微分與積分（數學Ⅱ，日本高中的第二階段數學）

由 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ 得 (x³)′=3x²。x² 是忘了把指數移到前面；3x³ 是忘了把次數降低；2x 則是與 (x²)′ 混淆。

逐項微分得 6x−4+0=6x−4，常數項 5 會消失。6x+4 是符號弄錯；6x 是忘了微分 −4x；3x−4 則是 3x² 的係數處理錯誤。

f′(x)=2x−3，代入 x=2 得 4−3=1。−2 是算成 f(2)（忘了先微分）；4 是只算了 2x 那一項；7 則是把符號誤成 2x+3。

f′(a) 是平均變化率 (f(a+h)−f(a))/h 在 h→0 時的極限值，代表圖形在 x=a 處的切線斜率。別和函數值 f(a) 或平均變化率本身混淆。

y′=2x，所以斜率是 f′(1)=2。由 y−1=2(x−1) 整理得 y=2x−1。y=2x+1 是符號弄錯；y=2x 是漏算截距；y=x 則是沒有用微分求斜率。可以用它在 x=1 時通過 y=1 來驗算。

y′=3x²−3，代入 x=0 得斜率 −3。由 y−2=−3(x−0) 得 y=−3x+2。3x+2 是符號弄錯；−3x 是漏了通過該點所帶來的截距；y=2 則是誤以為斜率為 0。

f′(x)=2x+a，所以 f′(2)=4+a=5，得 a=1。a=0 是把條件誤讀成函數值 f(2)=5；a=3 是誤算成 f′(1)=5；a=5 則是忘了減去 4。

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4。2 是 f′(1)、6 是 f′(3)，都是與微分係數混淆；8 則是忘了把差 f(3)−f(1) 除以區間長度。

設切點為 (t, t²)，則切線是 y=2tx−t²。由通過點 (1, −3) 的條件得 −3=2t−t²，即 t²−2t−3=0，(t−3)(t+1)=0，t=3, −1。斜率是 2t，所以是 6 與 −2。答成 3 與 −1 是直接把切點的 x 坐標當答案；2 則是只算了 y′(1)。

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1)。由增減表可知 x=−1 時有極大值 (−1)³−3×(−1)=2。−2 是 x=1 處的極小值；−1 則是取到極大值的 x 坐標，與值本身混淆。

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1)。x=1 時有極小值 2−6=−4，x=−1 時有極大值 4。4 是與極大值弄錯；1 與 −1 則是答成了 x 坐標。

y′=3x²−6x=3x(x−2)。使 y′>0 的是 x<0, 2<x，在此範圍內遞增。0<x<2 是 y′<0 的遞減區間，答反了是常見錯誤。

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1)。x=−3 時有極大值 −27+27+27+1=28，x=1 時有極小值 −4。−4 是與極小值弄錯；−3 是取到極大值的 x 坐標；1 則是只看了常數項。

y′=3x(x−2)，所以極小出現在 x=2。由 8−12+a=0 得 a=4。a=−4 是把 a−4=0 的符號弄錯；a=0 是誤用極大的 x=0 來列式；a=2 則是與 x 坐標混淆。

候選是端點與極值點的值：f(0)=0、f(1)=−2（極小）、f(3)=27−9=18，最大值是端點的 18。2 是答成區間外 x=−1 處的極大值；−2 則是最小值。一定要把端點的值一起比較。

f′=3x(x−2)。候選為 f(0)=5、f(2)=8−12+5=1（極小）、f(3)=27−27+5=5，最小值是 1（在 x=2）。5 是最大值；2 是取到最小值的 x 坐標；−4 則是忘了常數項 +5、算成 x³−3x² 的極小值。

條件是 f′=3x²+2ax+3 有相異兩實根，由判別式 D/4=a²−9>0 得 a<−3, 3<a。若含等號就會是重根、導數符號不變，反而沒有極值，所以不對。−3<a<3 則是把不等號方向弄反。

由 f′=3x²−3a=0 得 x=±√a，其中 x=√a 為極小。f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16，故 a√a=8，即 a^(3/2)=8，得 a=4。驗算：a=4 時 f(x)=x³−12x，x=2 處的極小值是 8−24=−16。若 a=2 則為 −2×2√2≒−5.7，並不相符。

由 x(x²−3)=0 得 x=0, ±√3 共 3 個。可以因式分解的三次方程式，先把公因式 x 提出來。若漏看 x²−3=0 的兩個解，就會誤答 1 個。

f(x)=x³−3x+1 的極大值是 f(−1)=3>0、極小值是 f(1)=−1<0。極值一正一負，所以圖形與 x 軸交於 3 點，實根有 3 個。即使無法因式分解，也能由極值的正負判斷個數。

因式分解得 (x+1)(x−2)²=0，所以是 x=−1, 2 共 2 個。因為極小值 f(2)=8−12+4=0，圖形在 x=2 處與 x 軸相切。答 3 個是把重根 x=2 算成兩個。

y=x³−3x 的極大值是 2（x=−1）、極小值是 −2（x=1）。水平線 y=a 與圖形交於 3 點的情形是 −2<a<2。−2≦a≦2 在端點會出現重根、變成 2 個，所以不對；a=±2 正是恰好 2 個的情形。

分離成 a=x³−3x²，只要 a 落在 g(x)=x³−3x² 的極大值 g(0)=0 與極小值 g(2)=−4 之間即可，所以是 −4<a<0。0<a<4 是符號弄錯；若含等號就會出現重根、變成 2 個。

因為 y′=3x²≧0，所以恆為遞增；雖然 x=0 時 y′=0，但符號沒有改變，因此沒有極值。又因為 (−x)³=−x³，所以對原點對稱（奇函數）。對 y 軸對稱的是像 y=x² 這樣的偶函數。

設 f(x)=2x³−3x²−12x+k，則 f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2)。極大值 f(−1)=7+k、極小值 f(2)=−20+k。三根的條件是極大值>0 且極小值<0，由 7+k>0 且 k−20<0 得 −7<k<20。−20<k<7 是把極大與極小弄反；若含等號就會有重根、變成 2 個。

f(x)=x³−3x+1 滿足 f(0)=1>0、f(1)=−1<0、f(2)=3>0，所以在區間 (0, 1) 與 (1, 2) 各有一個正根，共 2 個。剩下的一個由 f(−2)=−1<0、f(−1)=3>0 可知是負根。三個實根中有 2 個是正的。

∫2xdx=x²、∫3dx=3x，所以是 x²+3x+C。寫成 x²+3x 是忘了寫積分常數 C；2x²+3x+C 是 2x 忘了除以 2；x²+3+C 則是沒把常數的積分寫成 3x。

把每一項的指數加 1 再除以新的指數，得 x³−2x²+x+C。3x³−… 是 3x² 忘了除以 3；x³−4x²+… 是 −4x 忘了除以 2；6x−4 則是做成了微分而不是積分。

[x²] 從 1 到 3 得 9−1=8。10 是算成 9+1；9 是忘了代入下限；6 則是只把 x 代進被積分函數、算成 2×3。

[x³+x²] 從 0 到 1 得 (1+1)−0=2。5 是沒有積分、直接代 x=1 得 3+2；1 是只算了 x³ 那一項；3 則是被 3x² 的係數帶著走。

[x³+x²+x] 從 −1 到 1 得 3−(−1)=4。奇函數 2x 的部分會抵消，用 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 也一樣。3 是只算了上限的值；2 是把下限誤算成 3+(−1) 的符號錯誤；6 則是把所有項都當成偶函數而乘 2。

[x³/3−x] 從 1 到 2 得 (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3。0 是把下限的值 −2/3 誤成 +2/3；2/3 是只算了上限；6 則是把 x² 的積分寫成 x³、忘了除以 3（[x³−x] 從 1 到 2 得 6−0=6）。

交點是 x=±2，在此區間內 y≦0。S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] 從 −2 到 2 得 (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3。−32/3 是沒有處理正負、直接算 ∫(x²−4)dx（面積必為正）；16/3 是只積分了 0 到 2；64/3 則是把 1/6 公式的 6 誤成 3。

由 x²=x+2 得交點 x=−1, 2。S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2。27/2 是除以 2 而不是 6；9 是除以 3；3 則是 β−α 本身的值。直接算定積分也會得到 9/2。

定積分是一個常數，令 A=∫[0→1]f(t)dt，則 f(x)=x²−A。代回去得 A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A，由 2A=1/3 得 A=1/6，所以 f(x)=x²−1/6。x²−1/3 是沒有解方程式、把 A 停在 1/3；x²+1/6 是符號弄錯；x²−1/4 則是把 ∫t²dt 誤成 1/2、得到 A=1/4。