Vida profissional e busca de emprego · Laboratório de preparação para o SPI
Você pode ler as perguntas e explicações em Português. As aulas (artigos explicativos) estão disponíveis apenas em japonês.
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Três livros são escolhidos entre 5 livros diferentes e colocados em fila em uma estante a partir da esquerda. Quantas disposições há?
Você escolhe e depois ordena, então é uma permutação: 5×4×3=60. Responder 10 dá o número de escolhas sem considerar a ordem, confundindo permutações com combinações. Responder 125 trata o mesmo livro como reutilizável, uma permutação com repetição. Responder 15 vem de 5×3.
De quantas maneiras as quatro pessoas A, B, C e D podem ser colocadas em fila?
As quatro são ordenadas, então 4!=4×3×2×1=24. Responder 12 interrompe o cálculo em 4×3. Responder 16 vem de 4×4. Responder 256 trata a mesma pessoa como reutilizável, 4×4×4×4.
Escolhe-se um item de cada entre 3 tipos de camisa, 4 tipos de calça e 2 tipos de chapéu. Quantas combinações há?
As escolhas são feitas uma após a outra, então vale o princípio multiplicativo: 3×4×2=24. Responder 9 soma, 3+4+2, mas escolhas feitas em sequência se multiplicam. Responder 12 esquece os chapéus, 3×4, e responder 6 esquece as calças, 3×2.
Seis pessoas se sentam a uma mesa redonda. Contando como uma só as disposições que coincidem por rotação, quantas maneiras de se sentar há?
Fixe o lugar de uma pessoa e ordene as cinco restantes: (6−1)!=5!=120. Responder 720 dá 6!, contando separadamente as rotações da mesma disposição. Responder 360 dá 6!/2, que também trataria as imagens espelhadas como iguais. Responder 36 vem de 6×6.
Há um cartão de cada com os números 0, 1, 2, 3 e 4. Usando 3 deles para formar um número de três algarismos, quantos números podem ser formados?
O algarismo das centenas tem 4 opções, excluindo o 0; o das dezenas tem os 4 que restam; o das unidades tem 3. 4×4×3=48. Responder 60 permite o 0 na frente, 5×4×3, esquecendo como o 0 deve ser tratado. Responder 24 conta 4×3×2. Responder 100 trata os algarismos como reutilizáveis, 4×5×5.
Há 3 tipos de símbolo. Se você enfileirar 4 deles, podendo usar o mesmo símbolo quantas vezes quiser, de quantas maneiras é possível fazer a fila?
Da primeira à quarta posição, cada uma pode ser escolhida livremente entre 3 opções, então 3×3×3×3=81 maneiras. 64 maneiras é 4×4×4, o erro de inverter o número de tipos e o número de posições. 12 maneiras é o erro de multiplicar 3×4. 24 maneiras é o valor de 4!, uma contagem contraditória que tenta tornar os 4 símbolos todos diferentes quando só existem 3 tipos.
3 meninos e 2 meninas fazem uma fila. De quantas maneiras eles podem se enfileirar de modo que as 2 meninas fiquem sempre lado a lado?
Considerando as 2 meninas como um bloco, enfileiram-se 4 elementos: 4!=24 maneiras. Dentro do bloco, as 2 meninas podem trocar de lugar, então 24×2!=48 maneiras. 24 maneiras é o erro de esquecer de multiplicar pelo 2! no final. 72 maneiras é o número de casos em que as meninas não ficam lado a lado, confundindo com o evento complementar. 120 maneiras é 5!, o total que ignora a condição.
Quando 3 meninos e 3 meninas fazem uma fila, de quantas maneiras é possível enfileirá-los alternando meninos e meninas?
Há 2 possibilidades conforme a fila comece com um menino ou com uma menina. Em cada caso, os 3 meninos podem se ordenar de 3!=6 maneiras e as 3 meninas de 3!=6 maneiras. 2×6×6=72 maneiras. 36 maneiras é o erro de esquecer de multiplicar pelas 2 possibilidades do início. 144 maneiras é o erro de multiplicar por 2 duas vezes. 720 maneiras é 6!, o total que ignora a condição.
Entre 4 pessoas, escolhem-se 1 presidente e 1 vice-presidente. De quantas maneiras é possível escolher?
Presidente e vice-presidente têm papéis diferentes, então é uma escolha em que a ordem importa. Há 4 opções para presidente e as 3 restantes para vice: 4×3=12 maneiras. 6 maneiras é o número de formas de escolher 2 pessoas ignorando a distinção de cargos, confundindo permutação com combinação. 16 maneiras é 4×4, supondo que a mesma pessoa possa acumular os dois cargos. 4 maneiras conta só a escolha do presidente e esquece de multiplicar pela do vice.
Quando 5 pessoas se sentam a uma mesa redonda, de quantas maneiras elas podem se sentar de modo que 2 pessoas específicas fiquem lado a lado? Disposições que coincidem por rotação contam como 1.
Considerando as 2 pessoas como um bloco, tem-se uma permutação circular de 4 elementos: (4−1)!=6 maneiras. As 2 pessoas dentro do bloco podem ficar em 2 ordens, então 6×2=12 maneiras. 24 maneiras é a permutação circular de 5 pessoas sem condição, 4!=24, esquecendo de usar a condição. 6 maneiras é o erro de esquecer de multiplicar por 2 no final. 48 maneiras é o erro de contar 2×4! sem usar permutação circular.
Ao enfileirar 6 pessoas, de quantas maneiras é possível fazê-lo de modo que A fique à frente de B?
As 6!=720 maneiras de enfileirar as 6 pessoas se dividem exatamente ao meio entre os casos em que A fica à frente e os casos em que B fica à frente. 720/2=360 maneiras. 720 maneiras é o total, esquecendo a condição. 240 maneiras é o erro de dividir 720 por 3. 120 maneiras é o erro de responder 5!.
7 pessoas se sentam a uma mesa redonda. De quantas maneiras elas podem se sentar de modo que 3 pessoas específicas fiquem em sequência? Disposições que coincidem por rotação contam como 1.
Agrupando as 3 pessoas em um bloco, tem-se uma permutação circular de 5 elementos: (5−1)!=24 maneiras. As 3 pessoas dentro do bloco podem se ordenar de 3!=6 maneiras, então 24×6=144 maneiras. 4320 maneiras é o erro de multiplicar por 3! diretamente a permutação circular de 7 pessoas (720), sem perceber que, ao agrupar, o número de elementos cai para 5. 24 maneiras é o erro de esquecer de multiplicar por 3!. 720 maneiras é a permutação circular de 7 pessoas sem condição.
Entre 8 pessoas, escolhem-se 3 representantes. De quantas maneiras é possível escolher?
Os 3 representantes não têm distinção entre si, então é uma combinação. 8×7×6/(3×2×1)=56 maneiras. 336 maneiras é 8×7×6, que conta até a ordem e conta o mesmo trio 3!=6 vezes em duplicidade. 112 maneiras é o erro de dobrar 56. 24 maneiras é o erro de multiplicar 8×3.
Entre 10 pessoas, escolhem-se 2 responsáveis pela limpeza. De quantas maneiras é possível escolher?
Os 2 responsáveis não têm distinção entre si, então 10×9/2=45 maneiras. 90 maneiras é 10×9, com ordem, esquecendo de dividir por 2. 20 maneiras é o erro de fazer 10×2, e 100 maneiras, o de fazer 10×10.
De um grupo de 5 meninos e 4 meninas, escolhem-se 2 meninos e 2 meninas. De quantas maneiras é possível escolher?
Os meninos podem ser escolhidos de 5×4/2=10 maneiras e as meninas de 4×3/2=6 maneiras. As duas escolhas são feitas ao mesmo tempo, então multiplica-se: 10×6=60 maneiras. 16 maneiras é o erro de somar 10+6. 240 maneiras é 20×12, contando até a ordem. 126 maneiras é o erro de escolher 4 entre as 9 pessoas sem distinguir meninos e meninas.
Enfileiram-se 3 bolas vermelhas e 2 bolas brancas. Se bolas da mesma cor não são distinguidas, de quantas maneiras é possível enfileirá-las?
Se as 5 bolas fossem todas distinguidas, seriam 5!=120 maneiras, mas as trocas entre as 3 vermelhas (3!=6 maneiras) e entre as 2 brancas (2!=2 maneiras) geram a mesma fila, então divide-se. 120/(6×2)=10 maneiras. 120 maneiras é esquecer de dividir, 20 maneiras é o erro de dividir só por 3!, e 60 maneiras é o erro de dividir só por 2!.
Enfileiram-se 6 letras no total: 3 A, 2 B e 1 C. De quantas maneiras é possível enfileirá-las?
6!/(3!×2!×1!)=720/12=60 maneiras. 720 maneiras é esquecer de dividir, contando separadamente as trocas entre letras iguais. 120 maneiras é o erro de dividir só por 3!. 30 maneiras é o erro de dividir a mais por 2!, como se também houvesse 2 C.
Em ruas dispostas em grade, chega-se ao destino andando 4 quadras para o leste e 3 quadras para o norte. Quantos caminhos existem sem fazer desvios?
Dos 7 movimentos no total, basta decidir quais 3 serão para o norte para determinar o caminho. 7×6×5/(3×2×1)=35 maneiras. 12 maneiras é o erro de multiplicar 4×3. 21 maneiras é o valor obtido ao contar errado 2 movimentos para o norte. 70 maneiras é o valor obtido ao contar errado 8 movimentos.
Escolhem-se 3 de 5 tipos de cobertura. Sem considerar a ordem, de quantas maneiras é possível escolher?
5×4×3/(3×2×1)=10 maneiras. Pensando em escolher os 2 tipos que ficam de fora, 5×4/2=10 dá o mesmo resultado. 60 maneiras é 5×4×3, considerando até a ordem, confundindo permutação com combinação. 15 maneiras é o erro de fazer 5×3, e 20 maneiras, o de fazer 5×4.
Dividem-se 9 pessoas em 3 grupos de 3. Se os grupos não têm distinção entre si, de quantas maneiras é possível dividi-las?
Se os 3 grupos fossem distinguidos, seriam 84×20×1=1680 maneiras. Como os grupos não têm distinção, as 3!=6 reordenações dos 3 grupos foram contadas em duplicidade. 1680/6=280 maneiras. 1680 maneiras é o erro clássico de esquecer de dividir por 3!. 840 maneiras é o erro de dividir por 2. 84 maneiras responde apenas o número de formas de escolher 3 entre 9 pessoas.
Colocam-se 6 pessoas nas salas A e B, 3 em cada. Se as salas são distinguidas, de quantas maneiras é possível distribuí-las?
Decididas as 3 pessoas que entram na sala A, as restantes ficam determinadas para a sala B, então 6×5×4/(3×2×1)=20 maneiras. 10 maneiras é o número para salas sem distinção, um erro de dividir desnecessariamente por 2. 40 maneiras é o erro de dobrar 20. 720 maneiras é o erro de responder 6!.
Dividem-se 8 pessoas em 2 grupos de 4. Se os grupos não têm distinção entre si, de quantas maneiras é possível dividi-las?
Escolher 4 entre 8 pessoas dá 70 maneiras, mas a divisão em que se trocam as 4 escolhidas pelas 4 restantes é contada duas vezes. 70/2=35 maneiras. 70 maneiras é o erro clássico de esquecer de dividir por 2. 28 maneiras é confundir com o número de formas de escolher 2 entre 8 pessoas. 16 maneiras é o erro de fazer 4×4.
Dividem-se 6 pessoas em 3 grupos de 2. Se os grupos não têm distinção entre si, de quantas maneiras é possível dividi-las?
Com 3 grupos distinguidos, seriam 15×6×1=90 maneiras. Como os grupos não têm distinção, divide-se pelas 3!=6 reordenações dos 3 grupos: 90/6=15 maneiras. 90 maneiras é esquecer de dividir. 45 maneiras é o erro de dividir por 2. 30 maneiras é o erro de dividir por 3 em vez de 3!.
Lança-se 1 dado uma vez. Qual é a probabilidade de sair 3 ou mais?
As faces iguais ou maiores que 3 são 3, 4, 5 e 6, ou seja, 4 casos de um total de 6. 4/6=2/3. 1/2 é 3/6, lendo errado como 4 ou mais. 1/3 é 2/6, como se fosse 5 ou mais. 5/6 é 5/6, como se fosse 2 ou mais. Atenção: "3 ou mais" inclui o próprio 3.
Lançam-se 3 moedas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as 3 darem cara?
Os resultados de cara e coroa são 2×2×2=8, e as 3 caras são 1 caso. 1/8. 1/6 é o erro de contar 6 casos. 1/4 é o valor para 2 moedas. 3/8 é a probabilidade de exatamente 2 moedas darem cara.
Um saco contém 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas. Misturando bem e tirando 1 bola, qual é a probabilidade de ela ser vermelha?
Das 10 bolas no total, 4 são vermelhas. 4/10=2/5. 3/5 é a probabilidade de tirar uma bola branca, confundindo a cor perguntada. 1/5 é o erro de escrever 4/10 como 2/10. 1/2 é o erro de pensar em duas opções, vermelha ou branca; como as quantidades são diferentes, não fica meio a meio.
Lançam-se 2 dados ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de a soma dos resultados ser 7?
Os resultados possíveis são 6×6=36. A soma 7 ocorre com 1 e 6, 2 e 5, 3 e 4 e suas inversões: 6 casos. 6/36=1/6. 5/36 é a probabilidade de a soma ser 6. 1/12 é 3/36, um erro de contagem que ignora a ordem e considera só 3 casos. 1/7 conta numerador e denominador em pares (21 pares), mas esses 21 pares não são igualmente prováveis, por isso está errado.
Lançam-se 4 moedas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de sair cara em pelo menos 1 moeda?
O evento complementar é as 4 moedas darem coroa, com probabilidade 1/16. A probabilidade procurada é 1−1/16=15/16. 1/16 é o erro clássico de responder o evento complementar, esquecendo de subtrair de 1. 1/4 é 4/16, a probabilidade de exatamente 1 moeda dar cara. 1/2 é o valor olhando apenas 1 moeda.
De um saco com 3 bolas vermelhas e 5 bolas brancas, tiram-se 2 bolas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as 2 serem brancas?
Tirar 2 de 8 bolas dá 28 maneiras, e as 2 brancas, escolhendo 2 de 5, dão 10 maneiras. 10/28=5/14. 25/64 é (5/8)², supondo que cada bola seja devolvida antes da próxima retirada; ao tirar ao mesmo tempo, o denominador da segunda cai para 7, por isso está errado. 3/28 é a probabilidade de as 2 serem vermelhas. 25/28 é a probabilidade de pelo menos 1 ser branca.
Um saco contém 5 bolas brancas e 3 bolas vermelhas. Tirando 2 bolas ao mesmo tempo, qual é a probabilidade de pelo menos 1 ser vermelha?
O evento complementar é as 2 serem brancas: 10/28=5/14. 1−5/14=9/14. 5/14 é o erro de responder o evento complementar, esquecendo de subtrair de 1. 15/28 é a probabilidade de exatamente 1 ser vermelha, esquecendo de somar o caso das 2 vermelhas. 3/28 é a probabilidade de as 2 serem vermelhas.
A probabilidade de A acertar o alvo é 2/3 e a de B é 1/2, e os resultados dos dois não se influenciam. Qual é a probabilidade de pelo menos um deles acertar o alvo?
O evento complementar é os dois errarem: 1/3×1/2=1/6. 1−1/6=5/6. 1/3 é a probabilidade de os dois acertarem, 2/3×1/2. 1/6 é o erro de responder o evento complementar. 1/2 é a probabilidade de exatamente um deles acertar. Note que somar as probabilidades diretamente, 2/3+1/2, passa de 1, o que mostra que não dá para resolver com uma soma.
Entre 10 bilhetes de sorteio há 2 premiados. A e B tiram 1 bilhete cada, nessa ordem, sem devolver o bilhete tirado. Qual é a probabilidade de B tirar um bilhete premiado?
Se A tirar um premiado: 2/10×1/9; se A tirar um não premiado: 8/10×2/9. Somando, 2/90+16/90=18/90=1/5. Independentemente da ordem, a probabilidade continua sendo 2/10=1/5. 2/9 é o erro de considerar só o caso em que A não ganha. 1/45 é a probabilidade de os dois ganharem. 1/10 é o erro de contar apenas 1 bilhete premiado.
De um saco com 3 bolas vermelhas e 4 bolas brancas, tiraram-se 2 bolas ao mesmo tempo e soube-se que pelo menos 1 é vermelha. Qual é a probabilidade de as 2 serem vermelhas?
Tirar 2 de 7 bolas dá 21 maneiras. As 2 brancas são 6 maneiras, então pelo menos 1 vermelha são 21−6=15 maneiras. Destas, as 2 vermelhas são 3 maneiras: 3/15=1/5. 1/7 é 3/21, sem usar a condição e mantendo o denominador 21. 5/7 é a própria probabilidade de pelo menos 1 ser vermelha. 3/7 é a probabilidade de a primeira bola ser vermelha.
Entre 10 bilhetes de sorteio, 1 é o 1º prêmio de 500 ienes, 3 são o 2º prêmio de 100 ienes e os 6 restantes não são premiados (0 iene). Ao tirar 1 bilhete, qual é o valor esperado do dinheiro recebido?
Somando 500×1, 100×3 e 0×6, obtém-se 800 ienes; dividindo pelos 10 bilhetes, 80 ienes. 200 ienes é 800/4, a média só entre os 4 bilhetes premiados, esquecendo de incluir os não premiados no denominador. 800 ienes é o próprio total dos prêmios. 50 ienes é 500/10, considerando só o 1º prêmio.
Fazem-se 3 tiros com taxa de acerto de 1/3. Qual é a probabilidade de acertar exatamente 2 dos 3?
Há 3 possibilidades para quais 2 tiros acertam. Cada uma tem probabilidade 1/3×1/3×2/3=2/27, então 3×2/27=6/27=2/9. 2/27 é o erro de esquecer de multiplicar pelo número de casos, 3. 1/27 é a probabilidade de acertar os 3. 4/9 é a probabilidade de acertar exatamente 1 vez.
Esta é uma ferramenta de prática com perguntas em ordem aleatória (funciona quando o JavaScript está ativado). Mesmo sem ela, você pode ler todas as perguntas e explicações acima.
* As explicações são informações para fins de estudo. O conteúdo e o sistema dos exames mudam de ano para ano, por isso confira sempre os comunicados oficiais da entidade organizadora.
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