情形數與機率

先選出來再排列，屬於排列。5×4×3=60種。10種是不考慮排列順序的選法數，是把排列與組合搞混了。125種是把同一本書可以重複擺放的重複排列值。15種則是算成 5×3 的失誤。

全部排列，所以是 4!=4×3×2×1=24種。12種是算到 4×3 就停下的失誤。16種是算成 4×4 的失誤。256種則是把同一個人可以重複選取的 4×4×4×4。

依序決定，所以用乘法原理。3×4×2=24種。9種是把 3+4+2 相加的失誤；接連決定的事項要用乘法。12種是漏數帽子的 3×4，6種則是漏數褲子的 3×2。

固定一人的座位，再排剩下5人，所以是 (6−1)!=5!=120種。720種是 6!，把旋轉後相同的坐法分開來數的失誤。360種是 6!/2，連翻面對稱都視為相同的數法。36種則是算成 6×6 的失誤。

百位不能是0，有4種；十位從剩下的4張選，有4種；個位有3種。4×4×3=48個。60個是允許開頭為0的 5×4×3，忘了處理0。24個是算成 4×3×2 的失誤。100個則是把同一數字可以重複使用的 4×5×5。

從第1個到第4個，每個位置都能自由選3種，所以是 3×3×3×3=81種。64種是算成 4×4×4，把種類數與個數弄反的失誤。12種是算成 3×4 的失誤。24種是 4! 的值，明明只有3種符號卻想讓4個位置全用不同符號，數法自相矛盾。

把2名女生視為一組，排4個東西得 4!=24種。組內2名女生還能互換，所以 24×2!=48種。24種是漏乘最後的 2! 的失誤。72種是女生不相鄰的情形數，與餘事件弄混了。120種則是 5!，完全無視條件的總數。

開頭是男生或女生，有2種。各自再排：男生3人的排法 3!=6種，女生3人的排法 3!=6種。2×6×6=72種。36種是漏乘開頭那2種的失誤。144種是把2乘了兩次的失誤。720種則是 6!，完全無視條件的總數。

會長與副會長職務不同，所以是有順序的選法。會長有4種，副會長從剩下的3人中選，共 4×3=12種。6種是不分職位、單純選2人的數目，把排列與組合搞混了。16種是允許同一人兼任的 4×4。4種則是只數了會長的選法，忘了乘上副會長那部分。

把2人視為一組，就成了4個東西的圓排列 (4−1)!=6種。組內2人的排法有2種，所以 6×2=12種。24種是沒有條件時5人的圓排列 4!=24，忘了使用條件。6種是最後漏乘2的失誤。48種則是沒有做成圓排列、算成 2×4! 的失誤。

6人的排法 6!=720種，恰好可以對半分成「A在前」與「B在前」兩種情形。720/2=360種。720種是忘了使用條件的總數。240種是把720除以3的失誤。120種則是誤答成 5!。

把3人併成一組，就成了5個東西的圓排列 (5−1)!=24種。組內3人的排法有 3!=6種，所以 24×6=144種。4320種是把7人的圓排列720直接乘上 3! 的失誤，漏看了併成一組後個數已減為5。24種是漏乘 3! 的失誤。720種則是沒有條件時7人的圓排列。

3位代表之間沒有分別，所以是組合。8×7×6/(3×2×1)=56種。336種是連排列順序也數進去的 8×7×6，同樣的3人組被重複數了 3!=6 次。112種是把56乘以2的失誤。24種則是算成 8×3 的失誤。

2位值日生之間沒有分別，所以 10×9/2=45種。90種是加上順序的 10×9，忘了除以2的失誤。20種是算成 10×2，100種是算成 10×10 的失誤。

男生的選法是 5×4/2=10種，女生是 4×3/2=6種。兩邊要同時決定，所以相乘得 10×6=60種。16種是把 10+6 相加的失誤。240種是連順序都數進去的 20×12。126種則是不分男女、從9人中選4人的失誤。

若5顆全部加以區分，就是 5!=120種；但紅球3顆互換的 3!=6種與白球2顆互換的 2!=2種都算同一種排列，因此要除掉。120/(6×2)=10種。120種是忘了相除，20種是只除以 3! 的失誤，60種則是只除以 2! 的失誤。

6!/(3!×2!×1!)=720/12=60種。720種是把相同文字的互換分開來數、忘了相除。120種是只除以 3! 的失誤。30種則是誤以為C也有2個而多除了一個 2! 的失誤。

合計7次移動中，只要決定哪3次往北，路線就確定了。7×6×5/(3×2×1)=35種。12種是算成 4×3 的失誤。21種是把往北誤數成2次的值。70種則是把移動誤數成8次的值。

5×4×3/(3×2×1)=10種。改成「決定留下不選的2種」來想，算 5×4/2=10 也一樣。60種是連順序都算進去的 5×4×3，把排列與組合搞混了。15種是算成 5×3，20種是算成 5×4 的失誤。

若分成有分別的3組，是 84×20×1=1680種。由於各組之間沒有分別，這等於把3組互換的 3!=6 種重複計算了。1680/6=280種。1680種是忘了除以 3! 的經典失誤。840種是除以2的失誤。84種則是只回答從9人中選3人的數目的失誤。

只要決定進A室的3人，剩下的自然歸B室，所以 6×5×4/(3×2×1)=20種。10種是房間沒有分別時的數目，多做了不必要的除以2。40種是把20乘以2的失誤。720種則是誤答成 6!。

從8人中選4人是70種，但被選出的4人與剩下的4人互換後屬於同一種分法，等於重複數了2次。70/2=35種。70種是忘了除以2的經典失誤。28種是與從8人中選2人的數目搞混的失誤。16種則是算成 4×4 的失誤。

若是有分別的3組，就是 15×6×1=90種。由於各組沒有分別，要除以3組互換的 3!=6，得 90/6=15種。90種是忘了相除。45種是除以2的失誤。30種則是除以3而非 3! 的失誤。

3以上的點數有3、4、5、6共4種，全部有6種。4/6=2/3。1/2 是誤讀成4以上的 3/6。1/3 是當成5以上的 2/6。5/6 則是當成2以上的結果。要注意「以上」包含該數本身。

正反面的出現方式有 2×2×2=8種，3枚都是正面只有1種，所以是 1/8。1/6 是把情形數誤算成6種的失誤。1/4 是2枚硬幣時的值。3/8 則是恰好2枚為正面的機率。

總共10顆之中紅球有4顆。4/10=2/5。3/5 是取出白球的機率，弄錯了題目問的顏色。1/5 是把 4/10 誤寫成 2/10 的失誤。1/2 是把它想成紅或白的二選一，但兩者數量不同，並不會各占一半。

點數的出現方式有 6×6=36種。和為7的情形是1與6、2與5、3與4以及其相反，共6種。6/36=1/6。5/36 是和為6的機率。1/12 是不考慮先後、只當成3種而算成 3/36 的數錯。1/7 是把分子當成組、分母當成21種組合來數，但實際上那21種組合並非等機率，因此是錯的。

餘事件是4枚都是反面，機率為 1/16。所求機率是 1−1/16=15/16。1/16 是把餘事件直接當成答案、忘了用1去減的經典失誤。1/4 是恰好1枚為正面的機率 4/16。1/2 則是只看一枚時的值。

取法是從8顆取2顆共28種，2顆都是白球是從5顆取2顆共10種。10/28=5/14。25/64 是把它當成每次取後放回、算成 5/8 的平方；同時取出時第2顆的分母會減為7，所以是錯的。3/28 是2顆都是紅球的機率。25/28 則是至少有1顆白球的機率。

餘事件是2顆都是白球，機率為 10/28=5/14。1−5/14=9/14。5/14 是把餘事件直接當成答案、忘了用1去減的失誤。15/28 是恰好1顆為紅球的機率，漏掉了2顆都是紅球的部分。3/28 則是2顆都是紅球的機率。

餘事件是兩人都沒中，機率為 1/3×1/2=1/6。1−1/6=5/6。1/3 是兩人都命中的機率 2/3×1/2。1/6 是把餘事件直接當成答案的失誤。1/2 是恰好只有一方命中的機率。另外，若把機率直接相加，2/3+1/2 會超過1，由此也可知不能用加法求。

A中獎的情形是 2/10×1/9，A沒中的情形是 8/10×2/9。相加得 2/90+16/90=18/90=1/5。不論抽籤順序如何，機率都是 2/10=1/5，不會改變。2/9 是只看A沒中那種情形的失誤。1/45 是兩人都中獎的機率。1/10 則是把中獎籤誤數成1支的失誤。

取法是從7顆取2顆共21種。2顆都是白球有6種，所以至少1顆是紅球的情形是 21−6=15種。其中2顆都是紅球有3種，因此 3/15=1/5。1/7 是沒有使用已知條件、分母仍留在21的 3/21。5/7 是「至少1顆是紅球」這件事本身的機率。3/7 則是第1顆是紅球的機率。

把 500×1、100×3 與 0×6 相加得800日圓，再除以10支得80日圓。200日圓是只拿中獎的4支去平均的 800/4，忘了把槓龜的籤放進分母。800日圓是獎金的總額本身。50日圓則是只看頭獎的 500/10。

哪2次命中共有3種情形。每一種都是 1/3×1/3×2/3=2/27，所以 3×2/27=6/27=2/9。2/27 是忘了乘上情形數3的失誤。1/27 是3次都命中的機率。4/9 則是恰好只命中1次的機率。