Vie professionnelle et recherche d'emploi · Labo de préparation au SPI
Les questions et les explications sont disponibles en Français. Les cours (articles explicatifs) n'existent qu'en japonais.
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Une voiture roulant à 72 km/h roule sans arrêt pendant 2 heures et 30 minutes. Quelle distance parcourt-elle, en km ?
Distance égale vitesse fois temps. Deux heures et 30 minutes valent 2,5 heures, d'où 72 × 2,5 = 180 km. Le résultat 144 km ne compte que les 2 heures ; 174 km vient d'avoir ajouté les 30 minutes à la distance, 72 × 2 + 30 ; 216 km revient à compter 3 heures.
Combien de temps faut-il pour parcourir 108 km à 45 km/h ?
Temps égale distance divisée par vitesse : 108 ÷ 45 = 2,4 heures. En multipliant la partie décimale 0,4 par 60, on obtient 24 minutes, soit 2 heures et 24 minutes. La réponse 2 heures et 40 minutes est l'erreur classique qui lit le 4 de 2,4 comme 40 minutes ; 2 heures et 4 minutes lit ce même 0,4 comme 4 minutes.
On a parcouru 1 200 m à pied en 15 minutes. Quelle est cette vitesse, en km/h ?
La vitesse par minute vaut 1 200 ÷ 15 = 80 m. Une heure comptant 60 minutes, cela fait 80 × 60 = 4 800 m, soit 4,8 km/h. La réponse 80 km/h reprend telle quelle la valeur en mètres par minute ; 48 km/h vient d'une erreur d'un rang en convertissant 4 800 m en km.
À combien de km/h correspond une vitesse de 15 m/s ?
Une heure compte 3 600 secondes et un kilomètre 1 000 mètres : pour passer des mètres par seconde aux kilomètres par heure, on multiplie donc par 3,6. Ici, 15 × 3,6 = 54 km/h. La réponse 90 km/h vient d'avoir multiplié par un autre nombre que 3,6, à savoir 6 ; 900 km/h s'arrête à 15 × 60, c'est-à-dire à 900 m par minute, sans convertir l'unité ; 0,9 km/h prend ces mêmes 900 m par minute pour 0,9 km par heure.
On a fait l'aller-retour entre le point A et le point B, à 30 km/h à l'aller et à 20 km/h au retour. Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
En supposant un aller simple de 60 km, l'aller prend 2 heures et le retour 3 heures, soit 5 heures pour 120 km : 120 ÷ 5 = 24 km/h. La réponse 25 km/h vient de la moyenne simple de 30 et de 20 : la vitesse moyenne n'est pas la moyenne des vitesses. La réponse 50 km/h se contente de les additionner ; 12 km/h vient de 30 × 20 ÷ 50, où l'on a oublié de doubler.
Sur un trajet de 12 km, on a parcouru les 6 premiers kilomètres à 9 km/h et les 6 derniers à 18 km/h. Quelle est la vitesse moyenne sur l'ensemble ?
Les 6 premiers kilomètres prennent 6 ÷ 9 = 2/3 d'heure et les derniers 6 ÷ 18 = 1/3 d'heure, soit exactement une heure en tout : 12 ÷ 1 = 12 km/h. La réponse 13,5 km/h est la moyenne simple de 9 et de 18 ; 27 km/h se contente de les additionner ; 6 km/h vient de 9 × 18 ÷ 27, où l'on a oublié de doubler.
En marchant de chez soi à la gare à 60 m/min, on arrive 5 minutes après l'heure du rendez-vous ; à 80 m/min, on arrive 3 minutes en avance. Quelle est la distance de chez soi à la gare, en m ?
En appelant d la distance en mètres, l'écart entre d ÷ 60 et d ÷ 80 vaut 5 + 3 = 8 minutes. Or d × (1/60 − 1/80) = d ÷ 240 = 8, d'où d = 1 920 m. Vérification : 32 minutes contre 24 minutes, soit un écart de 8 minutes. Le résultat 480 m vient d'avoir multiplié les 8 minutes par 60 m/min, et 640 m de les avoir multipliées par 80 m/min.
Parcourir un trajet en voiture à 40 km/h prend 9 minutes de plus que le parcourir à 50 km/h. Quelle est la longueur de ce trajet, en km ?
Neuf minutes valent 0,15 heure. En appelant d la distance en kilomètres, d ÷ 40 − d ÷ 50 = d ÷ 200 = 0,15, d'où d = 30 km. Vérification : 45 minutes contre 36 minutes, soit un écart de 9 minutes. Les résultats 6 km et 7,5 km viennent d'avoir multiplié l'écart de temps par l'une ou l'autre vitesse, 40 × 0,15 et 50 × 0,15.
Parti à 9 h 40 du matin, on a marché 6 km à 4 km/h. À quelle heure arrive-t-on ?
Le trajet prend 6 ÷ 4 = 1,5 heure, soit 1 heure et 30 minutes. Une heure et 30 minutes après 9 h 40, il est 11 h 10. La réponse 10 h 55 vient d'avoir lu 1,5 heure comme 1 heure et 15 minutes ; 11 h 40 revient à compter 2 heures et 10 h 40 à n'en compter qu'une.
Pour parcourir un même trajet, la vitesse de A vaut 1,2 fois celle de B. Si A a mis 30 minutes, combien de minutes met B ?
À distance égale, le temps est inversement proportionnel à la vitesse. La vitesse de A valant 1,2 fois celle de B, le temps de B vaut 1,2 fois celui de A : 30 × 1,2 = 36 minutes. Le résultat 25 vient d'avoir appliqué le rapport des vitesses directement au temps, 30 ÷ 1,2 ; 24 vient de 30 × 0,8. Comme B est le plus lent, son temps dépasse forcément 30 minutes : cette remarque suffit à réduire le champ.
On a fait à vélo l'aller-retour entre les bourgs A et B, à 12 km/h à l'aller et à 18 km/h au retour, pour un total de 5 heures. Quelle est la distance entre A et B, en km ?
En appelant d l'aller simple en kilomètres, d ÷ 12 + d ÷ 18 = 5. Après réduction au même dénominateur, 5d ÷ 36 = 5, d'où d = 36 km. Vérification : 3 heures et 2 heures font bien 5 heures. Le résultat 75 km vient d'avoir multiplié les 5 heures par la moyenne simple de 12 et 18, soit 15 km/h ; 72 km est la distance de l'aller-retour, et non l'aller simple demandé.
Pour aller du point A au point B, on a marché à 6 km/h sur le premier tiers du trajet, puis parcouru le reste à vélo à 15 km/h, le tout en 1 heure et 24 minutes. Quelle est la distance AB, en km ?
En appelant d la distance en kilomètres, le temps vaut d/3 ÷ 6 + 2d/3 ÷ 15 = d/18 + 2d/45 = 9d/90 = d/10 heure. Une heure et 24 minutes valant 1,4 heure, d ÷ 10 = 1,4 et d = 14 km. Le résultat 14,7 km vient d'avoir multiplié 1,4 heure par la moyenne simple de 6 et 15, soit 10,5 km/h ; 8,4 km et 21 km viennent d'avoir appliqué au trajet entier une seule des deux vitesses, 6 × 1,4 et 15 × 1,4.
De deux points distants de 1 800 m, A et B se sont mis en marche l'un vers l'autre au même moment. A marche à 70 m/min et B à 80 m/min. Au bout de combien de minutes se rencontrent-ils ?
Marchant l'un vers l'autre, ils se rapprochent à la somme de leurs vitesses : 1 800 ÷ (70 + 80) = 1 800 ÷ 150 = 12 minutes. Le résultat 180 vient d'avoir divisé par la différence des vitesses, 10, c'est-à-dire d'avoir employé la formule de la poursuite ; 24 vient d'avoir divisé par la vitesse moyenne de 75 m/min ; 22,5 vient d'avoir divisé par la seule vitesse de 80 m/min.
Le cadet quitte la maison à 60 m/min ; 10 minutes plus tard, l'aîné part à sa poursuite sur le même chemin à 90 m/min. Combien de minutes après son propre départ l'aîné rattrape-t-il le cadet ?
Au moment où l'aîné part, le cadet a déjà 60 × 10 = 600 m d'avance. Allant dans le même sens, l'écart se réduit à la différence des vitesses : 600 ÷ (90 − 60) = 20 minutes. Le résultat 4 vient d'avoir divisé par la somme des vitesses, 150, c'est-à-dire d'avoir employé la formule de la rencontre ; 30 est le temps compté depuis le départ du cadet, alors que la question porte sur le départ de l'aîné.
Autour d'un étang dont le tour mesure 1 200 m, A marche à 90 m/min et B à 70 m/min ; ils partent au même moment du même point et dans le même sens. Au bout de combien de minutes A rattrape-t-il B pour la première fois ?
Allant dans le même sens, A rattrape B lorsque l'écart atteint un tour complet : 1 200 ÷ (90 − 70) = 60 minutes. Le résultat 7,5 vient d'avoir divisé par la somme des vitesses, 160, c'est-à-dire d'avoir employé la formule valable pour des sens opposés ; 120 revient à considérer un écart de deux tours au lieu d'un.
Un train de 180 m de long roulant à 72 km/h franchit un pont ferroviaire de 900 m. Combien de secondes s'écoulent entre le début et la fin de la traversée ?
Une vitesse de 72 km/h vaut 72 ÷ 3,6 = 20 m/s. Entre l'entrée de la tête et la sortie de la queue, le train parcourt 900 + 180 = 1 080 m, d'où 1 080 ÷ 20 = 54 secondes. Le résultat 45 vient d'avoir oublié d'ajouter la longueur du train, 900 ÷ 20 ; 15 vient d'avoir divisé sans convertir en mètres par seconde, 1 080 ÷ 72 ; 9 ne compte que la longueur du train, 180 ÷ 20.
Le train A, long de 150 m, roule à 90 km/h et le train B, long de 250 m, roule à 54 km/h, en sens inverse l'un de l'autre. Combien de secondes s'écoulent entre le début et la fin de leur croisement ?
Roulant en sens inverse, ils ont une vitesse relative de 90 + 54 = 144 km/h, soit 40 m/s. La distance à parcourir est la somme des deux longueurs, 150 + 250 = 400 m, d'où 400 ÷ 40 = 10 secondes. Le résultat 40 vient d'avoir employé la différence des vitesses, 36 km/h, soit 10 m/s, c'est-à-dire la formule du dépassement ; 20 vient d'avoir pris la moyenne simple des vitesses, 72 km/h, soit 20 m/s.
Un train roulant à vitesse constante met 25 secondes entre le moment où il entre dans un tunnel de 400 m et celui où il en sort entièrement, et 40 secondes entre le début et la fin de la traversée d'un pont de 700 m. Quelle est la longueur de ce train, en m ?
L'écart des distances vaut 700 − 400 = 300 m et l'écart des temps 40 − 25 = 15 secondes, d'où une vitesse de 300 ÷ 15 = 20 m/s. Dans le tunnel, le train parcourt 25 × 20 = 500 m, donc sa longueur vaut 500 − 400 = 100 m. Le résultat 20 vient d'avoir pris pour une longueur la vitesse de 20 m/s ; 300 vient d'avoir pris l'écart des distances pour la longueur.
Un bateau dont la vitesse en eau calme est de 15 km/h descend 54 km sur une rivière dont le courant va à 3 km/h. Combien de temps met-il ?
À la descente, la vitesse vaut 15 + 3 = 18 km/h, d'où 54 ÷ 18 = 3 heures. La réponse 4 heures et 30 minutes vient d'avoir employé la vitesse de remontée, 15 − 3 = 12 km/h, soit 54 ÷ 12 = 4,5 heures ; 3 heures et 36 minutes vient d'avoir ignoré le courant, 54 ÷ 15 = 3,6 heures.
Un bateau parcourt un même tronçon de 24 km d'une rivière en 2 heures à la descente et en 3 heures à la remontée. Quelle combinaison donne correctement la vitesse du bateau en eau calme et celle du courant ?
La descente se fait à 24 ÷ 2 = 12 km/h et la remontée à 24 ÷ 3 = 8 km/h. En eau calme, la vitesse vaut (12 + 8) ÷ 2 = 10 km/h, et le courant (12 − 8) ÷ 2 = 2 km/h. Les valeurs 20 km/h et 4 km/h viennent d'avoir oublié de diviser par 2 la somme et la différence ; la valeur 12 km/h en eau calme reprend telle quelle la vitesse de descente.
Un bateau met 5 heures pour remonter 45 km d'une rivière et 3 heures pour redescendre le même tronçon. Quelle est la vitesse du courant de cette rivière ?
La remontée se fait à 45 ÷ 5 = 9 km/h et la descente à 45 ÷ 3 = 15 km/h. Le courant vaut (15 − 9) ÷ 2 = 3 km/h. La valeur 6 km/h vient d'avoir oublié de diviser la différence par 2 ; 12 km/h est la vitesse en eau calme, (15 + 9) ÷ 2, et non celle du courant ; 24 km/h se contente d'additionner les vitesses de remontée et de descente.
On remonte 45 km d'une rivière dont le courant va à 5 km/h, avec un bateau dont la vitesse en eau calme est de 20 km/h. Combien de temps met-on ?
À la remontée, la vitesse vaut 20 − 5 = 15 km/h, d'où 45 ÷ 15 = 3 heures. La réponse 1 heure et 48 minutes vient d'avoir employé la vitesse de descente, 20 + 5 = 25 km/h, soit 45 ÷ 25 = 1,8 heure ; 2 heures et 15 minutes vient d'avoir ignoré le courant, 45 ÷ 20 = 2,25 heures.
Autour d'un étang dont le tour mesure 3 600 m, A et B partent au même moment du même point, en sens inverse. A marche à 100 m/min et B à 80 m/min. Au bout de combien de minutes se rencontrent-ils pour la deuxième fois ?
Allant en sens inverse, ils se rencontrent chaque fois qu'ils ont parcouru ensemble un tour complet. La première rencontre a lieu au bout de 3 600 ÷ (100 + 80) = 20 minutes, et la deuxième au double, soit 40 minutes. La réponse 20 minutes est celle de la première rencontre ; 180 vient d'avoir divisé par la différence des vitesses, 20, c'est-à-dire d'avoir employé la formule de la poursuite ; 360 correspond à la deuxième rencontre s'ils tournaient dans le même sens.
De deux points distants de 4 500 m, A et B sont partis au même moment l'un vers l'autre. A avance à 90 m/min et B à 60 m/min, mais A a fait une pause de 5 minutes 10 minutes après le départ. Au bout de combien de minutes se rencontrent-ils ?
Quinze minutes après le départ, A a parcouru 90 × 10 = 900 m et B 60 × 15 = 900 m : il reste 4 500 − 1 800 = 2 700 m. À partir de là, l'écart se réduit à 150 m par minute, soit 2 700 ÷ 150 = 18 minutes, d'où 15 + 18 = 33 minutes. Le résultat 30 correspond au cas sans pause, 4 500 ÷ 150 ; 35 vient d'avoir ajouté telles quelles les 5 minutes de pause à ces 30 minutes, alors que B continue d'avancer pendant la pause, si bien que la rencontre a lieu plus tôt.
Un travail demande 12 jours à A seul et 6 jours à B seul. En combien de jours en viennent-ils à bout à eux deux ?
En prenant le travail entier pour 1, ils en font 1/12 + 1/6 = 1/4 par jour, soit 4 jours. En prenant le travail entier pour 12, on obtient 1 et 2 par jour, soit 3 en tout, et 12 ÷ 3 = 4 jours, sans passer par les fractions. Le résultat 9 est la moyenne simple de 12 et de 6, et 18 leur somme. À deux, il faut nécessairement moins que les 6 jours de B seul, le plus rapide.
Pour remplir un bac, il faut 15 minutes avec la seule conduite A et 10 minutes avec la seule conduite B. En combien de minutes le bac est-il plein si l'on ouvre les deux en même temps ?
Par minute, on remplit 1/15 + 1/10 = 2/30 + 3/30 = 5/30 = 1/6 du bac, soit 6 minutes. Le résultat 12,5 est la moyenne simple de 15 et de 10, 25 leur somme et 5 leur différence. Avec les deux conduites, il faut forcément moins que les 10 minutes de la seule conduite B, la plus rapide.
Un travail demande 20 jours à A seul et 30 jours à B seul. Ils ont d'abord travaillé 6 jours ensemble, puis A a terminé seul. Combien de jours A a-t-il travaillé seul ?
À deux, ils font 1/20 + 1/30 = 1/12 par jour : en 6 jours, ils achèvent donc 6/12 = 1/2 du travail. La moitié restante prend à A seul 1/2 ÷ 1/20 = 10 jours. Le résultat 16 est le nombre total de jours travaillés par A, 6 + 10, et non le nombre de jours passés seul ; 12 serait la durée s'ils avaient travaillé à deux jusqu'au bout.
Un travail demande 12 jours à A et B ensemble, et 20 jours à B seul. Combien de jours demande-t-il à A seul ?
La part quotidienne de A vaut 1/12 − 1/20 = 5/60 − 3/60 = 2/60 = 1/30, soit 30 jours. Le résultat 8 vient d'avoir soustrait les durées elles-mêmes, 20 − 12, et 32 de les avoir additionnées. Vérification : 1/30 + 1/20 = 2/60 + 3/60 = 1/12, ce qui s'accorde avec l'énoncé.
Un chantier mené par 12 personnes demande 20 jours. Combien de personnes faut-il pour l'achever en 15 jours ?
La charge totale, 12 × 20 = 240 journées-personnes, est constante : 240 ÷ 15 = 16 personnes. Le résultat 9 vient d'avoir rendu l'effectif proportionnel à la durée, 12 × 15 ÷ 20, ce qui est contradictoire, puisque l'on ne réduit pas la durée en réduisant l'effectif. Le résultat 4 est le nombre de personnes à ajouter, 16 − 12, et non l'effectif nécessaire.
Un travail qui demande 10 jours à A seul et 15 jours à B seul est effectué en alternance : A le premier jour, B le deuxième, et ainsi de suite. Quel jour le travail est-il achevé ?
En prenant le travail entier pour 30, A en fait 3 par jour et B 2, soit 5 tous les deux jours. Au bout de 6 paires de jours, c'est-à-dire de 12 jours, on atteint exactement 5 × 6 = 30 : le travail s'achève donc le 12e jour. Le 6e jour serait la durée si les deux travaillaient ensemble ; en alternance, il faut presque le double. Le 25e jour vient d'avoir additionné 10 et 15.
Un bac se remplit en 20 minutes avec la seule conduite A et en 30 minutes avec la seule conduite B ; il se vide en 15 minutes avec la seule conduite C. Partant du bac vide, en combien de minutes est-il plein si l'on ouvre les trois en même temps ?
Par minute, on remplit 1/20 + 1/30 − 1/15 = (3 + 2 − 4) ÷ 60 = 1/60 du bac, soit 60 minutes. Le résultat 12 vient d'avoir ignoré la vidange, 1/20 + 1/30 = 1/12 ; 35 vient d'avoir calculé sur les durées elles-mêmes, 20 + 30 − 15, au lieu de passer par les fractions. La vidange étant plus faible que le remplissage cumulé, le bac finit par se remplir, même lentement.
Un bac de 480 L est alimenté par une conduite débitant 20 L par minute et une autre débitant 12 L par minute. En combien de minutes passe-t-il du vide au plein si l'on ouvre les deux en même temps ?
Les deux conduites apportent ensemble 20 + 12 = 32 L par minute, d'où 480 ÷ 32 = 15 minutes. Le résultat 24 ne compte que la conduite à 20 L par minute, 480 ÷ 20, et 40 que celle à 12 L par minute, 480 ÷ 12. Avec les deux conduites, il faut nécessairement moins que les 24 minutes de la plus rapide.
Dans un bac de 600 L, on a d'abord fait couler l'eau pendant 8 minutes par la seule conduite A, qui débite 25 L par minute, puis on a ajouté la conduite B, qui débite 15 L par minute, jusqu'au remplissage. Combien de minutes se sont écoulées entre l'ajout de la conduite B et le remplissage complet ?
En 8 minutes, il entre 25 × 8 = 200 L : il reste donc 400 L. Les deux conduites apportent ensemble 25 + 15 = 40 L par minute, d'où 400 ÷ 40 = 10 minutes. Le résultat 15 vient d'avoir ignoré les 8 premières minutes, 600 ÷ 40 ; 16 vient d'avoir versé les 400 L restants avec la seule conduite A, 400 ÷ 25 ; 24 serait la durée si les 600 L passaient entièrement par la conduite A.
Un travail demande 8 jours à A et B ensemble, 12 jours à B et C ensemble, et 24 jours à A et C ensemble. En combien de jours les trois en viennent-ils à bout ensemble ?
En additionnant les parts quotidiennes des trois paires, 1/8 + 1/12 + 1/24 = 3/24 + 2/24 + 1/24 = 1/4, on obtient exactement le double de la part quotidienne des trois réunis. Celle-ci vaut donc 1/4 ÷ 2 = 1/8, soit 8 jours. Le résultat 4 vient d'avoir pris 1/4 pour la part des trois sans diviser par 2 ; 44 vient d'avoir additionné 8, 12 et 24.
Un travail demande 18 jours à A seul et 9 jours à B seul. A a d'abord travaillé seul pendant 6 jours, puis B l'a rejoint et ils ont terminé ensemble. Combien de jours se sont écoulés entre le début et la fin du travail ?
Les 6 jours de A achèvent 6 × 1/18 = 1/3 du travail, et il reste 2/3. La part quotidienne des deux vaut 1/18 + 1/9 = 3/18 = 1/6, d'où 2/3 ÷ 1/6 = 4 jours, et un total de 6 + 4 = 10 jours. Le résultat 4 ne donne que les jours travaillés à deux ; 12 correspond à 6 + 6, c'est-à-dire au cas où B aurait terminé seul ; 27 vient d'avoir additionné 18 et 9.
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