Đếm số trường hợp và xác suất

Vừa chọn vừa xếp thứ tự nên đây là chỉnh hợp: 5 × 4 × 3 = 60 cách. Phương án 10 cách là số cách chọn mà không xét thứ tự, tức lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Phương án 125 cách là chỉnh hợp lặp, coi như cùng một cuốn được đặt nhiều lần. Phương án 15 cách là do nhân 5 × 3.

Xếp toàn bộ nên là 4! = 4 × 3 × 2 × 1 = 24 cách. Phương án 12 cách là do dừng ở 4 × 3. Phương án 16 cách là do lấy 4 × 4. Phương án 256 cách là 4 × 4 × 4 × 4, tức coi như một người có thể được chọn lại nhiều lần.

Vì lần lượt quyết định từng thứ nên áp dụng quy tắc nhân: 3 × 4 × 2 = 24 cách. Phương án 9 cách là do cộng 3 + 4 + 2; những việc quyết định nối tiếp nhau thì phải nhân. Phương án 12 cách là do quên đếm mũ, chỉ lấy 3 × 4, còn 6 cách là do quên đếm quần, chỉ lấy 3 × 2.

Cố định chỗ của một người rồi xếp 5 người còn lại nên (6 − 1)! = 5! = 120 cách. Phương án 720 cách là 6!, tức đếm riêng cả những cách chỉ khác nhau do xoay bàn. Phương án 360 cách là 6!/2, tức còn coi cả cách lật ngược là như nhau. Phương án 36 cách là do lấy 6 × 6.

Hàng trăm có 4 cách vì không được là 0, hàng chục có 4 cách còn lại, hàng đơn vị có 3 cách còn lại, nên 4 × 4 × 3 = 48 số. Phương án 60 số là 5 × 4 × 3, tức cho phép chữ số 0 đứng đầu, quên mất ràng buộc về số 0. Phương án 24 số là do đếm thành 4 × 3 × 2. Phương án 100 số là 4 × 5 × 5, tức coi như được dùng lặp lại cùng một chữ số.

Từ vị trí thứ nhất đến vị trí thứ tư, mỗi vị trí đều được chọn tự do trong 3 loại nên 3 × 3 × 3 × 3 = 81 cách. Phương án 64 cách là 4 × 4 × 4, tức đảo ngược vai trò giữa số loại và số vị trí. Phương án 12 cách là do lấy 3 × 4. Phương án 24 cách là 4!, một cách đếm tự mâu thuẫn vì chỉ có 3 loại mà lại muốn cả 4 ký hiệu đều khác nhau.

Coi hai bạn nữ là một khối thì xếp 4 đối tượng được 4! = 24 cách. Trong khối đó hai bạn nữ còn đổi chỗ cho nhau nên 24 × 2! = 48 cách. Phương án 24 cách là do quên nhân 2! ở bước cuối. Phương án 72 cách là số cách để hai bạn nữ không đứng cạnh nhau, tức lẫn với biến cố đối. Phương án 120 cách là 5!, tức toàn bộ khi bỏ qua điều kiện.

Người đứng đầu là nam hay nữ cho 2 khả năng. Với mỗi khả năng, ba bạn nam xếp được 3! = 6 cách và ba bạn nữ cũng 3! = 6 cách. Vậy 2 × 6 × 6 = 72 cách. Phương án 36 cách là do quên nhân 2 khả năng ở đầu hàng. Phương án 144 cách là do nhân 2 hai lần. Phương án 720 cách là 6!, tức toàn bộ khi bỏ qua điều kiện.

Hội trưởng và hội phó là hai vai trò khác nhau nên đây là cách chọn có phân biệt thứ tự: hội trưởng có 4 cách, hội phó có 3 cách còn lại, tổng cộng 4 × 3 = 12 cách. Phương án 6 cách là số cách chọn ra 2 người mà bỏ qua sự phân biệt chức vụ, tức lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Phương án 16 cách là 4 × 4, tức cho phép một người kiêm cả hai chức. Phương án 4 cách là do chỉ đếm cách chọn hội trưởng mà quên nhân phần hội phó.

Coi hai người đó là một khối thì đây là hoán vị vòng tròn của 4 đối tượng, được (4 − 1)! = 6 cách. Trong khối, hai người có 2 cách đổi chỗ nên 6 × 2 = 12 cách. Phương án 24 cách là hoán vị vòng tròn của 5 người không kèm điều kiện, tức 4! = 24, do quên dùng điều kiện. Phương án 6 cách là do quên nhân 2 ở bước cuối. Phương án 48 cách là do đếm thành 2 × 4! mà không đưa về hoán vị vòng tròn.

Toàn bộ 6! = 720 cách xếp được chia đôi vừa đúng thành nhóm A đứng trước và nhóm B đứng trước. Vậy 720 ÷ 2 = 360 cách. Phương án 720 cách là toàn bộ khi quên dùng điều kiện. Phương án 240 cách là do chia 720 cho 3. Phương án 120 cách là do trả lời 5!.

Gộp ba người thành một khối thì đây là hoán vị vòng tròn của 5 đối tượng, được (5 − 1)! = 24 cách. Trong khối, ba người xếp được 3! = 6 cách nên 24 × 6 = 144 cách. Phương án 4.320 cách là do lấy hoán vị vòng tròn của 7 người là 720 rồi nhân thẳng 3!, bỏ qua việc gộp lại thì số đối tượng chỉ còn 5. Phương án 24 cách là do quên nhân 3!. Phương án 720 cách là hoán vị vòng tròn của 7 người không kèm điều kiện.

Ba người đại diện không phân biệt vai trò nên đây là tổ hợp: 8 × 7 × 6 ÷ (3 × 2 × 1) = 56 cách. Phương án 336 cách là 8 × 7 × 6, tức đếm cả thứ tự, khiến mỗi nhóm ba người bị đếm lặp 3! = 6 lần. Phương án 112 cách là do nhân đôi 56. Phương án 24 cách là do lấy 8 × 3.

Hai người trực nhật không phân biệt vai trò nên 10 × 9 ÷ 2 = 45 cách. Phương án 90 cách là 10 × 9, tức có tính thứ tự và quên chia 2. Phương án 20 cách là do lấy 10 × 2, còn 100 cách là do lấy 10 × 10.

Cách chọn nam là 5 × 4 ÷ 2 = 10, cách chọn nữ là 4 × 3 ÷ 2 = 6. Vì phải quyết định cả hai cùng lúc nên nhân lại: 10 × 6 = 60 cách. Phương án 16 cách là do cộng 10 với 6. Phương án 240 cách là do đếm cả thứ tự, lấy 20 × 12. Phương án 126 cách là do bỏ qua phân biệt nam nữ mà chọn 4 người từ 9 người.

Nếu phân biệt cả 5 viên thì có 5! = 120 cách, nhưng 3! = 6 cách hoán vị của ba viên đỏ và 2! = 2 cách hoán vị của hai viên trắng đều cho cùng một hàng nên phải chia đi. Ta có 120 ÷ (6 × 2) = 10 cách. Phương án 120 cách là do quên chia, 20 cách là do chỉ chia cho 3!, còn 60 cách là do chỉ chia cho 2!.

Ta có 6! ÷ (3! × 2! × 1!) = 720 ÷ 12 = 60 cách. Phương án 720 cách là do quên chia, tức đếm riêng cả các hoán vị của những chữ giống nhau. Phương án 120 cách là do chỉ chia cho 3!. Phương án 30 cách là do chia dư thêm một lần 2! vì tưởng chữ C cũng có 2 chữ.

Trong tổng cộng 7 lần di chuyển, chỉ cần quyết định 3 lần nào là đi về phía bắc thì lối đi đã xác định. Ta có 7 × 6 × 5 ÷ (3 × 2 × 1) = 35 lối. Phương án 12 lối là do lấy 4 × 3. Phương án 21 lối là do đếm nhầm thành 2 lần đi về phía bắc. Phương án 70 lối là do đếm nhầm thành 8 lần di chuyển.

Ta có 5 × 4 × 3 ÷ (3 × 2 × 1) = 10 cách. Nghĩ theo hướng chọn ra 2 loại bị bỏ lại thì cũng ra 5 × 4 ÷ 2 = 10. Phương án 60 cách là 5 × 4 × 3, tức có tính cả thứ tự, là lỗi lẫn giữa chỉnh hợp và tổ hợp. Phương án 15 cách là do lấy 5 × 3, còn 20 cách là do lấy 5 × 4.

Nếu ba nhóm có phân biệt thì được 84 × 20 × 1 = 1.680 cách. Vì các nhóm không phân biệt nên mỗi cách chia đã bị đếm lặp đúng 3! = 6 lần theo các hoán vị của ba nhóm, do đó 1.680 ÷ 6 = 280 cách. Phương án 1.680 cách là lỗi kinh điển do quên chia cho 3!. Phương án 840 cách là do chỉ chia cho 2. Phương án 84 cách chỉ là số cách chọn 3 người từ 9 người.

Chỉ cần chọn 3 người vào phòng A là những người còn lại đương nhiên vào phòng B, nên 6 × 5 × 4 ÷ (3 × 2 × 1) = 20 cách. Phương án 10 cách là số cách khi hai phòng không phân biệt, tức đã chia thêm cho 2 một cách không cần thiết. Phương án 40 cách là do nhân đôi 20. Phương án 720 cách là do trả lời 6!.

Chọn 4 người từ 8 người được 70 cách, nhưng cách chọn ra 4 người này và cách chọn ra 4 người kia cho cùng một kiểu chia nên mỗi cách bị đếm hai lần. Vậy 70 ÷ 2 = 35 cách. Phương án 70 cách là lỗi kinh điển do quên chia đôi. Phương án 28 cách là do nhầm sang số cách chọn 2 người từ 8 người. Phương án 16 cách là do lấy 4 × 4.

Nếu ba nhóm có phân biệt thì được 15 × 6 × 1 = 90 cách. Vì các nhóm không phân biệt nên chia cho 3! = 6 hoán vị của ba nhóm, được 90 ÷ 6 = 15 cách. Phương án 90 cách là do quên chia. Phương án 45 cách là do chia cho 2. Phương án 30 cách là do chia cho 3 thay vì cho 3!.

Các mặt từ 3 trở lên là 3, 4, 5, 6, tức 4 khả năng trên tổng số 6. Ta có 4/6 = 2/3. Phương án 1/2 là 3/6, do đọc nhầm thành từ 4 trở lên. Phương án 1/3 là 2/6, do đọc thành từ 5 trở lên. Phương án 5/6 là do đọc thành từ 2 trở lên. Lưu ý rằng nói từ mấy trở lên là bao gồm cả chính con số đó.

Số cách sấp ngửa là 2 × 2 × 2 = 8, trong đó cả ba đều ngửa chỉ có 1 cách, nên xác suất là 1/8. Phương án 1/6 là do đếm nhầm số trường hợp thành 6. Phương án 1/4 là giá trị ứng với trường hợp chỉ có 2 đồng xu. Phương án 3/8 là xác suất để đúng 2 đồng ngửa.

Tổng cộng có 10 viên, trong đó bi đỏ có 4 viên, nên 4/10 = 2/5. Phương án 3/5 là xác suất lấy được bi trắng, tức nhầm màu mà đề hỏi. Phương án 1/5 là do viết nhầm 4/10 thành 2/10. Phương án 1/2 là do nghĩ chỉ có hai khả năng đỏ hoặc trắng nên chia đôi, nhưng số lượng hai màu khác nhau nên không thể là một nửa.

Số cách xuất hiện là 6 × 6 = 36. Tổng bằng 7 gồm 1 với 6, 2 với 5, 3 với 4 và các trường hợp đảo lại, tức 6 cách. Vậy 6/36 = 1/6. Phương án 5/36 là xác suất để tổng bằng 6. Phương án 1/12 là do không xét thứ tự mà chỉ đếm 3 cách, thành 3/36. Phương án 1/7 là do lấy tử số theo cặp và mẫu số là 21 cặp, nhưng 21 cặp đó không đồng khả năng nên sai.

Biến cố đối là cả 4 đồng đều sấp, xác suất 1/16. Xác suất cần tìm là 1 − 1/16 = 15/16. Phương án 1/16 là lỗi kinh điển do trả lời luôn biến cố đối mà quên lấy 1 trừ đi. Phương án 1/4 là xác suất để đúng 1 đồng ngửa, tức 4/16. Phương án 1/2 là giá trị khi chỉ nhìn một đồng xu.

Số cách lấy là chọn 2 từ 8 viên, tức 28 cách; cả hai đều trắng là chọn 2 từ 5 viên, tức 10 cách. Vậy 10/28 = 5/14. Phương án 25/64 là bình phương của 5/8, tức coi như lấy từng viên có hoàn lại; khi lấy đồng thời thì mẫu số của viên thứ hai giảm còn 7 nên sai. Phương án 3/28 là xác suất cả hai đều đỏ. Phương án 25/28 là xác suất có ít nhất một viên trắng.

Biến cố đối là cả hai đều trắng, xác suất 10/28 = 5/14. Vậy 1 − 5/14 = 9/14. Phương án 5/14 là do trả lời luôn biến cố đối mà quên lấy 1 trừ đi. Phương án 15/28 là xác suất để có đúng 1 viên đỏ, tức quên cộng phần cả hai viên đều đỏ. Phương án 3/28 là xác suất cả hai đều đỏ.

Biến cố đối là cả hai đều trượt, xác suất 1/3 × 1/2 = 1/6. Vậy 1 − 1/6 = 5/6. Phương án 1/3 là xác suất cả hai cùng trúng, tức 2/3 × 1/2. Phương án 1/6 là do trả lời luôn biến cố đối. Phương án 1/2 là xác suất để đúng một người trúng. Ngoài ra, nếu cứ cộng thẳng xác suất thì 2/3 + 1/2 đã vượt quá 1, nên biết ngay là không thể tính bằng phép cộng.

Trường hợp A trúng là 2/10 × 1/9, trường hợp A trượt là 8/10 × 2/9. Cộng lại được 2/90 + 16/90 = 18/90 = 1/5. Xác suất không đổi theo thứ tự rút, vẫn là 2/10 = 1/5. Phương án 2/9 là do chỉ xét trường hợp A trượt. Phương án 1/45 là xác suất cả hai người cùng trúng. Phương án 1/10 là do đếm nhầm chỉ có 1 lá trúng.

Số cách lấy là chọn 2 từ 7 viên, tức 21 cách. Cả hai đều trắng có 6 cách, nên trường hợp có ít nhất một viên đỏ là 21 − 6 = 15 cách. Trong đó cả hai đều đỏ có 3 cách, nên 3/15 = 1/5. Phương án 1/7 là do không dùng điều kiện mà vẫn để mẫu số là 21, thành 3/21. Phương án 5/7 chính là xác suất có ít nhất một viên đỏ. Phương án 3/7 là xác suất viên thứ nhất là đỏ.

Cộng 500 × 1 với 100 × 3 và 0 × 6 được 800 yên, chia cho 10 lá được 80 yên. Phương án 200 yên là 800 ÷ 4, tức chỉ lấy trung bình trên 4 lá trúng mà quên đưa các lá trượt vào mẫu số. Phương án 800 yên là tổng tiền thưởng. Phương án 50 yên là 500 ÷ 10, tức chỉ nhìn giải nhất.

Có 3 cách chọn xem hai lần nào là trúng. Mỗi cách có xác suất 1/3 × 1/3 × 2/3 = 2/27, nên 3 × 2/27 = 6/27 = 2/9. Phương án 2/27 là do quên nhân với 3 khả năng. Phương án 1/27 là xác suất trúng cả 3 lần. Phương án 4/9 là xác suất trúng đúng 1 lần.