تفرق اور تکمل (ریاضی II)

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ سے (x³)′=3x² ملتا ہے۔ آپشن x² میں قوت نما کو آگے لانا بھول گئے ہیں، 3x³ میں درجہ کم کرنا بھول گئے ہیں، اور 2x اسے (x²)′ سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔

ہر رکن کا الگ الگ تفرق کرنے سے 6x−4+0=6x−4 ملتا ہے، اور مستقل رکن 5 ختم ہو جاتا ہے۔ آپشن 6x+4 علامت کی غلطی ہے، 6x میں −4x کا تفرق کرنا بھول گئے ہیں، اور 3x−4 میں 3x² کا عددی سر غلط لیا گیا ہے۔

f′(x)=2x−3 میں x=2 رکھنے سے 4−3=1 ملتا ہے۔ آپشن −2 دراصل f(2) ہے، جس میں تفرق کرنا بھول گئے ہیں، 4 صرف 2x والا رکن رکھتا ہے، اور 7 میں 2x+3 کی علامت کی غلطی ہے۔

f′(a) دراصل تبدیلی کی اوسط شرح (f(a+h)−f(a))/h کی حد ہے جب h→0، اور یہ x=a پر گراف کے مماس کی ڈھلوان کو ظاہر کرتا ہے۔ اسے تفاعل کی قیمت f(a) یا خود تبدیلی کی اوسط شرح سے گڈمڈ نہ کریں۔

y′=2x سے ڈھلوان f′(1)=2 ہے۔ y−1=2(x−1) کو ترتیب دینے سے y=2x−1 ملتا ہے۔ آپشن y=2x+1 علامت کی غلطی ہے، y=2x میں مقطع نکالنا بھول گئے ہیں، اور y=x ڈھلوان کے لیے مشتق استعمال نہیں کرتا۔ جانچ لیں کہ x=1 پر یہ y=1 سے گزرتا ہے۔

y′=3x²−3 میں x=0 رکھنے سے ڈھلوان −3 ملتی ہے۔ y−2=−3(x−0) سے y=−3x+2 ملتا ہے۔ آپشن 3x+2 علامت کی غلطی ہے، −3x اس نقطے کو نظر انداز کرتا ہے جس سے خط کو گزرنا چاہیے، اور y=2 میں ڈھلوان کو غلطی سے صفر لیا گیا ہے۔

f′(x)=2x+a سے f′(2)=4+a=5 ملتا ہے، لہٰذا a=1۔ آپشن a=0 شرط کو تفاعل کی قیمت f(2)=5 سمجھ لیتا ہے، a=3 اس کے بجائے f′(1)=5 استعمال کرتا ہے، اور a=5 میں 4 منفی کرنا بھول گئے ہیں۔

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4۔ آپشن 2 دراصل f′(1) اور 6 دراصل f′(3) ہے، جو اسے مشتق سے گڈمڈ کرتے ہیں، جبکہ 8 وقفے کی چوڑائی سے تقسیم کیے بغیر فرق f(3)−f(1) دیتا ہے۔

نقطۂ تماس کو (t, t²) لکھیں تو مماس y=2tx−t² ہے۔ اس کے (1, −3) سے گزرنے کی شرط سے −3=2t−t² ملتا ہے، یعنی t²−2t−3=0 اور (t−3)(t+1)=0، لہٰذا t=3 یا −1۔ ڈھلوان 2t ہے، جس سے 6 اور −2 ملتے ہیں۔ جوڑا '3 اور −1' نقاطِ تماس کے x-محدد بتاتا ہے، اور 2 صرف y′(1) کا حساب ہے۔

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1)۔ اضافہ و کمی کے جدول سے مقامی اعظم قیمت x=−1 پر آتی ہے، جو (−1)³−3×(−1)=2 ہے۔ آپشن −2 دراصل x=1 پر مقامی اقل قیمت ہے، اور −1 میں x-محدد کو قیمت سے گڈمڈ کیا گیا ہے۔

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1)۔ x=1 پر مقامی اقل قیمت 2−6=−4 ہے، اور x=−1 پر مقامی اعظم قیمت 4 ہے۔ آپشن 4 اعظم کو اقل سمجھ لیتا ہے، اور 1 یا −1 قیمت کے بجائے x-محدد بتاتے ہیں۔

y′=3x²−6x=3x(x−2)۔ x<0 اور 2<x کے لیے y′>0 ہے، اور وہاں تفاعل بڑھتا ہے۔ وقفہ 0<x<2 وہ ہے جہاں y′<0 ہے اور تفاعل گھٹتا ہے، اور اسے جواب دینا روایتی الٹ پھیر کی غلطی ہے۔

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1)۔ x=−3 پر مقامی اعظم قیمت −27+27+27+1=28 ہے، اور x=1 پر مقامی اقل قیمت −4 ہے۔ آپشن −4 اقل کو اعظم سمجھ لیتا ہے، −3 اعظم قیمت کا x-محدد ہے، اور 1 صرف مستقل رکن کو دیکھتا ہے۔

y′=3x(x−2) سے مقامی اقل قیمت x=2 پر ہے، اور 8−12+a=0 سے a=4 ملتا ہے۔ آپشن a=−4 مساوات a−4=0 میں علامت کی غلطی سے آتا ہے، a=0 مساوات کو اعظم قیمت والے x=0 پر بناتا ہے، اور a=2 اسے x-محدد سے گڈمڈ کر دیتا ہے۔

امیدوار قیمتیں سروں کی قیمتیں اور انتہائی قیمتیں ہیں: f(0)=0، مقامی اقل قیمت پر f(1)=−2، اور f(3)=27−9=18۔ اعظم قیمت سرے کی قیمت 18 ہے۔ آپشن 2 دراصل x=−1 پر مقامی اعظم قیمت ہے، جو وقفے سے باہر ہے، اور −2 اقل قیمت ہے۔ سروں کی قیمتوں کا موازنہ ہمیشہ کریں۔

f′=3x(x−2)۔ امیدوار قیمتیں f(0)=5، مقامی اقل قیمت پر f(2)=8−12+5=1، اور f(3)=27−27+5=5 ہیں۔ اقل قیمت 1 ہے، جو x=2 پر ہے۔ آپشن 5 اعظم قیمت ہے، 2 وہ x-محدد ہے جہاں اقل قیمت آتی ہے، اور −4 دراصل x³−3x² کی مقامی اقل قیمت ہے جس میں مستقل +5 بھول گئے ہیں۔

ضروری ہے کہ f′=3x²+2ax+3 کے دو مختلف حقیقی جذر ہوں، اس لیے ممیز کی شرط D/4=a²−9>0 سے a<−3 یا 3<a ملتا ہے۔ برابری شامل کرنے سے مکرر جذر بنے گا، جہاں علامت نہیں بدلتی اور کوئی انتہائی قیمت نہیں ہوتی، اس لیے یہ غلط ہے۔ وقفہ −3<a<3 نامساوات کو الٹ دیتا ہے۔

f′=3x²−3a=0 سے x=±√a ملتا ہے، اور x=√a پر مقامی اقل قیمت ہے۔ f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 سے a√a=8 ملتا ہے، یعنی a^(3/2)=8 اور اس لیے a=4۔ جانچ: اگر a=4 ہو تو f(x)=x³−12x اور x=2 پر مقامی اقل قیمت 8−24=−16 ہے۔ a=2 کے ساتھ ہمیں −2×2√2≒−5.7 ملتا ہے، جو مطابقت نہیں رکھتا۔

x(x²−3)=0 سے x=0 اور ±√3 ملتے ہیں، کل تین۔ تجزی ہو سکنے والی سہ درجی مساوات میں پہلے مشترک جزو ضربی x باہر نکالیں۔ x²−3=0 کے دو جذروں کو نظر انداز کرنے سے ایک کا غلط جواب آتا ہے۔

f(x)=x³−3x+1 کے لیے مقامی اعظم قیمت f(−1)=3>0 اور مقامی اقل قیمت f(1)=−1<0 ہے۔ چونکہ انتہائی قیمتوں کی علامتیں مخالف ہیں، گراف x-محور کو تین نقاط پر کاٹتا ہے، اس لیے 3 حقیقی جذر ہیں۔ جب سہ درجی اظہار کی تجزی نہ بھی ہو سکے، تب بھی انتہائی قیمتوں کی علامتوں سے تعداد معلوم ہو جاتی ہے۔

تجزی کرنے سے (x+1)(x−2)²=0 ملتا ہے، اس لیے x=−1 اور 2، کل دو۔ مقامی اقل قیمت f(2)=8−12+4=0 کا مطلب ہے کہ گراف x=2 پر x-محور کو مس کرتا ہے۔ جواب 3 مکرر جذر x=2 کو دو بار گنتا ہے۔

منحنی y=x³−3x کی x=−1 پر مقامی اعظم قیمت 2 اور x=1 پر مقامی اقل قیمت −2 ہے۔ افقی خط y=a اسے ٹھیک اس وقت تین نقاط پر ملتا ہے جب −2<a<2 ہو۔ برابری شامل کرنا غلط ہے، کیونکہ سرے پر مکرر جذر بنتا ہے اور تعداد گھٹ کر دو رہ جاتی ہے، اور a=±2 بالکل وہی دو جذروں والی صورت ہے۔

a=x³−3x² کی صورت میں الگ کریں۔ g(x)=x³−3x² کے لیے مقامی اعظم قیمت g(0)=0 اور مقامی اقل قیمت g(2)=−4 ہے، اور a کو ان کے درمیان ہونا چاہیے، اس لیے −4<a<0۔ وقفہ 0<a<4 میں علامت غلط ہے، اور برابری شامل کرنے سے مکرر جذر اور صرف دو حل ملتے ہیں۔

چونکہ y′=3x²≧0 ہے، تفاعل ہمیشہ بڑھتا ہے، اور اگرچہ x=0 پر y′=0 ہے، وہاں علامت نہیں بدلتی، اس لیے کوئی انتہائی قیمت نہیں۔ چونکہ (−x)³=−x³ ہے، گراف مبدا کے لحاظ سے متشاکل ہے، یعنی تفاعل طاق (odd) ہے۔ y-محور کے لحاظ سے تشاکل جفت (even) تفاعلات کی خصوصیت ہے، جیسے y=x²۔

f(x)=2x³−3x²−12x+k کے لیے f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2) ہے۔ مقامی اعظم قیمت f(−1)=7+k اور مقامی اقل قیمت f(2)=−20+k ہے۔ تین جذروں کے لیے ضروری ہے کہ مقامی اعظم قیمت مثبت اور مقامی اقل قیمت منفی ہو، اس لیے 7+k>0 اور k−20<0، جس سے −7<k<20 ملتا ہے۔ وقفہ −20<k<7 اعظم اور اقل کو آپس میں بدل دیتا ہے، اور برابری شامل کرنے سے مکرر جذر اور صرف دو حل ملتے ہیں۔

f(x)=x³−3x+1 کے لیے f(0)=1>0، f(1)=−1<0 اور f(2)=3>0 ہیں، اس لیے ایک مثبت جذر 0 اور 1 کے درمیان وقفے میں اور دوسرا 1 اور 2 کے درمیان ہے، کل 2۔ بقیہ جذر منفی ہے، کیونکہ f(−2)=−1<0 اور f(−1)=3>0۔ تین حقیقی جذروں میں سے دو مثبت ہیں۔

چونکہ ∫2xdx=x² اور ∫3dx=3x ہے، جواب x²+3x+C ہے۔ C کے بغیر والے جواب میں تکمل کا مستقل بھول گئے ہیں، 2x²+3x+C میں 2x کو 2 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور x²+3+C میں مستقل کا تکمل کر کے 3x نہیں بنایا گیا۔

ہر قوت نما میں ایک بڑھا کر اس سے تقسیم کرنے سے x³−2x²+x+C ملتا ہے۔ 3x³ سے شروع ہونے والے آپشن میں 3x² کو 3 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، −4x² والے آپشن میں −4x کو 2 سے تقسیم کرنا بھول گئے ہیں، اور 6x−4 تکمل کے بجائے تفرق کرتا ہے۔

[x²] کی قیمت 1 سے 3 تک نکالنے سے 9−1=8 ملتا ہے۔ آپشن 10 میں 9+1 کی طرح جمع کیا گیا ہے، 9 میں زیریں حد رکھنا بھول گئے ہیں، اور 6 صرف تکمل کیے جانے والے تفاعل میں 2×3 کی طرح قیمت رکھتا ہے۔

[x³+x²] کی قیمت 0 سے 1 تک نکالنے سے (1+1)−0=2 ملتا ہے۔ آپشن 5 تکمل کیے بغیر x=1 رکھ کر 3+2 نکالتا ہے، آپشن 1 صرف x³ والے رکن کا حساب کرتا ہے، اور 3 رکن 3x² کے عددی سر کے اثر میں آ جاتا ہے۔

[x³+x²+x] کی قیمت −1 سے 1 تک نکالنے سے 3−(−1)=4 ملتا ہے۔ طاق حصہ 2x کٹ جاتا ہے، اور 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 سے بھی یہی ملتا ہے۔ آپشن 3 صرف بالائی حد استعمال کرتا ہے، 2 میں زیریں حد پر 3+(−1) کی علامت کی غلطی ہے، اور 6 تمام ارکان کو جفت سمجھ کر سب کچھ دُگنا کر دیتا ہے۔

[x³/3−x] کی قیمت 1 سے 2 تک نکالنے سے (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3 ملتا ہے۔ آپشن 0 اس علامت کی غلطی سے آتا ہے جو زیریں قیمت −2/3 کو +2/3 بنا دیتی ہے، 2/3 صرف بالائی حد استعمال کرتا ہے، اور 6 میں x² کا تکمل 3 سے تقسیم کیے بغیر x³ لیا گیا ہے، کیونکہ [x³−x] کی 1 سے 2 تک قیمت 6−0=6 ہے۔

تقاطع x=±2 پر ہیں، اور اس وقفے پر y≦0 ہے۔ اس لیے S=∫[−2→2](4−x²)dx، اور [4x−x³/3] کی قیمت −2 سے 2 تک نکالنے سے (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3 ملتا ہے۔ آپشن −32/3 علامت درست کیے بغیر ∫(x²−4)dx نکالتا ہے، حالانکہ رقبہ مثبت ہوتا ہے؛ 16/3 صرف 0 سے 2 تک تکمل کرتا ہے؛ اور 64/3 میں چھٹے حصے والے فارمولے کے 6 کے بجائے 3 سے تقسیم کیا گیا ہے۔

تقاطع x²=x+2 سے آتے ہیں، جس سے x=−1 اور 2 ملتے ہیں۔ اس لیے S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2۔ آپشن 27/2 میں 6 کے بجائے 2 سے تقسیم کیا گیا ہے، 9 میں 3 سے تقسیم کیا گیا ہے، اور 3 صرف β−α کی قیمت ہے۔ معین تکمل کی براہِ راست قیمت نکالنے سے بھی 9/2 ملتا ہے۔

معین تکمل ایک مستقل ہوتا ہے، اس لیے A=∫[0→1]f(t)dt رکھیں، جس سے f(x)=x²−A ملتا ہے۔ واپس رکھنے سے A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A، اس لیے 2A=1/3 اور A=1/6۔ لہٰذا f(x)=x²−1/6۔ آپشن x²−1/3 مساوات حل کیے بغیر A=1/3 چھوڑ دیتا ہے، x²+1/6 علامت کی غلطی ہے، اور x²−1/4 اس سے آتا ہے کہ ∫t²dt کو 1/2 لے کر A=1/4 نکالا جائے۔