การหาอนุพันธ์และการหาปริพันธ์

จาก (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ จะได้ (x³)′=3x² ข้อ x² เกิดจากลืมดึงเลขชี้กำลังลงมาไว้ข้างหน้า ข้อ 3x³ เกิดจากลืมลดดีกรี และ 2x เกิดจากสับสนกับ (x²)′

หาอนุพันธ์ทีละพจน์ได้ 6x−4+0=6x−4 พจน์คงตัว 5 จะหายไป ข้อ 6x+4 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย ข้อ 6x เกิดจากลืมหาอนุพันธ์ของ −4x และ 3x−4 เกิดจากจัดการสัมประสิทธิ์ของ 3x² ผิด

f′(x)=2x−3 แทน x=2 ได้ 4−3=1 ข้อ −2 เกิดจากไปคำนวณ f(2) คือลืมหาอนุพันธ์ ข้อ 4 เกิดจากคิดเฉพาะพจน์ 2x และ 7 เกิดจากใส่เครื่องหมายผิดเป็น 2x+3

f′(a) คือค่าลิมิตเมื่อ h→0 ของอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย (f(a+h)−f(a))/h ซึ่งแสดงความชันของเส้นสัมผัสกราฟที่ x=a อย่าสับสนกับค่าของฟังก์ชัน f(a) หรือกับอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยเอง

จาก y′=2x ความชันคือ f′(1)=2 จัดรูป y−1=2(x−1) ได้ y=2x−1 ข้อ y=2x+1 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย ข้อ y=2x เกิดจากลืมคำนวณค่าคงที่ และ y=x เกิดจากไม่ได้ใช้อนุพันธ์หาความชัน ตรวจได้จากการที่ต้องผ่านจุด x=1 แล้วได้ y=1

แทน x=0 ใน y′=3x²−3 ได้ความชัน −3 จาก y−2=−3(x−0) ได้ y=−3x+2 ข้อ 3x+2 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย ข้อ −3x เกิดจากลืมจัดการค่าคงที่จากจุดที่กราฟผ่าน และ y=2 เกิดจากคิดผิดว่าความชันเป็น 0

f′(x)=2x+a จึงได้ f′(2)=4+a=5 นั่นคือ a=1 ข้อ a=0 เกิดจากอ่านเงื่อนไขผิดเป็นค่าของฟังก์ชัน f(2)=5 ข้อ a=3 เกิดจากคิดผิดเป็น f′(1)=5 และ a=5 เกิดจากลืมลบ 4

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4 ข้อ 2 คือ f′(1) และ 6 คือ f′(3) ซึ่งเกิดจากสับสนกับค่าอนุพันธ์ ณ จุด ส่วน 8 เกิดจากลืมหารผลต่าง f(3)−f(1) ด้วยความกว้างของช่วง

ให้จุดสัมผัสเป็น (t, t²) เส้นสัมผัสคือ y=2tx−t² เงื่อนไขที่ผ่านจุด (1, −3) ให้ −3=2t−t² นั่นคือ t²−2t−3=0 และ (t−3)(t+1)=0 จึงได้ t=3, −1 ความชันคือ 2t จึงเป็น 6 กับ −2 ข้อ 3 กับ −1 เกิดจากตอบพิกัด x ของจุดสัมผัสไปเลย และ 2 เกิดจากคำนวณเพียง y′(1)

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1) จากตารางแสดงการเพิ่มลด ที่ x=−1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ (−1)³−3×(−1)=2 ข้อ −2 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x=1 และ −1 คือพิกัด x ที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ซึ่งสับสนกับตัวค่าเอง

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1) ที่ x=1 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 2−6=−4 และที่ x=−1 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 4 ข้อ 4 เกิดจากสลับกับค่าสูงสุดสัมพัทธ์ ส่วน 1 กับ −1 เกิดจากตอบพิกัด x

y′=3x²−6x=3x(x−2) ค่า y′>0 เกิดขึ้นเมื่อ x<0 หรือ 2<x ในช่วงนี้ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้น ข้อ 0<x<2 คือช่วงที่ y′<0 ซึ่งเป็นช่วงที่ลดลง การตอบสลับกันเป็นความผิดพลาดยอดนิยม

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1) ที่ x=−3 ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์เท่ากับ −27+27+27+1=28 และที่ x=1 ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ −4 ข้อ −4 เกิดจากสลับกับค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ข้อ −3 คือพิกัด x ที่ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ 1 เกิดจากดูเพียงพจน์คงตัว

จาก y′=3x(x−2) ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์อยู่ที่ x=2 จาก 8−12+a=0 จึงได้ a=4 ข้อ a=−4 เกิดจากใส่เครื่องหมายผิดใน a−4=0 ข้อ a=0 เกิดจากตั้งสมการที่ x=0 ซึ่งเป็นจุดของค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ a=2 เกิดจากสับสนกับพิกัด x

ค่าที่ต้องนำมาเทียบคือค่าที่จุดปลายกับที่จุดสุดขีดสัมพัทธ์ ได้แก่ f(0)=0, f(1)=−2 ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ f(3)=27−9=18 ค่าสูงสุดจึงเป็น 18 ที่จุดปลาย ข้อ 2 เกิดจากตอบค่าสูงสุดสัมพัทธ์ที่ x=−1 ซึ่งอยู่นอกช่วง และ −2 คือค่าต่ำสุด ต้องเทียบค่าที่จุดปลายเสมอ

f′=3x(x−2) ค่าที่ต้องนำมาเทียบคือ f(0)=5, f(2)=8−12+5=1 ซึ่งเป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ f(3)=27−27+5=5 ค่าต่ำสุดจึงเป็น 1 ที่ x=2 ข้อ 5 คือค่าสูงสุด ข้อ 2 คือพิกัด x ที่ให้ค่าต่ำสุด และ −4 คือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของ x³−3x² ที่ลืมบวกพจน์คงตัว +5

เงื่อนไขคือ f′=3x²+2ax+3 ต้องมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริงสองค่าที่ต่างกัน จากดิสคริมิแนนต์ D/4=a²−9>0 ได้ a<−3 หรือ 3<a ถ้ารวมกรณีเท่ากับจะกลายเป็นรากซ้ำซึ่งเครื่องหมายไม่เปลี่ยนและไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ จึงผิด ข้อ −3<a<3 เกิดจากกลับทิศอสมการ

จาก f′=3x²−3a=0 ได้ x=±√a และ x=√a เป็นจุดของค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ จาก f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 ได้ a√a=8 นั่นคือ a^(3/2)=8 จึงได้ a=4 ตรวจคำตอบ เมื่อ a=4 จะได้ f(x)=x³−12x และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ที่ x=2 คือ 8−24=−16 ส่วนถ้า a=2 จะได้ −2×2√2≒−5.7 ซึ่งไม่ตรง

จาก x(x²−3)=0 ได้ x=0, ±√3 รวม 3 ค่า สำหรับสมการกำลังสามที่แยกตัวประกอบได้ ให้ดึงตัวประกอบร่วม x ออกมาก่อน ถ้ามองข้ามคำตอบสองค่าของ x²−3=0 ก็จะตอบผิดเป็น 1 ค่า

f(x)=x³−3x+1 มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ f(−1)=3>0 และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ f(1)=−1<0 เมื่อค่าสุดขีดทั้งสองมีเครื่องหมายต่างกัน กราฟจึงตัดแกน x ที่ 3 จุด และมีคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า แม้แยกตัวประกอบไม่ได้ ก็ดูจำนวนคำตอบจากเครื่องหมายของค่าสุดขีดสัมพัทธ์ได้

แยกตัวประกอบได้ (x+1)(x−2)²=0 จึงมี x=−1, 2 รวม 2 ค่า ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ f(2)=8−12+4=0 กราฟจึงสัมผัสแกน x ที่ x=2 ข้อ 3 ค่า เกิดจากนับรากซ้ำ x=2 เป็นสองค่า

y=x³−3x มีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ 2 ที่ x=−1 และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ −2 ที่ x=1 เส้นแนวนอน y=a จะตัดกราฟที่ 3 จุดเมื่อ −2<a<2 ข้อ −2≦a≦2 ผิดเพราะที่จุดปลายจะเกิดรากซ้ำและเหลือ 2 ค่า ส่วน a=±2 คือกรณีที่มีพอดี 2 ค่า

แยกเป็น a=x³−3x² แล้วพิจารณา g(x)=x³−3x² ซึ่งมีค่าสูงสุดสัมพัทธ์ g(0)=0 และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ g(2)=−4 เงื่อนไขคือ a ต้องอยู่ระหว่างสองค่านี้ จึงได้ −4<a<0 ข้อ 0<a<4 เกิดจากใส่เครื่องหมายผิด และถ้ารวมกรณีเท่ากับก็จะเกิดรากซ้ำและเหลือ 2 ค่า

เนื่องจาก y′=3x²≧0 ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นเสมอ และแม้ที่ x=0 จะมี y′=0 แต่เครื่องหมายไม่เปลี่ยน จึงไม่มีค่าสุดขีดสัมพัทธ์ อีกทั้ง (−x)³=−x³ กราฟจึงสมมาตรเทียบกับจุดกำเนิด นั่นคือเป็นฟังก์ชันคี่ ส่วนที่สมมาตรเทียบกับแกน y คือฟังก์ชันคู่อย่าง y=x²

f(x)=2x³−3x²−12x+k มี f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2) ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ f(−1)=7+k และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์คือ f(2)=−20+k เงื่อนไขของการมีคำตอบ 3 ค่าคือค่าสูงสุดสัมพัทธ์มากกว่า 0 และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์น้อยกว่า 0 นั่นคือ 7+k>0 และ k−20<0 จึงได้ −7<k<20 ข้อ −20<k<7 เกิดจากสลับค่าสูงสุดกับค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และถ้ารวมกรณีเท่ากับก็จะเกิดรากซ้ำและเหลือ 2 ค่า

f(x)=x³−3x+1 มี f(0)=1>0, f(1)=−1<0 และ f(2)=3>0 จึงมีคำตอบที่เป็นบวกอยู่ในช่วง (0, 1) และ (1, 2) ช่วงละหนึ่งค่า รวม 2 ค่า ส่วนอีกหนึ่งค่าเป็นคำตอบที่ติดลบ เพราะ f(−2)=−1<0 และ f(−1)=3>0 ในคำตอบที่เป็นจำนวนจริง 3 ค่า จึงเป็นบวก 2 ค่า

∫2xdx=x² และ ∫3dx=3x จึงได้ x²+3x+C ข้อ x²+3x เกิดจากลืมเขียนค่าคงตัว C ข้อ 2x²+3x+C เกิดจากลืมหาร 2x ด้วย 2 และ x²+3+C เกิดจากไม่ได้ทำปริพันธ์ของค่าคงตัวให้เป็น 3x

เพิ่มเลขชี้กำลังของแต่ละพจน์ขึ้นหนึ่งแล้วหารด้วยเลขชี้กำลังใหม่ ได้ x³−2x²+x+C ข้อที่ขึ้นต้นด้วย 3x³ เกิดจากลืมหาร 3x² ด้วย 3 ข้อที่มี −4x² เกิดจากลืมหาร −4x ด้วย 2 และ 6x−4 เกิดจากไปหาอนุพันธ์แทนที่จะหาปริพันธ์

ใช้ [x²] จาก 1 ถึง 3 ได้ 9−1=8 ข้อ 10 เกิดจากบวกเป็น 9+1 ข้อ 9 เกิดจากลืมแทนขอบล่าง และ 6 เกิดจากเพียงแทน 2×3 ลงในฟังก์ชันที่ถูกอินทิเกรต

ใช้ [x³+x²] จาก 0 ถึง 1 ได้ (1+1)−0=2 ข้อ 5 เกิดจากไม่ได้หาปริพันธ์แล้วแทน x=1 เป็น 3+2 ข้อ 1 เกิดจากคำนวณเฉพาะพจน์ x³ และ 3 เกิดจากถูกสัมประสิทธิ์ของ 3x² ดึงความสนใจไป

ใช้ [x³+x²+x] จาก −1 ถึง 1 ได้ 3−(−1)=4 ส่วนที่เป็นฟังก์ชันคี่คือ 2x จะหักล้างกันหมด หรือคิดเป็น 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 ก็ได้ผลเดียวกัน ข้อ 3 คือค่าที่ขอบบนเพียงอย่างเดียว ข้อ 2 เกิดจากใส่เครื่องหมายผิดแล้วบวกค่าที่ขอบล่างเป็น 3+(−1) และ 6 เกิดจากถือว่าทุกพจน์เป็นฟังก์ชันคู่แล้วคูณสอง

ใช้ [x³/3−x] จาก 1 ถึง 2 ได้ (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3 ข้อ 0 เกิดจากใส่เครื่องหมายของค่าที่ขอบล่างคือ −2/3 ผิดเป็น +2/3 ข้อ 2/3 คือค่าที่ขอบบนเพียงอย่างเดียว และ 6 เกิดจากหาปริพันธ์ของ x² เป็น x³ โดยลืมหารด้วย 3 คือใช้ [x³−x] จาก 1 ถึง 2 แล้วได้ 6−0=6

จุดตัดคือ x=±2 และในช่วงนี้ y≦0 จึงได้ S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] จาก −2 ถึง 2 เท่ากับ (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3 ข้อ −32/3 เกิดจากคำนวณ ∫(x²−4)dx โดยไม่กลับเครื่องหมาย ทั้งที่พื้นที่ต้องเป็นบวก ข้อ 16/3 เกิดจากอินทิเกรตเฉพาะช่วง 0 ถึง 2 และ 64/3 เกิดจากใช้สูตรหนึ่งส่วนหกแล้วหารด้วย 3 แทนที่จะเป็น 6

จุดตัดได้จาก x²=x+2 คือ x=−1, 2 จึงได้ S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2 ข้อ 27/2 เกิดจากหารด้วย 2 แทนที่จะเป็น 6 ข้อ 9 เกิดจากหารด้วย 3 และ 3 คือค่าของ β−α เอง ถ้าคำนวณปริพันธ์จำกัดเขตตรง ๆ ก็ได้ 9/2 เช่นกัน

เนื่องจากปริพันธ์จำกัดเขตเป็นค่าคงตัว ให้ A=∫[0→1]f(t)dt จะได้ f(x)=x²−A แทนกลับได้ A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A นั่นคือ 2A=1/3 จึงได้ A=1/6 และ f(x)=x²−1/6 ข้อ x²−1/3 เกิดจากไม่ได้แก้สมการแล้วปล่อยให้ A=1/3 ข้อ x²+1/6 เป็นความผิดพลาดเรื่องเครื่องหมาย และ x²−1/4 เกิดจากคิด ∫t²dt ผิดเป็น 1/2 จนได้ A=1/4