Pencacahan dan peluang

Karena dipilih lalu dijajarkan, ini permutasi, yaitu 5 dikali 4 dikali 3 sama dengan 60 cara. Jawaban 10 cara adalah banyaknya cara memilih tanpa memedulikan urutan penjajarannya, yaitu tertukarnya permutasi dengan kombinasi. Jawaban 125 cara adalah nilai permutasi berulang seandainya buku yang sama boleh ditaruh berkali-kali. Jawaban 15 cara muncul dari mengalikan 5 dengan 3.

Karena semuanya dijajarkan, hasilnya 4 faktorial, yaitu 4 dikali 3 dikali 2 dikali 1 sama dengan 24 cara. Jawaban 12 cara muncul dari berhenti pada 4 dikali 3. Jawaban 16 cara muncul dari menghitung 4 dikali 4. Jawaban 256 cara adalah nilai 4 dikali 4 dikali 4 dikali 4 seandainya orang yang sama boleh dipilih berkali-kali.

Karena pilihannya ditetapkan berturut-turut, berlaku kaidah perkalian, yaitu 3 dikali 4 dikali 2 sama dengan 24 paduan. Jawaban 9 paduan muncul dari menjumlahkan 3 ditambah 4 ditambah 2, padahal hal yang ditetapkan berturut-turut dihitung dengan perkalian. Jawaban 12 paduan muncul dari lupa menghitung topinya, yaitu 3 dikali 4, dan jawaban 6 paduan dari lupa menghitung celananya, yaitu 3 dikali 2.

Tempat satu orang dipatok lalu 5 orang sisanya dijajarkan, sehingga hasilnya 6 dikurangi 1 faktorial, yaitu 5 faktorial sama dengan 120 cara. Jawaban 720 cara adalah 6 faktorial, yaitu menghitung susunan yang sama setelah diputar sebagai susunan yang berbeda. Jawaban 360 cara adalah 6 faktorial dibagi 2, yaitu cara menghitung yang bahkan menyamakan susunan hasil pembalikan. Jawaban 36 cara muncul dari menghitung 6 dikali 6.

Angka ratusan punya 4 pilihan karena 0 dikecualikan, angka puluhan punya 4 pilihan dari sisanya, dan angka satuan punya 3 pilihan, sehingga 4 dikali 4 dikali 3 sama dengan 48 bilangan. Jawaban 60 bilangan adalah 5 dikali 4 dikali 3, yaitu membolehkan 0 di depan dan melupakan perlakuan khusus terhadap 0. Jawaban 24 bilangan muncul dari menghitung 4 dikali 3 dikali 2. Jawaban 100 bilangan adalah 4 dikali 5 dikali 5 seandainya angka yang sama boleh dipakai berkali-kali.

Untuk lambang pertama sampai keempat masing-masing bebas dipilih dari 3 kemungkinan, sehingga 3 dikali 3 dikali 3 dikali 3 sama dengan 81 cara. Jawaban 64 cara adalah 4 dikali 4 dikali 4, yaitu tertukarnya banyaknya jenis dengan banyaknya lambang. Jawaban 12 cara muncul dari mengalikan 3 dengan 4. Jawaban 24 cara adalah nilai 4 faktorial, yaitu cara menghitung yang bertentangan sendiri karena mencoba membuat keempat lambang berbeda padahal jenisnya hanya 3.

Kalau kedua anak perempuan dipandang sebagai satu kelompok, maka 4 benda dijajarkan sehingga menghasilkan 4 faktorial sama dengan 24 susunan. Karena di dalam kelompok itu kedua anak perempuan bisa bertukar tempat, hasilnya 24 dikali 2 faktorial sama dengan 48 susunan. Jawaban 24 susunan muncul dari lupa mengalikan 2 faktorial yang terakhir. Jawaban 72 susunan adalah banyaknya susunan ketika kedua anak perempuan tidak berdampingan, yaitu tertukar dengan peristiwa komplemennya. Jawaban 120 susunan adalah 5 faktorial, yaitu keseluruhan tanpa memedulikan syaratnya.

Ada 2 kemungkinan menurut apakah yang di depan laki-laki atau perempuan. Untuk masing-masing kemungkinan itu, susunan tiga anak laki-laki ada 3 faktorial sama dengan 6 cara dan susunan tiga anak perempuan ada 3 faktorial sama dengan 6 cara, sehingga 2 dikali 6 dikali 6 sama dengan 72 susunan. Jawaban 36 susunan muncul dari lupa mengalikan 2 kemungkinan yang di depan itu. Jawaban 144 susunan muncul dari mengalikan 2 sebanyak dua kali. Jawaban 720 susunan adalah 6 faktorial, yaitu keseluruhan tanpa memedulikan syaratnya.

Karena peran ketua dan wakil ketua berbeda, ini pemilihan yang berurutan. Ketua punya 4 pilihan dan wakil ketua punya 3 pilihan dari sisanya, sehingga 4 dikali 3 sama dengan 12 cara. Jawaban 6 cara adalah banyaknya cara memilih 2 orang tanpa membedakan jabatannya, yaitu tertukarnya permutasi dengan kombinasi. Jawaban 16 cara adalah 4 dikali 4 seandainya satu orang boleh merangkap. Jawaban 4 cara muncul dari hanya menghitung pemilihan ketua dan lupa mengalikan bagian wakil ketuanya.

Kalau kedua orang itu dipandang sebagai satu kelompok, maka yang tersisa adalah permutasi melingkar 4 benda, yaitu 4 dikurangi 1 faktorial sama dengan 6 cara. Karena susunan kedua orang di dalam kelompok ada 2 cara, hasilnya 6 dikali 2 sama dengan 12 cara. Jawaban 24 cara adalah permutasi melingkar 5 orang tanpa syarat, yaitu 4 faktorial sama dengan 24, sehingga syaratnya terlupa dipakai. Jawaban 6 cara muncul dari lupa mengalikan 2 di akhir. Jawaban 48 cara muncul dari menghitung 2 dikali 4 faktorial tanpa menjadikannya permutasi melingkar.

Seluruh susunan 6 orang, yaitu 6 faktorial sama dengan 720 susunan, terbelah tepat menjadi dua bagian yang sama besar antara keadaan A di depan dan keadaan B di depan. Maka 720 dibagi 2 sama dengan 360 susunan. Jawaban 720 susunan adalah keseluruhan tanpa memakai syaratnya. Jawaban 240 susunan muncul dari membagi 720 dengan 3. Jawaban 120 susunan menjawab nilai 5 faktorial.

Kalau ketiga orang itu disatukan menjadi satu kelompok, yang tersisa adalah permutasi melingkar 5 benda, yaitu 5 dikurangi 1 faktorial sama dengan 24 cara. Karena susunan ketiga orang di dalam kelompok ada 3 faktorial sama dengan 6 cara, hasilnya 24 dikali 6 sama dengan 144 cara. Jawaban 4.320 cara muncul dari langsung mengalikan permutasi melingkar 7 orang, yaitu 720, dengan 3 faktorial, sehingga terlewat bahwa setelah disatukan jumlah bendanya berkurang menjadi 5. Jawaban 24 cara muncul dari lupa mengalikan 3 faktorial. Jawaban 720 cara adalah permutasi melingkar 7 orang tanpa syarat.

Karena ketiga wakil itu tidak dibeda-bedakan, ini kombinasi, yaitu 8 dikali 7 dikali 6 dibagi 3 dikali 2 dikali 1 sama dengan 56 cara. Jawaban 336 cara adalah 8 dikali 7 dikali 6 yang juga menghitung urutannya, sehingga kelompok bertiga yang sama terhitung berulang sebanyak 3 faktorial sama dengan 6 kali. Jawaban 112 cara muncul dari melipatgandakan 56 dengan 2. Jawaban 24 cara muncul dari mengalikan 8 dengan 3.

Karena kedua petugas itu tidak dibeda-bedakan, hasilnya 10 dikali 9 dibagi 2 sama dengan 45 cara. Jawaban 90 cara adalah 10 dikali 9 yang memberi urutan, yaitu lupa membaginya dengan 2. Jawaban 20 cara muncul dari menghitung 10 dikali 2 dan jawaban 100 cara dari menghitung 10 dikali 10.

Cara memilih anak laki-laki adalah 5 dikali 4 dibagi 2 sama dengan 10 cara dan cara memilih anak perempuan adalah 4 dikali 3 dibagi 2 sama dengan 6 cara. Karena keduanya ditetapkan sekaligus, hasilnya dikalikan, yaitu 10 dikali 6 sama dengan 60 cara. Jawaban 16 cara muncul dari menjumlahkan 10 dan 6. Jawaban 240 cara adalah 20 dikali 12 yang juga menghitung urutannya. Jawaban 126 cara muncul dari memilih 4 orang dari 9 orang tanpa membedakan laki-laki dan perempuan.

Kalau kelima bola dibeda-bedakan hasilnya 5 faktorial sama dengan 120 cara, tetapi pertukaran di antara 3 bola merah sebanyak 3 faktorial sama dengan 6 cara dan pertukaran di antara 2 bola putih sebanyak 2 faktorial sama dengan 2 cara menghasilkan barisan yang sama, jadi harus dibagi. Maka 120 dibagi 6 dikali 2 sama dengan 10 cara. Jawaban 120 cara muncul dari lupa membagi, jawaban 20 cara dari hanya membagi dengan 3 faktorial, dan jawaban 60 cara dari hanya membagi dengan 2 faktorial.

Hasilnya 6 faktorial dibagi hasil kali 3 faktorial, 2 faktorial, dan 1 faktorial, yaitu 720 dibagi 12 sama dengan 60 cara. Jawaban 720 cara muncul dari lupa membagi sehingga pertukaran huruf yang sama terhitung terpisah. Jawaban 120 cara muncul dari hanya membagi dengan 3 faktorial. Jawaban 30 cara muncul dari membagi berlebihan dengan 2 faktorial seolah huruf C juga ada 2.

Dari 7 kali perpindahan seluruhnya, rutenya sudah tertentu begitu ditetapkan 3 perpindahan yang mana yang mengarah ke utara. Maka 7 dikali 6 dikali 5 dibagi 3 dikali 2 dikali 1 sama dengan 35 rute. Jawaban 12 rute muncul dari mengalikan 4 dengan 3. Jawaban 21 rute adalah nilai kalau perpindahan ke utara salah dihitung 2 kali. Jawaban 70 rute adalah nilai kalau perpindahannya salah dihitung 8 kali.

Hasilnya 5 dikali 4 dikali 3 dibagi 3 dikali 2 dikali 1 sama dengan 10 cara. Kalau dipikirkan sebagai memilih 2 jenis yang disisihkan, hasilnya sama, yaitu 5 dikali 4 dibagi 2 sama dengan 10. Jawaban 60 cara adalah 5 dikali 4 dikali 3 yang juga memperhitungkan urutan, yaitu tertukarnya permutasi dengan kombinasi. Jawaban 15 cara muncul dari 5 dikali 3 dan jawaban 20 cara dari 5 dikali 4.

Kalau ketiga kelompoknya dibeda-bedakan, hasilnya 84 dikali 20 dikali 1 sama dengan 1.680 cara. Karena kelompoknya tidak dibeda-bedakan, penyusunan ulang ketiga kelompok sebanyak 3 faktorial sama dengan 6 cara terhitung berulang, sehingga 1.680 dibagi 6 sama dengan 280 cara. Jawaban 1.680 cara adalah kekeliruan klasik karena lupa membagi dengan 3 faktorial. Jawaban 840 cara muncul dari membaginya dengan 2. Jawaban 84 cara hanya menjawab banyaknya cara memilih 3 orang dari 9 orang.

Begitu ditetapkan 3 orang yang masuk kamar A, sisanya pasti masuk kamar B, sehingga 6 dikali 5 dikali 4 dibagi 3 dikali 2 dikali 1 sama dengan 20 cara. Jawaban 10 cara adalah banyaknya cara kalau kamarnya tidak dibeda-bedakan, yaitu melakukan pembagian dengan 2 yang sebenarnya tidak diperlukan. Jawaban 40 cara muncul dari melipatgandakan 20 dengan 2. Jawaban 720 cara menjawab nilai 6 faktorial.

Memilih 4 orang dari 8 orang menghasilkan 70 cara, tetapi pembagian yang menukar 4 orang terpilih dengan 4 orang sisanya terhitung dua kali. Maka 70 dibagi 2 sama dengan 35 cara. Jawaban 70 cara adalah kekeliruan klasik karena lupa membagi dengan 2. Jawaban 28 cara muncul dari tertukar dengan banyaknya cara memilih 2 orang dari 8 orang. Jawaban 16 cara muncul dari menghitung 4 dikali 4.

Kalau ketiga kelompoknya dibeda-bedakan, hasilnya 15 dikali 6 dikali 1 sama dengan 90 cara. Karena kelompoknya tidak dibeda-bedakan, hasil itu dibagi dengan penyusunan ulang ketiga kelompok, yaitu 3 faktorial sama dengan 6, sehingga 90 dibagi 6 sama dengan 15 cara. Jawaban 90 cara muncul dari lupa membagi. Jawaban 45 cara muncul dari membaginya dengan 2, dan jawaban 30 cara dari membaginya dengan 3, bukan dengan 3 faktorial.

Mata bernilai 3 atau lebih ada 4 kemungkinan, yaitu 3, 4, 5, dan 6, dari seluruhnya 6 kemungkinan. Maka 4/6 sama dengan 2/3. Jawaban 1/2 adalah 3/6, yaitu salah membacanya sebagai 4 atau lebih. Jawaban 1/3 adalah 2/6 untuk 5 atau lebih, dan jawaban 5/6 untuk 2 atau lebih. Perhatikan bahwa ungkapan 3 atau lebih ikut memuat angka 3 itu sendiri.

Kemunculan sisi bergambar dan sisi berangka ada 2 dikali 2 dikali 2 sama dengan 8 kemungkinan, dan ketiganya bergambar hanya 1 kemungkinan, jadi 1/8. Jawaban 1/6 muncul dari salah menghitung banyaknya kemungkinan sebagai 6. Jawaban 1/4 adalah nilai untuk 2 keping uang logam, dan jawaban 3/8 adalah peluang tepat 2 keping bergambar.

Dari seluruhnya 10 bola, yang merah ada 4, jadi 4/10 sama dengan 2/5. Jawaban 3/5 adalah peluang mengambil bola putih, yaitu tertukarnya warna yang ditanyakan. Jawaban 1/5 muncul dari keliru menuliskan 4/10 sebagai 2/10. Jawaban 1/2 muncul dari menganggapnya pilihan dua kemungkinan antara merah dan putih, padahal jumlahnya berbeda sehingga peluangnya tidak berbagi rata.

Kemunculan matanya ada 6 dikali 6 sama dengan 36 kemungkinan. Jumlah 7 terjadi pada 1 dan 6, 2 dan 5, serta 3 dan 4, beserta kebalikannya, jadi 6 kemungkinan. Maka 6/36 sama dengan 1/6. Jawaban 5/36 adalah peluang jumlahnya 6. Jawaban 1/12 muncul dari menghitungnya 3 kemungkinan tanpa memedulikan urutan sehingga menjadi 3/36. Jawaban 1/7 muncul dari menghitung pembilang dan penyebut dengan pasangan tak berurutan sebanyak 21, padahal ke-21 pasangan itu tidak sama peluangnya sehingga cara itu keliru.

Peristiwa komplemennya adalah keempatnya berangka, yang peluangnya 1/16. Peluang yang dicari adalah 1 dikurangi 1/16 sama dengan 15/16. Jawaban 1/16 adalah kekeliruan klasik karena menjawab peristiwa komplemennya dan lupa mengurangkannya dari 1. Jawaban 1/4 adalah peluang tepat 1 keping bergambar, yaitu 4/16, dan jawaban 1/2 adalah nilai kalau hanya satu keping yang diperhatikan.

Cara pengambilannya adalah memilih 2 dari 8 bola, yaitu 28 kemungkinan, dan keduanya putih adalah memilih 2 dari 5 bola, yaitu 10 kemungkinan. Maka 10/28 sama dengan 5/14. Jawaban 25/64 adalah kuadrat dari 5/8 seolah bolanya dikembalikan setiap kali diambil, padahal pada pengambilan sekaligus penyebut untuk bola kedua berkurang menjadi 7 sehingga cara itu keliru. Jawaban 3/28 adalah peluang keduanya merah, dan jawaban 25/28 adalah peluang sekurang-kurangnya satu bola putih.

Peristiwa komplemennya adalah keduanya putih, yaitu 10/28 sama dengan 5/14. Maka 1 dikurangi 5/14 sama dengan 9/14. Jawaban 5/14 muncul dari menjawab peristiwa komplemennya dan lupa mengurangkannya dari 1. Jawaban 15/28 adalah peluang tepat 1 bola merah, yaitu lupa menambahkan bagian ketika keduanya merah. Jawaban 3/28 adalah peluang keduanya merah.

Peristiwa komplemennya adalah keduanya meleset, yaitu 1/3 dikali 1/2 sama dengan 1/6. Maka 1 dikurangi 1/6 sama dengan 5/6. Jawaban 1/3 adalah peluang keduanya mengenai sasaran, yaitu 2/3 dikali 1/2. Jawaban 1/6 muncul dari menjawab peristiwa komplemennya. Jawaban 1/2 adalah peluang tepat salah satu saja yang mengenai sasaran. Perlu dicatat, kalau peluangnya dijumlahkan begitu saja, hasil 2/3 ditambah 1/2 melebihi 1, sehingga jelas bahwa penjumlahan bukan caranya.

Kalau A menarik yang berhadiah, peluangnya 2/10 dikali 1/9, dan kalau A tidak menarik yang berhadiah, peluangnya 8/10 dikali 2/9. Kalau dijumlahkan, 2/90 ditambah 16/90 sama dengan 18/90 sama dengan 1/5. Peluangnya tidak berubah oleh urutan menarik dan tetap 2/10 sama dengan 1/5. Jawaban 2/9 muncul dari hanya melihat keadaan ketika A tidak menarik yang berhadiah. Jawaban 1/45 adalah peluang keduanya menarik undian berhadiah, dan jawaban 1/10 muncul dari salah menghitung undian berhadiah sebagai 1 lembar.

Cara pengambilannya adalah memilih 2 dari 7 bola, yaitu 21 kemungkinan. Keduanya putih ada 6 kemungkinan, sehingga sekurang-kurangnya satu merah ada 21 dikurangi 6 sama dengan 15 kemungkinan. Di antaranya keduanya merah ada 3 kemungkinan, jadi 3/15 sama dengan 1/5. Jawaban 1/7 adalah 3/21, yaitu tidak memakai syaratnya sehingga penyebutnya dibiarkan 21. Jawaban 5/7 adalah peluang sekurang-kurangnya satu bola merah itu sendiri, dan jawaban 3/7 adalah peluang bola pertama merah.

Kalau 500 dikali 1, 100 dikali 3, dan 0 dikali 6 dijumlahkan hasilnya 800 yen, lalu dibagi 10 lembar menjadi 80 yen. Jawaban 200 yen adalah 800 dibagi 4, yaitu merata-ratakan hanya atas 4 lembar berhadiah sehingga lembar tak berhadiah lupa dimasukkan ke penyebut. Jawaban 800 yen adalah jumlah seluruh hadiahnya. Jawaban 50 yen adalah 500 dibagi 10, yaitu hanya melihat hadiah utamanya.

Ada 3 kemungkinan menurut tembakan mana saja yang mengenai sasaran. Masing-masing bernilai 1/3 dikali 1/3 dikali 2/3 sama dengan 2/27, sehingga 3 dikali 2/27 sama dengan 6/27, yaitu 2/9. Jawaban 2/27 muncul dari lupa mengalikan 3 kemungkinan itu. Jawaban 1/27 adalah peluang ketiga tembakan mengenai sasaran, dan jawaban 4/9 adalah peluang tepat 1 kali mengenai sasaran.