Combinatorică și probabilități

Se alege și apoi se așază în ordine, deci aranjament: 5×4×3=60 de variante. „10 variante” este numărul alegerilor fără ordine — încurcarea aranjamentelor cu combinările. „125 de variante” este valoarea cu repetiție, ca și cum aceeași carte s-ar putea pune de mai multe ori. „15 variante” vine din înmulțirea 5×3.

Se așază toți, deci 4!=4×3×2×1=24 de feluri. „12” oprește calculul la 4×3. „16” face 4×4. „256” este 4×4×4×4, ca și cum aceeași persoană s-ar putea alege de mai multe ori.

Alegerile se fac una după alta, deci regula produsului: 3×4×2=24 de combinații. „9” adună 3+4+2 — dar hotărârile înlănțuite se înmulțesc. „12” uită pălăriile, 3×4; „6” uită pantalonii, 3×2.

Se fixează locul unuia și se așază ceilalți 5: (6−1)!=5!=120 de feluri. „720” este 6!, care numără separat așezările ce coincid prin rotire. „360” este 6!/2, unde s-au socotit una și oglindirile. „36” face 6×6.

La sute intră 4 cifre (fără 0), la zeci celelalte 4, la unități cele 3 rămase: 4×4×3=48 de numere. „60” îngăduie 0 în frunte, 5×4×3 — uită tratarea lui 0. „24” numără 4×3×2. „100” lasă cifrele să se repete, 4×5×5.

De la primul până la al patrulea, fiecare loc se alege liber din 3: 3×3×3×3=81 de feluri. „64” întoarce pe dos felurile și locurile, 4×4×4. „12” face 3×4. „24” este 4! — o numărare fără noimă, care ar face toate cele 4 semne diferite deși sunt doar 3 feluri.

Cele 2 fete se leagă într-un singur bloc și se așază 4 lucruri: 4!=24. Înăuntrul blocului fetele se pot schimba între ele, deci 24×2!=48 de feluri. „24” uită înmulțirea cu 2! de la urmă. „72” este numărul așezărilor cu fetele despărțite — încurcarea cu evenimentul potrivnic. „120” este 5!, întregul fără condiție.

Primul din șir poate fi băiat sau fată: 2 feluri. Pentru fiecare, băieții se așază în 3!=6 feluri și fetele în 3!=6: 2×6×6=72 de feluri. „36” uită înmulțirea cu cele 2 feluri de început. „144” înmulțește cu 2 de două ori. „720” este 6!, întregul fără condiție.

Funcțiile diferă, deci alegerea are ordine: 4 feluri pentru președinte, 3 rămase pentru vicepreședinte, 4×3=12 feluri. „6” nesocotește deosebirea funcțiilor și alege doar 2 oameni — încurcarea aranjamentelor cu combinările. „16” lasă aceeași persoană să țină ambele funcții, 4×4. „4” numără doar alegerea președintelui.

Cei 2 legați într-un bloc dau o permutare circulară a 4 lucruri: (4−1)!=6 feluri. Cei 2 din bloc se pot așeza în 2 feluri, deci 6×2=12 feluri. „24” este permutarea circulară fără condiție a celor 5, 4!=24. „6” uită înmulțirea cu 2. „48” nu face permutare circulară, ci 2×4!.

Cele 6!=720 de așezări se împart exact în jumătate între cele cu A înainte și cele cu B înainte: 720/2=360 de feluri. „720” este întregul, fără condiție. „240” împarte 720 la 3. „120” răspunde 5!.

Cei 3 strânși într-un bloc dau o permutare circulară a 5 lucruri: (5−1)!=24 de feluri. Cei 3 din bloc se așază în 3!=6 feluri, deci 24×6=144 de feluri. „4320” înmulțește direct permutarea circulară a celor 7, 720, cu 3!, scăpând din vedere că prin legare numărul scade la 5. „24” uită înmulțirea cu 3!. „720” este permutarea circulară fără condiție a celor 7.

Cei 3 reprezentanți nu se deosebesc între ei, deci combinare: 8×7×6/(3×2×1)=56 de feluri. „336” numără și ordinea, 8×7×6 — fiecare grup de 3 este socotit de 3!=6 ori. „112” dublează 56. „24” face 8×3.

Cei 2 de serviciu nu se deosebesc, deci 10×9/2=45 de feluri. „90” pune ordine între ei, 10×9, uitând împărțirea la 2. „20” face 10×2, iar „100” face 10×10.

Băieții se aleg în 5×4/2=10 feluri, fetele în 4×3/2=6. Cele două alegeri se fac împreună, deci se înmulțesc: 10×6=60 de feluri. „16” adună 10+6. „240” numără și ordinea, 20×12. „126” nesocotește împărțirea pe sexe și alege 4 din 9.

Deosebind toate cele 5 bile ar fi 5!=120 de feluri, dar schimbările între cele 3 roșii, 3!=6 feluri, și cele între cele 2 albe, 2!=2 feluri, dau același șir, deci se împarte: 120/(6×2)=10 feluri. „120” uită împărțirea; „20” împarte doar la 3!; „60” doar la 2!.

6!/(3!×2!×1!)=720/12=60 de feluri. „720” numără separat schimbările dintre literele identice, uitând împărțirea. „120” împarte doar la 3!. „30” împarte în plus la 2!, ca și cum ar fi și C de 2 ori.

Din cele 7 mutări în total, drumul se fixează alegând care 3 sunt spre nord: 7×6×5/(3×2×1)=35 de drumuri. „12” înmulțește 4×3. „21” numără greșit doar 2 mutări spre nord. „70” numără greșit 8 mutări în total.

5×4×3/(3×2×1)=10 feluri. Se poate gândi și ca alegerea celor 2 feluri lăsate deoparte: 5×4/2=10, la fel. „60” numără și ordinea, 5×4×3 — încurcarea aranjamentelor cu combinările. „15” face 5×3, „20” face 5×4.

În 3 grupe deosebite între ele ar fi 84×20×1=1680 de feluri. Cum grupele nu se deosebesc, fiecare împărțire e numărată de 3!=6 ori, câte una pentru fiecare rearanjare a grupelor: 1680/6=280 de feluri. „1680” este clasica uitare a împărțirii la 3!. „840” împarte la 2. „84” dă doar alegerea a 3 oameni din 9.

Alegând cei 3 care intră în camera A, restul se duc în B: 6×5×4/(3×2×1)=20 de feluri. „10” este cazul camerelor nedeosebite — o împărțire la 2 care aici nu trebuie făcută. „40” dublează 20. „720” răspunde 6!.

Alegerea a 4 din 8 dă 70 de feluri, dar fiecare împărțire e numărată de 2 ori: o dată cu grupa aleasă, o dată cu cea rămasă. 70/2=35 de feluri. „70” este clasica uitare a împărțirii la 2. „28” încurcă cu alegerea a 2 din 8. „16” face 4×4.

În 3 grupe deosebite ar fi 15×6×1=90 de feluri. Grupele nedeosebindu-se, se împarte la rearanjările lor, 3!=6: 90/6=15 feluri. „90” uită împărțirea. „45” împarte la 2. „30” împarte la 3 în loc de 3!.

Fețele de cel puțin 3 sunt 3, 4, 5 și 6 — 4 cazuri din 6. 4/6=2/3. „1/2” citește greșit „cel puțin 4”: 3/6. „1/3” ia „cel puțin 5”: 2/6. „5/6” ia „cel puțin 2”. Atenție: „cel puțin” cuprinde chiar numărul spus.

Fețele și spatele dau 2×2×2=8 cazuri, iar toate 3 cu fața este unul singur: 1/8. „1/6” numără greșit 6 cazuri. „1/4” este valoarea pentru 2 monede. „3/8” este probabilitatea ca exact 2 să iasă cu fața.

Din 10 bile în total, 4 sunt roșii: 4/10=2/5. „3/5” este probabilitatea bilei albe — culoarea cerută încurcată. „1/5” scrie greșit 4/10 drept 2/10. „1/2” judecă „roșu sau alb” ca pe o alegere în două — dar numerele diferă, deci nu e jumătate-jumătate.

Fețele ies în 6×6=36 de feluri. Suma 7 iese din 1 cu 6, 2 cu 5, 3 cu 4 și inversele lor — 6 feluri. 6/36=1/6. „5/36” este probabilitatea sumei 6. „1/12” numără fără ordine 3 feluri, 3/36. „1/7” numără numărătorul pe perechi și numitorul cu cele 21 de perechi — dar cele 21 de perechi nu sunt la fel de probabile, deci e greșit.

Evenimentul potrivnic este ca toate 4 să iasă cu spatele, cu probabilitatea 1/16. Probabilitatea cerută este 1−1/16=15/16. „1/16” este clasica oprire la evenimentul potrivnic, fără scăderea din 1. „1/4” este probabilitatea ca exact una să iasă cu fața, 4/16. „1/2” privește o singură monedă.

Extragerile sunt 2 din 8, adică 28 de feluri; amândouă albe înseamnă 2 din 5, adică 10 feluri. 10/28=5/14. „25/64” este pătratul lui 5/8, ca la extragerea cu punere înapoi — dar la scoaterea deodată numitorul celei de-a doua scade la 7. „3/28” este probabilitatea ca amândouă să fie roșii. „25/28” este probabilitatea ca măcar una să fie albă.

Evenimentul potrivnic este ca amândouă să fie albe: 10/28=5/14. 1−5/14=9/14. „5/14” se oprește la evenimentul potrivnic, fără scăderea din 1. „15/28” este probabilitatea ca exact una să fie roșie, cu cazul ambelor roșii uitat. „3/28” este probabilitatea ca amândouă să fie roșii.

Evenimentul potrivnic este ca amândoi să rateze: 1/3×1/2=1/6. 1−1/6=5/6. „1/3” este probabilitatea ca amândoi să nimerească, 2/3×1/2. „1/6” se oprește la evenimentul potrivnic. „1/2” este probabilitatea ca exact unul să nimerească. De altfel, adunate direct, 2/3+1/2 trec de 1 — semn că adunarea simplă nu poate fi calea.

Cu A câștigător: 2/10×1/9; cu A necâștigător: 8/10×2/9. Suma: 2/90+16/90=18/90=1/5. Probabilitatea nu atârnă de ordinea tragerii: rămâne 2/10=1/5. „2/9” privește doar cazul în care A nu a câștigat. „1/45” este probabilitatea ca amândoi să câștige. „1/10” numără greșit un singur loz câștigător.

Extragerile sunt 2 din 7, adică 21 de feluri. Amândouă albe dau 6 feluri, deci cu măcar una roșie rămân 21−6=15 feluri. Dintre acestea, amândouă roșii sunt 3: 3/15=1/5. „1/7” lasă numitorul 21, fără a folosi condiția: 3/21. „5/7” este chiar probabilitatea ca măcar una să fie roșie. „3/7” este probabilitatea ca prima bilă să fie roșie.

500×1 plus 100×3 plus 0×6 dă 800 de yeni, împărțit la cele 10 lozuri: 80 de yeni. „200” împarte doar la cele 4 lozuri câștigătoare, 800/4, uitând necâștigătoarele de la numitor. „800” este chiar suma premiilor. „50” privește doar premiul 1: 500/10.

Care 2 focuri nimeresc se poate alege în 3 feluri. Fiecare fel are probabilitatea 1/3×1/3×2/3=2/27, deci 3×2/27=6/27=2/9. „2/27” uită înmulțirea cu cele 3 feluri. „1/27” este probabilitatea de a nimeri de 3 ori. „4/9” este probabilitatea de a nimeri exact o dată.