะเกิน 1 จึงรู้ได้ว่าหาด้วยการบวกไม่ได้

กรณีที่ A จับถูกคือ 2/10×1/9 และกรณีที่ A จับไม่ถูกคือ 8/10×2/9 เมื่อบวกกันจะได้ 2/90+16/90=18/90=1/5 ค่านี้เท่ากับ 2/10=1/5 ซึ่งไม่เปลี่ยนไปตามลำดับการจับ ส่วน 2/9 เกิดจากการมองเฉพาะกรณีที่ A จับไม่ถูก ส่วน 1/45 คือความน่าจะเป็นที่ทั้งสองคนจับถูก และ 1/10 เกิดจากการนับใบที่ถูกรางวัลผิดเป็น 1 ใบ

วิธีหยิบคือเลือก 2 ลูกจาก 7 ลูกได้ 21 แบบ กรณีที่เป็นสีขาวทั้ง 2 ลูกมี 6 แบบ ดังนั้นกรณีที่มีสีแดงอย่างน้อย 1 ลูกจึงเป็น 21−6=15 แบบ ในจำนวนนั้นกรณีที่เป็นสีแดงทั้ง 2 ลูกมี 3 แบบ จึงได้ 3/15=1/5 ส่วน 1/7 คือ 3/21 ซึ่งคงตัวส่วนไว้ที่ 21 โดยไม่ใช้เงื่อนไข ส่วน 5/7 คือตัวความน่าจะเป็นที่มีสีแดงอย่างน้อย 1 ลูกเอง และ 3/7 คือความน่าจะเป็นที่ลูกแรกเป็นสีแดง

เมื่อบวก 500×1 กับ 100×3 และ 0×6 จะได้ 800 เยน แล้วหารด้วยจำนวนสลาก 10 ใบ จึงได้ 80 เยน ส่วน 200 เยน คือ 800/4 ซึ่งเฉลี่ยเฉพาะสลากที่ถูกรางวัล 4 ใบ จึงลืมนำใบที่ไม่ถูกรางวัลมาเป็นตัวส่วน ส่วน 800 เยน คือตัวผลรวมของเงินรางวัลเอง และ 50 เยน คือ 500/10 ซึ่งมองเฉพาะรางวัลที่หนึ่ง

การเลือกว่าครั้งใดใน 2 ครั้งที่เข้าเป้ามี 3 แบบ และแต่ละแบบมีค่า 1/3×1/3×2/3=2/27 จึงได้ 3×2/27=6/27=2/9 ส่วน 2/27 เกิดจากการลืมคูณด้วยจำนวนกรณีคือ 3 ส่วน 1/27 คือความน่าจะเป็นที่เข้าเป้าทั้ง 3 ครั้ง และ 4/9 คือความน่าจะเป็นที่เข้าเป้าเพียง 1 ครั้งพอดี