Vận tốc và bài toán công việc

Quãng đường bằng vận tốc nhân thời gian. Hai giờ 30 phút là 2,5 giờ nên 72 × 2,5 = 180 km. Phương án 144 km là do chỉ tính phần 2 giờ. Phương án 174 km là do lấy 72 × 2 rồi cộng thẳng 30 phút vào quãng đường. Phương án 216 km là do tính thành 3 giờ.

Thời gian bằng quãng đường chia vận tốc, tức 108 ÷ 45 = 2,4 giờ. Phần thập phân 0,4 nhân 60 được 24 phút, vậy là 2 giờ 24 phút. Phương án 2 giờ 40 phút là lỗi kinh điển do đọc số 4 trong 2,4 thành 40 phút. Phương án 2 giờ 4 phút là do lấy thẳng 0,4 thành 4 phút.

Vận tốc theo phút là 1.200 ÷ 15 = 80 m/phút. Một giờ có 60 phút nên 80 × 60 = 4.800 m, tức 4,8 km/giờ. Phương án 80 km/giờ là do lấy thẳng con số 80 m/phút làm km/giờ. Phương án 48 km/giờ là do nhầm một hàng khi đổi 4.800 m sang km.

Một giờ có 3.600 giây và một km là 1.000 m, nên đổi từ m/giây sang km/giờ thì nhân với 3,6. Ta có 15 × 3,6 = 54 km/giờ. Phương án 90 km/giờ là do nhân với 6 thay vì 3,6. Phương án 900 km/giờ là do lấy 15 × 60 ra 900 m/phút rồi dừng lại và cũng không đổi đơn vị. Phương án 0,9 km/giờ là do đổi 900 m/phút thành 0,9 km rồi đọc nhầm thành km/giờ.

Giả sử một lượt dài 60 km thì lượt đi mất 2 giờ, lượt về mất 3 giờ, tổng 5 giờ cho quãng đường 120 km. Vậy 120 ÷ 5 = 24 km/giờ. Phương án 25 km/giờ là do lấy trung bình cộng đơn thuần của 30 và 20; vận tốc trung bình không phải trung bình của các vận tốc. Phương án 50 km/giờ là do chỉ cộng lại, còn 12 km/giờ là do lấy 30 × 20 ÷ 50 mà quên nhân đôi.

Sáu km đầu mất 6 ÷ 9 = 2/3 giờ, phần còn lại mất 6 ÷ 18 = 1/3 giờ, cộng lại vừa đúng 1 giờ. Vậy 12 ÷ 1 = 12 km/giờ. Phương án 13,5 km/giờ là trung bình cộng đơn thuần của 9 và 18. Phương án 27 km/giờ là do chỉ cộng lại. Phương án 6 km/giờ là do lấy 9 × 18 ÷ 27 mà quên nhân đôi.

Gọi quãng đường là d mét thì hiệu của d ÷ 60 và d ÷ 80 bằng 5 + 3 = 8 phút. Ta có d × (1/60 − 1/80) = d ÷ 240 = 8 nên d = 1.920 m. Thử lại được 32 phút và 24 phút, hiệu đúng 8 phút. Phương án 480 m là do nhân 8 phút với 60 m/phút, còn 640 m là do nhân 8 phút với 80 m/phút.

Chín phút là 0,15 giờ. Gọi quãng đường là d km thì d ÷ 40 − d ÷ 50 = d ÷ 200 = 0,15 nên d = 30 km. Thử lại được 45 phút và 36 phút, hiệu đúng 9 phút. Phương án 6 km là 40 × 0,15 và 7,5 km là 50 × 0,15, đều do nhân chênh lệch thời gian với từng vận tốc.

Thời gian đi là 6 ÷ 4 = 1,5 giờ, tức 1 giờ 30 phút. Sau 9 giờ 40 phút một tiếng rưỡi là 11 giờ 10 phút. Phương án 10 giờ 55 phút là do đọc nhầm 1,5 giờ thành 1 giờ 15 phút. Phương án 11 giờ 40 phút là do tính thành 2 giờ, còn 10 giờ 40 phút là do tính thành 1 giờ.

Trên cùng một quãng đường thì thời gian tỉ lệ nghịch với vận tốc. Vận tốc của A gấp 1,2 lần B nên thời gian của B gấp 1,2 lần A, tức 30 × 1,2 = 36 phút. Phương án 25 phút là do lấy 30 ÷ 1,2, tức áp thẳng tỉ lệ vận tốc vào thời gian. Phương án 24 phút là do lấy 30 × 0,8. Chỉ cần nhớ B chậm hơn nên thời gian phải dài hơn 30 phút là đã thu hẹp được đáp án.

Gọi một lượt là d km thì d ÷ 12 + d ÷ 18 = 5. Quy đồng được 5d ÷ 36 = 5 nên d = 36 km. Thử lại được 3 giờ và 2 giờ, tổng đúng 5 giờ. Phương án 75 km là do lấy trung bình cộng của 12 và 18 thành 15 km/giờ rồi nhân 5 giờ. Phương án 72 km là quãng đường cả đi lẫn về, không phải một lượt như đề hỏi.

Gọi quãng đường là d km thì thời gian là d/3 ÷ 6 + 2d/3 ÷ 15 = d/18 + 2d/45 = 9d/90 = d/10 giờ. Một giờ 24 phút là 1,4 giờ nên d ÷ 10 = 1,4 và d = 14 km. Phương án 14,7 km là do lấy trung bình cộng của 6 và 15 thành 10,5 km/giờ rồi nhân 1,4 giờ. Phương án 8,4 km là 6 × 1,4 và 21 km là 15 × 1,4, đều do dùng một vận tốc cho cả quãng đường.

Vì đi ngược chiều về phía nhau nên khoảng cách rút ngắn theo tổng hai vận tốc: 1.800 ÷ (70 + 80) = 1.800 ÷ 150 = 12 phút. Phương án 180 phút là do dùng công thức đuổi kịp, chia cho hiệu vận tốc là 10. Phương án 24 phút là do chia cho vận tốc trung bình 75 m/phút. Phương án 22,5 phút là do chỉ chia cho 80 m/phút.

Lúc anh xuất phát, em đã đi trước 60 × 10 = 600 m. Vì cùng chiều nên khoảng cách rút ngắn theo hiệu vận tốc: 600 ÷ (90 − 60) = 20 phút. Phương án 4 phút là do dùng công thức gặp nhau, chia cho tổng vận tốc 150. Phương án 30 phút là thời gian tính từ lúc em xuất phát, trong khi đề hỏi tính từ lúc anh xuất phát.

Vì cùng chiều nên A đuổi kịp B khi đã bỏ xa B đúng một vòng: 1.200 ÷ (90 − 70) = 60 phút. Phương án 7,5 phút là do dùng công thức của trường hợp đi ngược chiều, chia cho tổng vận tốc 160. Phương án 120 phút là do tính theo chênh lệch hai vòng thay vì một vòng.

Vận tốc 72 km/giờ đổi ra là 72 ÷ 3,6 = 20 m/giây. Quãng đường tàu đi từ lúc đầu tàu lên cầu tới lúc đuôi tàu rời cầu là 900 + 180 = 1.080 m, nên 1.080 ÷ 20 = 54 giây. Phương án 45 giây là do quên cộng chiều dài đoàn tàu mà lấy 900 ÷ 20. Phương án 15 giây là do không đổi ra m/giây mà lấy 1.080 ÷ 72. Phương án 9 giây chỉ ứng với phần chiều dài đoàn tàu, tức 180 ÷ 20.

Vì ngược chiều nên vận tốc tương đối là 90 + 54 = 144 km/giờ, tức 40 m/giây. Quãng đường cần vượt qua là tổng chiều dài hai tàu, 150 + 250 = 400 m, nên 400 ÷ 40 = 10 giây. Phương án 40 giây là do dùng công thức vượt nhau cùng chiều với hiệu vận tốc 36 km/giờ tức 10 m/giây. Phương án 20 giây là do lấy trung bình cộng vận tốc thành 72 km/giờ tức 20 m/giây.

Chênh lệch quãng đường là 700 − 400 = 300 m, chênh lệch thời gian là 40 − 25 = 15 giây, nên vận tốc là 300 ÷ 15 = 20 m/giây. Ở đường hầm tàu đi được 25 × 20 = 500 m nên chiều dài đoàn tàu là 500 − 400 = 100 m. Phương án 20 m là do nhầm vận tốc 20 m/giây vừa tìm được thành chiều dài. Phương án 300 m là do lấy thẳng chênh lệch quãng đường làm chiều dài.

Vận tốc xuôi dòng là 15 + 3 = 18 km/giờ nên 54 ÷ 18 = 3 giờ. Phương án 4 giờ 30 phút là do tính theo vận tốc ngược dòng 15 − 3 = 12 km/giờ, tức 54 ÷ 12 = 4,5 giờ. Phương án 3 giờ 36 phút là do bỏ qua dòng chảy mà lấy 54 ÷ 15 = 3,6 giờ.

Xuôi dòng là 24 ÷ 2 = 12 km/giờ, ngược dòng là 24 ÷ 3 = 8 km/giờ. Vận tốc khi nước lặng là (12 + 8) ÷ 2 = 10 km/giờ, vận tốc dòng chảy là (12 − 8) ÷ 2 = 2 km/giờ. Cặp 20 km/giờ với 4 km/giờ là do quên chia đôi tổng và hiệu. Cặp có 12 km/giờ là do lấy thẳng vận tốc xuôi dòng làm vận tốc khi nước lặng.

Ngược dòng là 45 ÷ 5 = 9 km/giờ, xuôi dòng là 45 ÷ 3 = 15 km/giờ. Vận tốc dòng chảy là (15 − 9) ÷ 2 = 3 km/giờ. Phương án 6 km/giờ là do quên chia đôi hiệu. Phương án 12 km/giờ là vận tốc khi nước lặng, tức (15 + 9) ÷ 2, chứ không phải vận tốc dòng chảy. Phương án 24 km/giờ là do chỉ cộng hai vận tốc lại.

Vận tốc ngược dòng là 20 − 5 = 15 km/giờ nên 45 ÷ 15 = 3 giờ. Phương án 1 giờ 48 phút là do tính theo vận tốc xuôi dòng 20 + 5 = 25 km/giờ, tức 45 ÷ 25 = 1,8 giờ. Phương án 2 giờ 15 phút là do bỏ qua dòng chảy mà lấy 45 ÷ 20 = 2,25 giờ.

Vì đi ngược chiều nên cứ hai người cộng lại đi hết một vòng thì gặp nhau một lần. Lần đầu là 3.600 ÷ (100 + 80) = 20 phút, lần thứ hai là gấp đôi, tức 40 phút. Phương án 20 phút là thời điểm gặp nhau lần đầu. Phương án 180 phút là do dùng công thức đuổi kịp với hiệu vận tốc 20. Phương án 360 phút là thời điểm đuổi kịp lần thứ hai nếu hai người đi cùng chiều.

Tại thời điểm 15 phút sau khi xuất phát, A đã đi 90 × 10 = 900 m và B đã đi 60 × 15 = 900 m, còn lại 4.500 − 1.800 = 2.700 m. Từ đó trở đi hai người rút ngắn khoảng cách với tốc độ 150 m/phút nên mất 2.700 ÷ 150 = 18 phút, tổng cộng 15 + 18 = 33 phút. Phương án 30 phút là kết quả 4.500 ÷ 150 trong trường hợp không nghỉ. Phương án 35 phút là do cộng thẳng 5 phút nghỉ vào 30 phút đó, nhưng trong lúc A nghỉ thì B vẫn đi nên thực tế họ gặp nhau sớm hơn.

Coi toàn bộ công việc là 1 thì mỗi ngày hai người làm được 1/12 + 1/6 = 1/4, nên mất 4 ngày. Nếu đặt toàn bộ là 12 thì mỗi ngày là 1 và 2, cộng lại 3, và 12 ÷ 3 = 4 ngày, ra số nguyên. Phương án 9 ngày là trung bình cộng của 12 và 6, phương án 18 ngày là do cộng số ngày. Hai người cùng làm thì nhất định phải ngắn hơn 6 ngày của riêng B, người làm nhanh hơn.

Mỗi phút hai vòi chảy được 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6 bể, nên mất 6 phút. Phương án 12,5 phút là trung bình cộng của 15 và 10, phương án 25 phút là do cộng lại, phương án 5 phút là do trừ. Dùng cả hai vòi thì phải ngắn hơn 10 phút của riêng vòi B, vòi chảy nhanh hơn.

Mỗi ngày hai người làm được 1/20 + 1/30 = 1/12, nên trong 6 ngày xong 6/12 = 1/2 công việc. Phần còn lại 1/2 do A làm thì mất 1/2 ÷ 1/20 = 10 ngày. Phương án 16 ngày là tổng số ngày A có mặt, tức 6 + 10, chứ không phải số ngày làm một mình. Phương án 12 ngày là số ngày nếu hai người cùng làm tới cuối.

Mỗi ngày A làm được 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30 nên mất 30 ngày. Phương án 8 ngày là do trừ trực tiếp số ngày 20 − 12, phương án 32 ngày là do cộng lại. Thử lại: 1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 1/12, đúng với điều kiện.

Tổng khối lượng công việc là 12 × 20 = 240 người ngày và không đổi, nên 240 ÷ 15 = 16 người. Phương án 9 người là do cho số người tỉ lệ thuận với số ngày mà lấy 12 × 15 ÷ 20; rút ngắn số ngày mà lại giảm số người là mâu thuẫn. Phương án 4 người là số người cần tăng thêm, tức 16 − 12, chứ không phải tổng số người cần có.

Đặt toàn bộ công việc là 30 thì mỗi ngày A làm được 3, B làm được 2, nên cứ hai ngày xong 5 phần. Sáu cặp ngày, tức 12 ngày, làm xong vừa đúng 5 × 6 = 30, vậy công việc kết thúc vào ngày thứ 12. Phương án ngày thứ 6 là số ngày nếu hai người cùng làm một lúc; làm luân phiên thì mất gần gấp đôi. Phương án ngày thứ 25 là do cộng 10 với 15.

Mỗi phút mực nước tăng 1/20 + 1/30 − 1/15 = (3 + 2 − 4) ÷ 60 = 1/60 bể, nên mất 60 phút. Phương án 12 phút là do bỏ qua vòi xả mà lấy 1/20 + 1/30 = 1/12. Phương án 35 phút là do cộng trừ thẳng số phút thành 20 + 30 − 15 thay vì làm với phân số. Vì tổng lượng nước chảy vào lớn hơn lượng xả ra nên tuy chậm nhưng bể vẫn sẽ đầy.

Hai vòi cộng lại chảy 20 + 12 = 32 L mỗi phút nên 480 ÷ 32 = 15 phút. Phương án 24 phút là do chỉ tính vòi 20 L, tức 480 ÷ 20; phương án 40 phút là do chỉ tính vòi 12 L, tức 480 ÷ 12. Dùng cả hai vòi thì phải ngắn hơn 24 phút của vòi nhanh hơn.

Trong 8 phút đầu bể nhận 25 × 8 = 200 L, còn lại 400 L. Hai vòi cộng lại chảy 25 + 15 = 40 L mỗi phút nên 400 ÷ 40 = 10 phút. Phương án 15 phút là do bỏ qua 8 phút đầu mà lấy 600 ÷ 40. Phương án 16 phút là do đổ 400 L còn lại chỉ bằng vòi A, tức 400 ÷ 25. Phương án 24 phút là thời gian đổ hết 600 L chỉ bằng vòi A.

Cộng khối lượng làm mỗi ngày của ba cặp lại được 1/8 + 1/12 + 1/24 = 3/24 + 2/24 + 1/24 = 1/4, và đó vừa đúng gấp đôi phần của cả ba người. Vậy mỗi ngày ba người làm được 1/4 ÷ 2 = 1/8, tức mất 8 ngày. Phương án 4 ngày là do lấy thẳng 1/4 làm phần của ba người mà quên chia đôi. Phương án 44 ngày là do cộng 8, 12 và 24.

Sáu ngày của A làm xong 6 × 1/18 = 1/3 công việc, còn lại 2/3. Mỗi ngày hai người làm được 1/18 + 1/9 = 3/18 = 1/6, nên 2/3 ÷ 1/6 = 4 ngày. Tổng cộng là 6 + 4 = 10 ngày. Phương án 4 ngày là do chỉ trả lời số ngày hai người cùng làm. Phương án 12 ngày là số ngày nếu phần còn lại do một mình B làm, tức 6 + 6. Phương án 27 ngày là do cộng 18 với 9.