Cálculo diferencial e integral (Matemática II)

Por (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹, obtém-se (x³)′=3x². A alternativa x² esquece de trazer o expoente para a frente, 3x³ esquece de reduzir o grau, e 2x confunde com (x²)′.

Derivando termo a termo, obtém-se 6x−4+0=6x−4, e o termo independente 5 desaparece. A alternativa 6x+4 é um erro de sinal, 6x esquece de derivar −4x, e 3x−4 trata errado o coeficiente de 3x².

Substituindo x=2 em f′(x)=2x−3, obtém-se 4−3=1. A alternativa −2 calcula f(2), esquecendo de derivar, 4 mantém apenas o termo 2x, e 7 tem o erro de sinal 2x+3.

f′(a) é o limite, quando h→0, da taxa média de variação (f(a+h)−f(a))/h, e representa o coeficiente angular da tangente ao gráfico em x=a. Não a confunda com o valor da função f(a) nem com a própria taxa média de variação.

De y′=2x, o coeficiente angular é f′(1)=2. Reorganizando y−1=2(x−1), obtém-se y=2x−1. A alternativa y=2x+1 é um erro de sinal, y=2x esquece de calcular o coeficiente linear, e y=x não usa a derivada como coeficiente angular. Verifique que a reta passa por y=1 em x=1.

Substituindo x=0 em y′=3x²−3, obtém-se o coeficiente angular −3. De y−2=−3(x−0), obtém-se y=−3x+2. A alternativa 3x+2 é um erro de sinal, −3x ignora o ponto pelo qual a reta deve passar, e y=2 toma erroneamente o coeficiente angular como zero.

De f′(x)=2x+a, obtém-se f′(2)=4+a=5, então a=1. A alternativa a=0 interpreta erroneamente a condição como f(2)=5, um valor da função, a=3 usa f′(1)=5, e a=5 esquece de subtrair 4.

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. A alternativa 2 é f′(1) e 6 é f′(3), confundindo com uma derivada, enquanto 8 dá a diferença f(3)−f(1) sem dividir pela amplitude do intervalo.

Escrevendo o ponto de tangência como (t, t²), a tangente é y=2tx−t². Exigindo que ela passe por (1, −3), obtém-se −3=2t−t², isto é, t²−2t−3=0 e (t−3)(t+1)=0, então t=3 ou −1. O coeficiente angular é 2t, o que dá 6 e −2. O par 3 e −1 informa as coordenadas x dos pontos de tangência, e 2 apenas calcula y′(1).

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1). Pela tabela de variação, o máximo local ocorre em x=−1, com valor (−1)³−3×(−1)=2. A alternativa −2 é o mínimo local em x=1, e −1 confunde a coordenada x com o valor.

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1). Em x=1, o valor mínimo local é 2−6=−4, e em x=−1, o valor máximo local é 4. A alternativa 4 confunde o máximo com o mínimo, e 1 ou −1 informam coordenadas x.

y′=3x²−6x=3x(x−2). Temos y′>0 para x<0 e para 2<x, e a função é crescente aí. O intervalo 0<x<2 é onde y′<0 e a função é decrescente, e responder com ele é a inversão clássica.

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1). Em x=−3, o valor máximo local é −27+27+27+1=28, e em x=1, o valor mínimo local é −4. A alternativa −4 confunde o mínimo com o máximo, −3 é a coordenada x do máximo, e 1 olha apenas para o termo independente.

De y′=3x(x−2), o mínimo local está em x=2, e 8−12+a=0 dá a=4. A alternativa a=−4 vem de um erro de sinal em a−4=0, a=0 monta a equação no ponto de máximo x=0, e a=2 confunde com uma coordenada x.

Os candidatos são os valores nas extremidades e os valores extremos: f(0)=0, f(1)=−2 no mínimo local, e f(3)=27−9=18. O máximo é o valor na extremidade, 18. A alternativa 2 informa o máximo local em x=−1, fora do intervalo, e −2 é o mínimo. Sempre compare os valores nas extremidades.

f′=3x(x−2). Os candidatos são f(0)=5, f(2)=8−12+5=1 no mínimo local, e f(3)=27−27+5=5. O mínimo é 1, em x=2. A alternativa 5 é o máximo, 2 é a coordenada x em que ocorre o mínimo, e −4 é o mínimo local de x³−3x², esquecendo a constante +5.

É preciso que f′=3x²+2ax+3 tenha duas raízes reais distintas, então a condição do discriminante D/4=a²−9>0 dá a<−3 ou 3<a. Incluir a igualdade daria uma raiz dupla, onde o sinal não muda e não há valor extremo, então está errado. O intervalo −3<a<3 inverte a desigualdade.

De f′=3x²−3a=0, obtém-se x=±√a, e x=√a dá o mínimo local. De f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16, obtém-se a√a=8, isto é, a^(3/2)=8 e, portanto, a=4. Verificando, se a=4, então f(x)=x³−12x e o mínimo local em x=2 é 8−24=−16. Com a=2, obteríamos −2×2√2≒−5.7, que não confere.

De x(x²−3)=0, obtém-se x=0 e ±√3, três no total. Para uma equação do terceiro grau que pode ser fatorada, coloque primeiro o fator comum x em evidência. Não perceber as duas raízes de x²−3=0 leva à resposta errada de uma.

Para f(x)=x³−3x+1, o máximo local é f(−1)=3>0 e o mínimo local é f(1)=−1<0. Como os valores extremos têm sinais opostos, o gráfico corta o eixo x em três pontos, então há 3 raízes reais. Mesmo quando a expressão do terceiro grau não se fatora, os sinais dos valores extremos dão a contagem.

Fatorando, obtém-se (x+1)(x−2)²=0, então x=−1 e 2, duas no total. O valor mínimo local f(2)=8−12+4=0 significa que o gráfico tangencia o eixo x em x=2. A resposta 3 conta duas vezes a raiz dupla x=2.

A curva y=x³−3x tem valor máximo local 2 em x=−1 e valor mínimo local −2 em x=1. A reta horizontal y=a a intercepta em três pontos exatamente quando −2<a<2. Incluir as igualdades está errado, porque em uma extremidade aparece uma raiz dupla e a contagem cai para duas, e a=±2 é justamente esse caso de duas raízes.

Separe como a=x³−3x². Para g(x)=x³−3x², o máximo local é g(0)=0 e o mínimo local é g(2)=−4, e a deve ficar entre eles, então −4<a<0. O intervalo 0<a<4 tem o sinal errado, e incluir as igualdades dá uma raiz dupla e apenas duas soluções.

Como y′=3x²≧0, a função é sempre crescente e, embora y′=0 em x=0, o sinal não muda ali, então não há valor extremo. Como (−x)³=−x³, o gráfico é simétrico em relação à origem, isto é, a função é ímpar. A simetria em relação ao eixo y é própria das funções pares, como y=x².

Para f(x)=2x³−3x²−12x+k, temos f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2). O máximo local é f(−1)=7+k e o mínimo local é f(2)=−20+k. Três raízes exigem que o máximo local seja positivo e o mínimo local negativo, então 7+k>0 e k−20<0, o que dá −7<k<20. O intervalo −20<k<7 troca o máximo e o mínimo, e incluir as igualdades dá uma raiz dupla e apenas duas soluções.

Para f(x)=x³−3x+1, temos f(0)=1>0, f(1)=−1<0 e f(2)=3>0, então há uma raiz positiva no intervalo de 0 a 1 e outra entre 1 e 2, o que dá 2 no total. A raiz restante é negativa, pois f(−2)=−1<0 e f(−1)=3>0. Das três raízes reais, duas são positivas.

Como ∫2xdx=x² e ∫3dx=3x, a resposta é x²+3x+C. A versão sem C esquece a constante de integração, 2x²+3x+C esquece de dividir 2x por 2, e x²+3+C não integra a constante em 3x.

Aumentando cada expoente em um e dividindo, obtém-se x³−2x²+x+C. A alternativa que começa com 3x³ esquece de dividir 3x² por 3, a que tem −4x² esquece de dividir −4x por 2, e 6x−4 deriva em vez de integrar.

Calculando [x²] de 1 a 3, obtém-se 9−1=8. A alternativa 10 soma, como 9+1, 9 esquece de substituir o limite inferior, e 6 apenas substitui no integrando, como 2×3.

Calculando [x³+x²] de 0 a 1, obtém-se (1+1)−0=2. A alternativa 5 substitui x=1 sem integrar, como 3+2, a alternativa 1 calcula apenas o termo em x³, e 3 se deixa levar pelo coeficiente de 3x².

Calculando [x³+x²+x] de −1 a 1, obtém-se 3−(−1)=4. A parte ímpar 2x se anula, e 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 dá o mesmo resultado. A alternativa 3 usa apenas o limite superior, 2 tem o erro de sinal 3+(−1) no limite inferior, e 6 dobra tudo, tratando todos os termos como pares.

Calculando [x³/3−x] de 1 a 2, obtém-se (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3. A alternativa 0 vem de um erro de sinal que transforma o valor inferior −2/3 em +2/3, 2/3 usa apenas o limite superior, e 6 integra x² como x³ sem dividir por 3, pois [x³−x] de 1 a 2 é 6−0=6.

As interseções estão em x=±2, e nesse intervalo y≦0. Então S=∫[−2→2](4−x²)dx, e [4x−x³/3] de −2 a 2 dá (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3. A alternativa −32/3 calcula ∫(x²−4)dx sem corrigir o sinal, enquanto uma área é positiva; 16/3 integra apenas de 0 a 2; e 64/3 divide por 3 em vez de dividir por 6, como manda a fórmula de 1/6.

As interseções vêm de x²=x+2, o que dá x=−1 e 2. Então S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2. A alternativa 27/2 divide por 2 em vez de 6, 9 divide por 3, e 3 é apenas o valor de β−α. Calcular diretamente a integral definida também dá 9/2.

Uma integral definida é uma constante, então faça A=∫[0→1]f(t)dt, o que dá f(x)=x²−A. Substituindo de volta, A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A, então 2A=1/3 e A=1/6. Logo f(x)=x²−1/6. A alternativa x²−1/3 deixa A=1/3 sem resolver a equação, x²+1/6 é um erro de sinal, e x²−1/4 vem de tomar ∫t²dt como 1/2 e obter A=1/4.