ملازمت کی زندگی اور ملازمت کی تلاش · SPI تیاری لیب
سوالات اور وضاحتیں اردو میں پڑھی جا سکتی ہیں۔ لیکچرز (وضاحتی مضامین) صرف جاپانی ورژن میں دستیاب ہیں۔
جاپانی ورژن (لیکچرز کے ساتھ) دیکھیں →
72 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے چلنے والی ایک گاڑی 2 گھنٹے 30 منٹ تک چلتی رہتی ہے۔ یہ کتنے کلومیٹر طے کرتی ہے؟
فاصلہ = رفتار × وقت۔ 2 گھنٹے 30 منٹ، 2.5 گھنٹے ہیں، اس لیے 72 × 2.5 = 180 km۔ 144 km صرف 2 گھنٹے کا فاصلہ ہے۔ 174 km، 72 × 2 + 30 سے آتا ہے، یعنی 30 منٹ کو سیدھا فاصلے میں جوڑنا۔ 216 km اسے 3 گھنٹے سمجھنا ہے۔
45 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے 108 km طے کرنے میں کتنا وقت لگتا ہے؟
وقت = فاصلہ ÷ رفتار = 108 ÷ 45 = 2.4 گھنٹے۔ اعشاری حصے 0.4 کو 60 سے ضرب دینے پر 24 منٹ آتے ہیں، اس لیے 2 گھنٹے 24 منٹ۔ “2 گھنٹے 40 منٹ” عام غلطی ہے جس میں 2.4 کے 4 کو 40 منٹ پڑھ لیا جاتا ہے۔ “2 گھنٹے 4 منٹ” میں 0.4 کو سیدھا 4 منٹ سمجھ لیا گیا ہے۔
آپ 15 منٹ میں 1200 m چلے۔ یہ رفتار کلومیٹر فی گھنٹہ میں کتنی ہے؟
فی منٹ رفتار 1200 ÷ 15 = 80 m ہے۔ ایک گھنٹہ 60 منٹ کا ہے، اس لیے 80 × 60 = 4800 m، یعنی 4.8 کلومیٹر فی گھنٹہ۔ “80 کلومیٹر فی گھنٹہ” فی منٹ 80 m کے عدد کو سیدھا فی گھنٹہ رفتار پڑھ لینا ہے۔ “48 کلومیٹر فی گھنٹہ” 4800 m کو کلومیٹر میں بدلتے وقت ایک ہندسے کی غلطی ہے۔
15 میٹر فی سیکنڈ کو کلومیٹر فی گھنٹہ میں بدلا جائے تو کتنا ہوگا؟
ایک گھنٹہ 3600 سیکنڈ اور ایک کلومیٹر 1000 m ہے، اس لیے میٹر فی سیکنڈ سے کلومیٹر فی گھنٹہ میں جانے کے لیے 3.6 سے ضرب دیں: 15 × 3.6 = 54 km۔ “90 کلومیٹر فی گھنٹہ” میں 3.6 کے بجائے 6 سے ضرب دی گئی۔ “900 کلومیٹر فی گھنٹہ” میں 15 × 60 پر رک گئے، جو 900 میٹر فی منٹ ہے، اور اکائی نہیں بدلی۔ “0.9 کلومیٹر فی گھنٹہ” میں اس 900 میٹر فی منٹ کو 0.9 km پڑھ کر پھر غلطی سے فی گھنٹہ رفتار کہہ دیا گیا۔
مقام A اور B کے درمیان آنا جانا کیا گیا، جاتے ہوئے 30 کلومیٹر فی گھنٹہ اور واپسی پر 20 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے۔ پورے سفر کی اوسط رفتار کیا ہے؟
فرض کریں ایک طرف کا فاصلہ 60 km ہے: جانے میں 2 گھنٹے اور واپسی میں 3 گھنٹے لگتے ہیں، یعنی 120 km کے لیے کل 5 گھنٹے۔ 120 ÷ 5 = 24 کلومیٹر فی گھنٹہ۔ “25 کلومیٹر فی گھنٹہ” 30 اور 20 کا سادہ اوسط ہے، لیکن اوسط رفتار رفتاروں کا اوسط نہیں ہوتی۔ “50 کلومیٹر فی گھنٹہ” محض انہیں جمع کرنا ہے۔ “12 کلومیٹر فی گھنٹہ”، 30 × 20 ÷ 50 سے آتا ہے، جس میں دگنا کرنا بھول گئے۔
12 km کے ایک راستے میں سے پہلے 6 km، 9 کلومیٹر فی گھنٹہ اور باقی 6 km، 18 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے طے کیے گئے۔ پورے راستے کی اوسط رفتار کیا ہے؟
پہلے 6 km میں 6 ÷ 9 = 2/3 گھنٹہ اور باقی میں 6 ÷ 18 = 1/3 گھنٹہ لگتا ہے، کل ٹھیک 1 گھنٹہ۔ 12 ÷ 1 = 12 کلومیٹر فی گھنٹہ۔ “13.5 کلومیٹر فی گھنٹہ” 9 اور 18 کا سادہ اوسط ہے۔ “27 کلومیٹر فی گھنٹہ” محض انہیں جمع کرنا ہے۔ “6 کلومیٹر فی گھنٹہ”، 9 × 18 ÷ 27 سے آتا ہے، جس میں دگنا کرنا بھول گئے۔
گھر سے اسٹیشن تک 60 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلنے پر آپ ملاقات میں 5 منٹ دیر سے پہنچتے ہیں، جبکہ 80 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلنے پر 3 منٹ پہلے پہنچ جاتے ہیں۔ گھر سے اسٹیشن کتنے میٹر ہے؟
فاصلہ d میٹر مان لیں۔ d ÷ 60 اور d ÷ 80 کا فرق 5 + 3 = 8 منٹ ہے۔ d × (1/60 − 1/80) = d ÷ 240 = 8، اس لیے d = 1920 m۔ تصدیق: دونوں اوقات 32 اور 24 منٹ ہیں، فرق 8 منٹ۔ 480 m، 8 منٹ کو 60 میٹر فی منٹ سے ضرب دینا اور 640 m، اسے 80 میٹر فی منٹ سے ضرب دینا ہے۔
ایک راستہ گاڑی سے 40 کلومیٹر فی گھنٹہ پر طے کرنے میں 50 کلومیٹر فی گھنٹہ کے مقابلے میں 9 منٹ زیادہ لگتے ہیں۔ راستہ کتنا لمبا ہے؟
9 منٹ، 0.15 گھنٹے ہیں۔ فاصلہ d km مان لیں؛ تو d ÷ 40 − d ÷ 50 = d ÷ 200 = 0.15، اس لیے d = 30 km۔ تصدیق: دونوں اوقات 45 اور 36 منٹ ہیں، فرق 9 منٹ۔ 6 km، 40 × 0.15 اور 7.5 km، 50 × 0.15 ہے، یعنی ہر ایک میں وقت کے فرق کو کسی ایک رفتار سے ضرب دی گئی۔
صبح 9:40 پر روانہ ہو کر آپ نے 6 km کا راستہ 4 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے پیدل طے کیا۔ آپ کس وقت پہنچے؟
سفر میں 6 ÷ 4 = 1.5 گھنٹے، یعنی 1 گھنٹہ 30 منٹ لگتے ہیں۔ 9:40 کے ڈیڑھ گھنٹے بعد 11:10 ہے۔ “صبح 10:55” میں 1.5 گھنٹے کو 1 گھنٹہ 15 منٹ پڑھ لیا گیا۔ “صبح 11:40” اسے 2 گھنٹے اور “صبح 10:40” اسے 1 گھنٹہ سمجھنا ہے۔
ایک ہی راستے پر A کی رفتار B کی رفتار کا 1.2 گنا ہے۔ جب A کو 30 منٹ لگیں تو B کو کتنے منٹ لگیں گے؟
ایک ہی فاصلے پر وقت رفتار کے بالعکس متناسب ہوتا ہے۔ اگر A کی رفتار B کی 1.2 گنا ہے تو B کا وقت A کے وقت کا 1.2 گنا ہے: 30 × 1.2 = 36 منٹ۔ “25 منٹ”، 30 ÷ 1.2 سے آتا ہے، یعنی رفتاروں کی نسبت کو سیدھا اوقات پر لگانا۔ “24 منٹ”، 30 × 0.8 سے آتا ہے۔ یہ دیکھ لینا کہ B سست ہے، اس لیے وقت 30 منٹ سے زیادہ ہونا چاہیے، فوراً جواب محدود کر دیتا ہے۔
قصبے A اور B کے درمیان سائیکل پر آنا جانا کیا گیا، جاتے ہوئے 12 کلومیٹر فی گھنٹہ اور واپسی پر 18 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے، اور کل 5 گھنٹے لگے۔ قصبے A اور B کتنے فاصلے پر ہیں؟
ایک طرف کا فاصلہ d km مان لیں؛ تو d ÷ 12 + d ÷ 18 = 5۔ مشترک نسب نما پر 5d ÷ 36 = 5، اس لیے d = 36 km۔ تصدیق: دونوں حصوں میں 3 گھنٹے اور 2 گھنٹے لگتے ہیں، کل 5 گھنٹے۔ 75 km، 5 گھنٹوں کو 12 اور 18 کے سادہ اوسط، 15 کلومیٹر فی گھنٹہ، سے ضرب دینا ہے۔ 72 km آنے جانے کا فاصلہ ہے، پوچھا گیا ایک طرف کا فاصلہ نہیں۔
مقام A سے مقام B تک، راستے کا ایک تہائی 6 کلومیٹر فی گھنٹہ پر پیدل اور باقی 15 کلومیٹر فی گھنٹہ پر سائیکل سے طے کیا گیا، اور کل 1 گھنٹہ 24 منٹ لگے۔ A سے B کتنا فاصلہ ہے؟
فاصلہ d km مان لیں۔ وقت d/3 ÷ 6 + 2d/3 ÷ 15 = d/18 + 2d/45 = 9d/90 = d/10 گھنٹے ہے۔ 1 گھنٹہ 24 منٹ، 1.4 گھنٹے ہیں، اس لیے d ÷ 10 = 1.4 اور d = 14 km۔ 14.7 km، 1.4 گھنٹوں کو 6 اور 15 کے سادہ اوسط، 10.5 کلومیٹر فی گھنٹہ، سے ضرب دینا ہے۔ 8.4 km، 6 × 1.4 اور 21 km، 15 × 1.4 ہے، یعنی ہر ایک میں پورے راستے کے لیے صرف ایک رفتار استعمال کی گئی۔
1800 m کے فاصلے پر واقع دو مقامات سے A اور B ایک ہی لمحے ایک دوسرے کی طرف چل پڑتے ہیں۔ A، 70 میٹر فی منٹ اور B، 80 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلتا ہے۔ کتنے منٹ بعد وہ ملتے ہیں؟
چونکہ وہ آمنے سامنے ہیں، فاصلہ رفتاروں کے مجموعے سے کم ہوتا ہے: 1800 ÷ (70 + 80) = 1800 ÷ 150 = 12 منٹ۔ “180 منٹ” پیچھا کرنے کا فارمولا استعمال کرنا ہے، یعنی 10 کے فرق سے تقسیم۔ “24 منٹ” اوسط رفتار، 75 میٹر فی منٹ، سے تقسیم کرنا ہے۔ “22.5 منٹ” صرف B کی 80 میٹر فی منٹ سے تقسیم کرنا ہے۔
چھوٹا بھائی 60 میٹر فی منٹ کی رفتار سے گھر سے نکلا، اور 10 منٹ بعد بڑا بھائی اسی راستے پر 90 میٹر فی منٹ کی رفتار سے اسے پکڑنے نکلا۔ بڑے بھائی کے روانہ ہونے کے کتنے منٹ بعد وہ اسے جا لیتا ہے؟
جب بڑا بھائی روانہ ہوتا ہے تو چھوٹا بھائی 60 × 10 = 600 m آگے ہوتا ہے۔ وہ ایک ہی سمت میں جاتے ہیں، اس لیے فاصلہ رفتاروں کے فرق سے کم ہوتا ہے: 600 ÷ (90 − 60) = 20 منٹ۔ “4 منٹ” ملنے کا فارمولا استعمال کرنا ہے، یعنی مجموعے 150 سے تقسیم۔ “30 منٹ” چھوٹے بھائی کی روانگی سے وقت ہے، لیکن سوال بڑے بھائی کی روانگی سے پوچھتا ہے۔
1200 m محیط والے ایک تالاب کے گرد A، 90 میٹر فی منٹ اور B، 70 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلتا ہے، دونوں ایک ہی مقام سے ایک ہی سمت میں ایک ہی لمحے روانہ ہوتے ہیں۔ کتنے منٹ بعد A پہلی بار B کو جا لیتا ہے؟
ایک ہی سمت میں چلتے ہوئے A اس وقت B کو جا لیتا ہے جب برتری ایک پورے چکر کے برابر ہو جائے: 1200 ÷ (90 − 70) = 60 منٹ۔ “7.5 منٹ” رفتاروں کا مجموعہ، 160، استعمال کرنا ہے، جو مخالف سمتوں میں چلنے کا فارمولا ہے۔ “120 منٹ” ایک کے بجائے دو چکروں کی برتری سے حساب کرنا ہے۔
180 m لمبی ایک ٹرین 72 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے چلتی ہے اور 900 m لمبا ریلوے پل پار کرتی ہے۔ پل پار کرنا شروع کرنے سے ختم کرنے تک کتنے سیکنڈ لگتے ہیں؟
72 کلومیٹر فی گھنٹہ، 72 ÷ 3.6 = 20 میٹر فی سیکنڈ ہے۔ اگلا سرا داخل ہونے سے پچھلا سرا نکلنے تک ٹرین 900 + 180 = 1080 m طے کرتی ہے، اس لیے 1080 ÷ 20 = 54 سیکنڈ۔ “45 سیکنڈ” ٹرین کی اپنی لمبائی جوڑنا بھول جانا، 900 ÷ 20، ہے۔ “15 سیکنڈ” میٹر فی سیکنڈ میں نہ بدلنا، 1080 ÷ 72، ہے۔ “9 سیکنڈ” صرف ٹرین کی لمبائی، 180 ÷ 20، طے کرنا ہے۔
ٹرین A، جو 150 m لمبی ہے، 90 کلومیٹر فی گھنٹہ اور ٹرین B، جو 250 m لمبی ہے، 54 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے ایک دوسرے کی طرف چل رہی ہیں۔ گزرنا شروع ہونے سے مکمل گزر جانے تک کتنے سیکنڈ لگتے ہیں؟
آمنے سامنے ہونے کی وجہ سے نسبتی رفتار 90 + 54 = 144 کلومیٹر فی گھنٹہ، یعنی 40 میٹر فی سیکنڈ ہے۔ طے کرنے کا فاصلہ دونوں لمبائیاں ملا کر 150 + 250 = 400 m ہے، اس لیے 400 ÷ 40 = 10 سیکنڈ۔ “40 سیکنڈ” فرق، 36 کلومیٹر فی گھنٹہ یعنی 10 میٹر فی سیکنڈ، استعمال کرنا ہے، جو آگے نکلنے کا فارمولا ہے۔ “20 سیکنڈ” رفتاروں کا سادہ اوسط، 72 کلومیٹر فی گھنٹہ یا 20 میٹر فی سیکنڈ، لینا ہے۔
یکساں رفتار سے چلنے والی ایک ٹرین کو 400 m لمبی سرنگ میں داخل ہونے سے نکلنے تک 25 سیکنڈ، اور 700 m لمبا پل پار کرنا شروع کرنے سے ختم کرنے تک 40 سیکنڈ لگے۔ ٹرین کتنی لمبی ہے؟
فاصلے کا فرق 700 − 400 = 300 m اور وقت کا فرق 40 − 25 = 15 سیکنڈ ہے، اس لیے رفتار 300 ÷ 15 = 20 میٹر فی سیکنڈ ہے۔ سرنگ میں یہ 25 × 20 = 500 m طے کرتی ہے، اس لیے ٹرین 500 − 400 = 100 m لمبی ہے۔ “20m” میں 20 میٹر فی سیکنڈ کی رفتار کو لمبائی سمجھ لیا گیا۔ “300m” فاصلے کے فرق کو لمبائی سمجھنا ہے۔
ساکن پانی میں 15 کلومیٹر فی گھنٹہ رفتار والی ایک کشتی 3 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بہنے والے دریا میں بہاؤ کے ساتھ 54 km جاتی ہے۔ کتنا وقت لگتا ہے؟
بہاؤ کے ساتھ رفتار 15 + 3 = 18 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے، اس لیے 54 ÷ 18 = 3 گھنٹے۔ “4 گھنٹے 30 منٹ” بہاؤ کے خلاف رفتار، 15 − 3 = 12 کلومیٹر فی گھنٹہ، استعمال کر کے 54 ÷ 12 = 4.5 گھنٹے نکالنا ہے۔ “3 گھنٹے 36 منٹ” بہاؤ کو نظرانداز کرنا، 54 ÷ 15 = 3.6 گھنٹے، ہے۔
ایک کشتی دریا کا وہی 24 km کا حصہ بہاؤ کے ساتھ 2 گھنٹے میں اور بہاؤ کے خلاف 3 گھنٹے میں طے کرتی ہے۔ ساکن پانی میں کشتی کی رفتار اور بہاؤ کی رفتار کا کون سا جوڑ درست ہے؟
بہاؤ کے ساتھ 24 ÷ 2 = 12 کلومیٹر فی گھنٹہ اور بہاؤ کے خلاف 24 ÷ 3 = 8 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے۔ ساکن پانی (12 + 8) ÷ 2 = 10 کلومیٹر فی گھنٹہ اور بہاؤ (12 − 8) ÷ 2 = 2 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے۔ “20 اور 4” میں مجموعے اور فرق کو آدھا کرنا بھول گئے۔ “ساکن پانی 12” بہاؤ کے ساتھ رفتار کو ساکن پانی کی رفتار سمجھنا ہے۔
ایک کشتی کو بہاؤ کے خلاف 45 km جانے میں 5 گھنٹے اور اسی حصے پر بہاؤ کے ساتھ واپس آنے میں 3 گھنٹے لگے۔ بہاؤ کی رفتار کیا ہے؟
بہاؤ کے خلاف 45 ÷ 5 = 9 کلومیٹر فی گھنٹہ اور بہاؤ کے ساتھ 45 ÷ 3 = 15 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے۔ بہاؤ (15 − 9) ÷ 2 = 3 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے۔ “6 کلومیٹر فی گھنٹہ” میں فرق کو آدھا کرنا بھول گئے۔ “12 کلومیٹر فی گھنٹہ” ساکن پانی کی رفتار، (15 + 9) ÷ 2، ہے، بہاؤ نہیں۔ “24 کلومیٹر فی گھنٹہ” محض دونوں رفتاروں کو جمع کرنا ہے۔
ساکن پانی میں 20 کلومیٹر فی گھنٹہ رفتار والی ایک کشتی 5 کلومیٹر فی گھنٹہ کی رفتار سے بہنے والے دریا میں بہاؤ کے خلاف 45 km جاتی ہے۔ کتنا وقت لگتا ہے؟
بہاؤ کے خلاف رفتار 20 − 5 = 15 کلومیٹر فی گھنٹہ ہے، اس لیے 45 ÷ 15 = 3 گھنٹے۔ “1 گھنٹہ 48 منٹ” بہاؤ کے ساتھ رفتار، 20 + 5 = 25 کلومیٹر فی گھنٹہ، استعمال کر کے 45 ÷ 25 = 1.8 گھنٹے نکالنا ہے۔ “2 گھنٹے 15 منٹ” بہاؤ کو نظرانداز کرنا، 45 ÷ 20 = 2.25 گھنٹے، ہے۔
3600 m محیط والے ایک تالاب کے گرد A اور B ایک ہی مقام سے مخالف سمتوں میں ایک ہی لمحے روانہ ہوتے ہیں۔ A، 100 میٹر فی منٹ اور B، 80 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلتا ہے۔ کتنے منٹ بعد وہ دوسری بار ملتے ہیں؟
مخالف سمتوں میں چلتے ہوئے، دونوں مل کر جب بھی ایک پورا چکر طے کرتے ہیں، ایک بار ملتے ہیں۔ پہلی ملاقات 3600 ÷ (100 + 80) = 20 منٹ پر، اور دوسری اس کے دگنے، 40 منٹ پر ہے۔ “20 منٹ” پہلی ملاقات ہے۔ “180 منٹ” فرق 20 کے ساتھ پیچھا کرنے کا فارمولا استعمال کرنا ہے۔ “360 منٹ” وہ وقت ہے جب ایک ہی سمت میں چلنے کی صورت میں دوسری بار جا لیا جاتا۔
4500 m کے فاصلے پر واقع دو مقامات سے A اور B ایک ہی لمحے ایک دوسرے کی طرف روانہ ہوتے ہیں۔ A، 90 میٹر فی منٹ اور B، 60 میٹر فی منٹ کی رفتار سے چلتا ہے، لیکن A نے روانگی کے 10 منٹ بعد سے 5 منٹ آرام کیا۔ آغاز سے کتنے منٹ بعد وہ ملتے ہیں؟
آغاز سے 15 منٹ پر A نے 90 × 10 = 900 m اور B نے 60 × 15 = 900 m طے کیے ہیں، باقی 4500 − 1800 = 2700 m رہتے ہیں۔ وہاں سے فاصلہ دونوں کی مجموعی 150 میٹر فی منٹ سے کم ہوتا ہے، اس لیے 2700 ÷ 150 = 18 منٹ، یعنی 15 + 18 = 33 منٹ۔ “30 منٹ”، 4500 ÷ 150 ہے، جو آرام کے بغیر کا جواب ہے۔ “35 منٹ” اسی 30 میں سیدھا 5 منٹ آرام جوڑنا ہے، لیکن آرام کے دوران B چلتا رہتا ہے، اس لیے وہ دراصل اس سے پہلے ملتے ہیں۔
ایک کام A اکیلے 12 دن میں اور B اکیلے 6 دن میں کرتا ہے۔ دونوں مل کر کام کریں تو کتنے دن لگیں گے؟
پورے کام کو 1 مانیں تو وہ روزانہ 1/12 + 1/6 = 1/4 کرتے ہیں، اس لیے 4 دن۔ پورے کام کو 12 مانیں تو روزانہ 1 اور 2، یعنی مل کر 3، اور مکمل اعداد میں 12 ÷ 3 = 4 دن۔ “9 دن”، 12 اور 6 کا سادہ اوسط ہے، اور “18 دن” دنوں کی تعداد جمع کرنا ہے۔ چونکہ دو افراد کام کر رہے ہیں، جواب B کے اکیلے 6 دن سے کم ہونا چاہیے۔
ایک ٹینک بھرنے میں صرف پائپ A سے 15 منٹ اور صرف پائپ B سے 10 منٹ لگتے ہیں۔ دونوں ایک ساتھ استعمال کریں تو بھرنے میں کتنے منٹ لگیں گے؟
فی منٹ وہ 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6 بھرتے ہیں، اس لیے 6 منٹ۔ “12.5 منٹ”، 15 اور 10 کا سادہ اوسط، “25 منٹ” انہیں جمع کرنا اور “5 منٹ” تفریق ہے۔ دونوں چلنے پر جواب صرف پائپ B کے 10 منٹ سے کم ہونا چاہیے۔
ایک کام A اکیلے 20 دن میں اور B اکیلے 30 دن میں کرتا ہے۔ دونوں نے 6 دن مل کر کام کیا اور پھر باقی A نے اکیلے مکمل کیا۔ A نے اکیلے کتنے دن کام کیا؟
مل کر وہ روزانہ 1/20 + 1/30 = 1/12 کرتے ہیں، اس لیے 6 دن میں 6/12 = 1/2 ہو جاتا ہے۔ باقی 1/2 اکیلے کرنے میں A کو 1/2 ÷ 1/20 = 10 دن لگتے ہیں۔ “16 دن” A کے کام کے کل دن، 6 + 10، ہیں، اکیلے کام کے دن نہیں۔ “12 دن” وہ مدت ہے جو دونوں کے آخر تک کام کرنے پر لگتی۔
ایک کام A اور B مل کر 12 دن میں اور B اکیلے 20 دن میں کرتا ہے۔ A اکیلے کتنے دن میں کرے گا؟
A روزانہ 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30 کرتا ہے، اس لیے 30 دن۔ “8 دن” دنوں کی تعداد کی تفریق، 20 − 12، اور “32 دن” ان کا مجموعہ ہے۔ تصدیق: 1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 1/12، جو شرط کے مطابق ہے۔
ایک تعمیراتی کام میں 12 افراد کو 20 دن لگتے ہیں۔ یہی کام 15 دن میں مکمل کرنے کے لیے کتنے افراد درکار ہیں؟
کل محنت 12 × 20 = 240 فرد-دن مقرر ہے، اس لیے 240 ÷ 15 = 16 افراد۔ “9 افراد”، 12 × 15 ÷ 20 سے آتا ہے، جس میں افراد کو دنوں کے راست متناسب مانا گیا، جو خود متضاد ہے: افرادی قوت کم کر کے دن کم نہیں کیے جا سکتے۔ “4 افراد” اضافی درکار افراد، 16 − 12، ہیں، کل مطلوبہ تعداد نہیں۔
ایک کام A اکیلے 10 دن میں اور B اکیلے 15 دن میں کرتا ہے۔ وہ ایک ایک دن باری باری کام کرتے ہیں، پہلے دن A، دوسرے دن B، اور اسی طرح۔ کام کس دن مکمل ہوتا ہے؟
پورے کام کو 30 مانیں تو A روزانہ 3 اور B روزانہ 2 کرتا ہے، اس لیے ہر 2 دن میں 5 ہوتا ہے۔ ایسے چھ جوڑے، یعنی 12 دن، ٹھیک 5 × 6 = 30 بنتے ہیں، اس لیے کام بارہویں دن ختم ہوتا ہے۔ “چھٹے دن” وہ مدت ہے جو دونوں کے ایک ساتھ کام کرنے پر لگتی؛ باری باری کام میں تقریباً دگنا وقت لگتا ہے۔ “پچیسویں دن”، 10 اور 15 کو جمع کرنا ہے۔
ایک ٹینک صرف پائپ A سے 20 منٹ میں اور صرف پائپ B سے 30 منٹ میں بھرتا ہے۔ صرف پائپ C اسے 15 منٹ میں خالی کر دیتا ہے۔ خالی ٹینک سے شروع کر کے تینوں کھلے ہوں تو بھرنے میں کتنے منٹ لگیں گے؟
فی منٹ سطح 1/20 + 1/30 − 1/15 = (3 + 2 − 4) ÷ 60 = 1/60 بدلتی ہے، اس لیے 60 منٹ۔ “12 منٹ” نکاسی کو نظرانداز کرنا، 1/20 + 1/30 = 1/12، ہے۔ “35 منٹ” کسروں کے بجائے سیدھے اوقات، 20 + 30 − 15، سے حساب کرنا ہے۔ چونکہ آمد اخراج سے زیادہ ہے، ٹینک آخرکار بھر ہی جاتا ہے، چاہے جتنا وقت لگے۔
480 L کے ایک ٹینک میں ایک پائپ فی منٹ 20 L اور دوسرا فی منٹ 12 L پانی ڈالتا ہے۔ دونوں ایک ساتھ استعمال کریں تو خالی ٹینک بھرنے میں کتنے منٹ لگیں گے؟
مل کر وہ فی منٹ 20 + 12 = 32 L ڈالتے ہیں، اس لیے 480 ÷ 32 = 15 منٹ۔ “24 منٹ” صرف 20 L والا پائپ، 480 ÷ 20، اور “40 منٹ” صرف 12 L والا پائپ، 480 ÷ 12، استعمال کرنا ہے۔ دونوں چلنے پر جواب تیز پائپ کے 24 منٹ سے کم ہونا چاہیے۔
600 L کا ایک ٹینک پہلے 8 منٹ صرف پائپ A (فی منٹ 25 L) سے بھرا گیا، پھر پائپ B (فی منٹ 15 L) شامل کیا گیا یہاں تک کہ ٹینک بھر گیا۔ پائپ B شامل کرنے سے ٹینک بھرنے تک کتنے منٹ لگے؟
8 منٹ میں 25 × 8 = 200 L جاتا ہے، باقی 400 L رہتا ہے۔ دونوں پائپ مل کر فی منٹ 25 + 15 = 40 L ڈالتے ہیں، اس لیے 400 ÷ 40 = 10 منٹ۔ “15 منٹ” پہلے 8 منٹ کو نظرانداز کرنا، 600 ÷ 40، ہے۔ “16 منٹ” باقی 400 L صرف پائپ A سے بھرنا، 400 ÷ 25، ہے۔ “24 منٹ” پورے 600 L صرف پائپ A سے بھرنے کا وقت ہے۔
ایک کام A اور B مل کر 8 دن میں، B اور C مل کر 12 دن میں، اور A اور C مل کر 24 دن میں کرتے ہیں۔ تینوں مل کر کتنے دن میں کریں گے؟
تینوں جوڑوں کی روزانہ شرحیں جمع کرنے پر 1/8 + 1/12 + 1/24 = 3/24 + 2/24 + 1/24 = 1/4 آتا ہے، جو تینوں کی مشترکہ شرح کا ٹھیک دگنا ہے۔ تینوں مل کر روزانہ 1/4 ÷ 2 = 1/8 کرتے ہیں، اس لیے 8 دن۔ “4 دن” میں 1/4 کو تینوں کی شرح سمجھ کر آدھا کرنا بھول گئے۔ “44 دن”، 8، 12 اور 24 کو جمع کرنا ہے۔
ایک کام A اکیلے 18 دن میں اور B اکیلے 9 دن میں کرتا ہے۔ پہلے 6 دن A نے اکیلے کام کیا، اس کے بعد B شامل ہوا اور دونوں نے اسے مکمل کیا۔ شروع سے آخر تک کتنے دن لگے؟
A کے 6 دن میں 6 × 1/18 = 1/3 مکمل ہوتا ہے، باقی 2/3 رہتا ہے۔ مل کر وہ روزانہ 1/18 + 1/9 = 3/18 = 1/6 کرتے ہیں، اس لیے باقی میں 2/3 ÷ 1/6 = 4 دن لگتے ہیں۔ کل 6 + 4 = 10 دن۔ “4 دن” صرف مل کر کام کے دن ہیں۔ “12 دن”، 6 + 6 ہے، یعنی وہ صورت جس میں باقی کام B اکیلے مکمل کرے۔ “27 دن”، 18 اور 9 کو جمع کرنا ہے۔
یہ بے ترتیب سوالات والا مشق کا ٹول ہے (JavaScript فعال ہونے پر کام کرتا ہے)۔ اوپر دیے گئے تمام سوالات اور وضاحتیں اس کے بغیر بھی پڑھی جا سکتی ہیں۔
※ وضاحتیں مطالعے کے مقصد کے لیے معلومات ہیں۔ امتحان کا نصاب اور نظام سال بہ سال بدل سکتا ہے، اس لیے امتحان منعقد کرنے والے ادارے کے سرکاری اعلانات ضرور دیکھیں۔
یہ صفحہ جاپانی اصل متن کا ترجمہ ہے۔ اگر ترجمے اور اصل متن میں فرق ہو تو جاپانی ورژن کو ترجیح دی جائے گی۔ جاپانی اصل متن دیکھیں