Đạo hàm và tích phân (数学Ⅱ, tức Toán II bậc trung học phổ thông Nhật Bản)

Theo (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ ta có (x³)′=3x². Kết quả x² là lỗi quên hạ số mũ xuống làm hệ số, 3x³ là lỗi quên giảm bậc, còn 2x là nhầm với (x²)′.

Lấy đạo hàm từng hạng tử được 6x−4+0=6x−4, trong đó hằng số 5 biến mất. Kết quả 6x+4 là lỗi sai dấu, 6x là lỗi quên đạo hàm của −4x, còn 3x−4 là lỗi xử lý hệ số của 3x².

Từ f′(x)=2x−3, thay x=2 được 4−3=1. Kết quả −2 là lỗi tính f(2), tức quên lấy đạo hàm; 4 là chỉ lấy hạng tử 2x; còn 7 là lỗi sai dấu thành 2x+3.

Giá trị f′(a) là giới hạn khi h→0 của tỉ số biến thiên trung bình (f(a+h)−f(a))/h, và nó biểu thị hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị tại x=a. Đừng lẫn nó với giá trị f(a) hay với chính tỉ số biến thiên trung bình.

Từ y′=2x, hệ số góc là f′(1)=2. Rút gọn y−1=2(x−1) được y=2x−1. Kết quả y=2x+1 là lỗi sai dấu, y=2x là quên tính tung độ gốc, còn y=x là lỗi không dùng đạo hàm để tìm hệ số góc. Có thể kiểm tra bằng việc đường thẳng đi qua điểm có x=1, y=1.

Thay x=0 vào y′=3x²−3 được hệ số góc −3. Từ y−2=−3(x−0) ta có y=−3x+2. Kết quả 3x+2 là lỗi sai dấu, −3x là quên xử lý điểm mà tiếp tuyến đi qua, còn y=2 là lỗi cho rằng hệ số góc bằng 0.

Từ f′(x)=2x+a ta có f′(2)=4+a=5, nên a=1. Kết quả a=0 là lỗi đọc điều kiện thành giá trị hàm số f(2)=5, a=3 là lỗi dùng f′(1)=5, còn a=5 là lỗi quên trừ 4.

Ta có (f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. Kết quả 2 là f′(1) và 6 là f′(3), tức nhầm với đạo hàm tại một điểm, còn 8 là lỗi quên chia hiệu f(3)−f(1) cho độ dài khoảng.

Gọi tiếp điểm là (t, t²) thì tiếp tuyến là y=2tx−t². Điều kiện đi qua điểm có x=1, y=−3 cho −3=2t−t², tức t²−2t−3=0, hay (t−3)(t+1)=0, nên t=3 hoặc t=−1. Hệ số góc bằng 2t nên là 6 và −2. Đáp án 3 và −1 là lỗi trả lời hoành độ tiếp điểm, còn 2 chỉ là giá trị y′(1).

Ta có y′=3x²−3=3(x+1)(x−1). Theo bảng biến thiên, tại x=−1 hàm đạt cực đại với giá trị (−1)³−3×(−1)=2. Kết quả −2 là giá trị cực tiểu tại x=1, còn −1 là hoành độ của điểm cực đại chứ không phải giá trị.

Ta có y′=6x²−6=6(x+1)(x−1). Tại x=1 hàm đạt cực tiểu với giá trị 2−6=−4, còn tại x=−1 đạt cực đại bằng 4. Kết quả 4 là lỗi lấy nhầm giá trị cực đại, còn 1 và −1 là các hoành độ.

Ta có y′=3x²−6x=3x(x−2). Bất phương trình y′>0 cho x<0 hoặc 2<x, và trên đó hàm đồng biến. Khoảng 0<x<2 là nơi y′<0, tức khoảng nghịch biến, và trả lời ngược là lỗi quen thuộc.

Ta có y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1). Tại x=−3 hàm đạt cực đại với giá trị −27+27+27+1=28, còn tại x=1 đạt cực tiểu bằng −4. Kết quả −4 là lấy nhầm giá trị cực tiểu, −3 là hoành độ của điểm cực đại, còn 1 là chỉ nhìn vào số hạng tự do.

Từ y′=3x(x−2) suy ra điểm cực tiểu ở x=2. Từ 8−12+a=0 ta có a=4. Kết quả a=−4 là lỗi sai dấu khi giải a−4=0, a=0 là lỗi lập phương trình tại điểm cực đại x=0, còn a=2 là nhầm với hoành độ.

Các giá trị cần so sánh là ở hai đầu mút và tại điểm cực trị: f(0)=0, f(1)=−2 là cực tiểu, f(3)=27−9=18. Vậy giá trị lớn nhất là 18, đạt tại đầu mút. Số 2 là giá trị cực đại tại x=−1 nằm ngoài đoạn, còn −2 là giá trị nhỏ nhất. Luôn phải so sánh cả giá trị tại hai đầu mút.

Ta có f′=3x(x−2), nên các giá trị cần so sánh là f(0)=5, f(2)=8−12+5=1 là cực tiểu, và f(3)=27−27+5=5. Vậy giá trị nhỏ nhất là 1, đạt tại x=2. Số 5 là giá trị lớn nhất, 2 là hoành độ của điểm cực tiểu, còn −4 là giá trị cực tiểu của x³−3x² khi quên số hạng +5.

Điều kiện là f′=3x²+2ax+3 có hai nghiệm thực phân biệt, tức biệt thức D/4=a²−9>0, cho a<−3 hoặc 3<a. Nếu lấy dấu bằng thì có nghiệm kép, đạo hàm không đổi dấu nên không có cực trị. Khoảng −3<a<3 là lỗi lấy ngược chiều bất đẳng thức.

Từ f′=3x²−3a=0 ta có x=±√a, và x=√a là điểm cực tiểu. Từ f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 suy ra a√a=8, tức a^(3/2)=8, nên a=4. Kiểm tra: với a=4 thì f(x)=x³−12x và giá trị cực tiểu tại x=2 là 8−24=−16. Với a=2 thì −2×2√2≒−5.7, không khớp.

Từ x(x²−3)=0 ta có x=0 và x=±√3, tất cả 3 nghiệm. Với phương trình bậc ba phân tích được thì trước hết hãy đặt nhân tử chung x ra ngoài. Bỏ sót hai nghiệm của x²−3=0 sẽ dẫn tới đáp án sai là 1 nghiệm.

Với f(x)=x³−3x+1, giá trị cực đại là f(−1)=3>0 và giá trị cực tiểu là f(1)=−1<0. Vì hai giá trị cực trị trái dấu nên đồ thị cắt trục x tại 3 điểm, tức có 3 nghiệm thực. Ngay cả khi không phân tích được nhân tử, dấu của các giá trị cực trị vẫn cho biết số nghiệm.

Phân tích được (x+1)(x−2)²=0, cho x=−1 và x=2, tức 2 nghiệm phân biệt. Vì giá trị cực tiểu f(2)=8−12+4=0 nên đồ thị tiếp xúc trục x tại x=2. Đáp án 3 nghiệm là lỗi đếm nghiệm kép x=2 thành hai nghiệm.

Hàm y=x³−3x có giá trị cực đại 2 tại x=−1 và giá trị cực tiểu −2 tại x=1. Đường ngang y=a cắt đồ thị tại 3 điểm khi −2<a<2. Khoảng −2≦a≦2 là sai vì tại hai đầu mút xuất hiện nghiệm kép và chỉ còn 2 nghiệm, còn a=±2 đúng là trường hợp có 2 nghiệm.

Tách thành a=x³−3x², rồi xét g(x)=x³−3x² có giá trị cực đại g(0)=0 và giá trị cực tiểu g(2)=−4. Chỉ cần a nằm giữa hai giá trị đó, tức −4<a<0. Khoảng 0<a<4 là lỗi sai dấu, còn nếu lấy dấu bằng thì xuất hiện nghiệm kép và chỉ còn 2 nghiệm.

Vì y′=3x²≧0 nên hàm luôn đồng biến, và tuy y′=0 tại x=0 nhưng đạo hàm không đổi dấu nên không có cực trị. Vì (−x)³=−x³ nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ, tức đây là hàm số lẻ. Đối xứng qua trục y là tính chất của hàm chẵn như y=x².

Với f(x)=2x³−3x²−12x+k thì f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2). Giá trị cực đại là f(−1)=7+k và giá trị cực tiểu là f(2)=−20+k. Điều kiện có ba nghiệm là giá trị cực đại dương và giá trị cực tiểu âm, tức 7+k>0 và k−20<0, cho −7<k<20. Khoảng −20<k<7 là lỗi lẫn lộn cực đại với cực tiểu, còn lấy dấu bằng thì có nghiệm kép và chỉ còn 2 nghiệm.

Với f(x)=x³−3x+1 ta có f(0)=1>0, f(1)=−1<0 và f(2)=3>0, nên mỗi khoảng từ 0 đến 1 và từ 1 đến 2 chứa đúng một nghiệm dương, tổng cộng 2 nghiệm. Nghiệm còn lại là nghiệm âm vì f(−2)=−1<0 và f(−1)=3>0. Trong 3 nghiệm thực thì có 2 nghiệm dương.

Vì ∫2xdx=x² và ∫3dx=3x nên kết quả là x²+3x+C. Đáp án x²+3x là lỗi quên viết hằng số tích phân C, 2x²+3x+C là lỗi quên chia 2x cho 2, còn x²+3+C là lỗi không lấy nguyên hàm của hằng số thành 3x.

Tăng số mũ của từng hạng tử lên một rồi chia cho số mũ mới, ta được x³−2x²+x+C. Đáp án bắt đầu bằng 3x³ là lỗi quên chia 3x² cho 3, đáp án có −4x² là lỗi quên chia −4x cho 2, còn 6x−4 là lỗi lấy đạo hàm thay vì nguyên hàm.

Lấy [x²] từ 1 đến 3 được 9−1=8. Kết quả 10 là lỗi cộng thành 9+1, 9 là lỗi quên thay cận dưới, còn 6 là lỗi chỉ thay x=3 vào hàm dưới dấu tích phân và tính 2×3.

Lấy [x³+x²] từ 0 đến 1 được (1+1)−0=2. Kết quả 5 là lỗi không lấy nguyên hàm mà thay thẳng x=1 vào 3+2, 1 là lỗi chỉ tính hạng tử x³, còn 3 là bị hệ số của 3x² dẫn dắt.

Lấy [x³+x²+x] từ −1 đến 1 được 3−(−1)=4. Phần hàm lẻ 2x triệt tiêu, nên tính 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 cũng cho cùng kết quả. Số 3 chỉ là giá trị ở cận trên, 2 là lỗi sai dấu khi cộng cận dưới thành 3+(−1), còn 6 là lỗi coi mọi hạng tử đều là hàm chẵn rồi nhân đôi.

Lấy [x³/3−x] từ 1 đến 2 được (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3. Kết quả 0 là do sai dấu, lấy giá trị ở cận dưới −2/3 thành +2/3; 2/3 chỉ là giá trị ở cận trên; còn 6 là lỗi lấy nguyên hàm của x² thành x³ mà quên chia 3, khi đó [x³−x] từ 1 đến 2 cho 6−0=6.

Giao điểm ở x=±2 và trên đoạn đó y≦0, nên S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] từ −2 đến 2, bằng (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3. Kết quả −32/3 là lỗi tính thẳng ∫(x²−4)dx mà không đổi dấu, trong khi diện tích phải dương; 16/3 là lỗi chỉ lấy tích phân từ 0 đến 2; còn 64/3 là lỗi chia cho 3 thay vì 6 trong công thức một phần sáu.

Giao điểm ứng với x²=x+2, cho x=−1 và x=2. Do đó S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2. Kết quả 27/2 là lỗi chia cho 2 thay vì 6, 9 là lỗi chia cho 3, còn 3 chính là hiệu hai nghiệm. Tính trực tiếp tích phân cũng cho 9/2.

Vì tích phân xác định là một hằng số nên đặt A=∫[0→1]f(t)dt, khi đó f(x)=x²−A. Thay vào được A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A, tức 2A=1/3 và A=1/6. Vậy f(x)=x²−1/6. Đáp án x²−1/3 là lỗi không giải phương trình mà để nguyên A=1/3, x²+1/6 là lỗi sai dấu, còn x²−1/4 là lỗi tính ∫t²dt thành 1/2 rồi ra A=1/4.