미분과 적분 (수학Ⅱ: 일본 고교 수학 II)

(xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ 이므로 (x³)′=3x² 이다. x² 은 지수를 앞으로 내리는 것을 잊은 실수, 3x³ 은 차수를 낮추는 것을 잊은 실수, 2x 는 (x²)′ 와의 혼동이다.

항마다 미분하여 6x−4+0=6x−4 이다. 상수항 5 는 사라진다. 6x+4 는 부호 실수, 6x 는 −4x 의 미분을 잊은 실수, 3x−4 는 3x² 의 계수 처리를 틀린 실수이다.

f′(x)=2x−3 에 x=2 를 대입하여 4−3=1 이다. −2 는 f(2) 를 계산한 실수(미분을 하지 않음), 4 는 2x 항만 본 것, 7 은 2x+3 으로 부호를 틀린 실수이다.

f′(a) 는 평균변화율 (f(a+h)−f(a))/h 의 h→0 일 때의 극한값으로, 그래프의 x=a 에서의 접선의 기울기를 나타낸다. 함수의 값 f(a) 나 평균변화율 자체와 혼동하지 않도록 한다.

y′=2x 이므로 기울기는 f′(1)=2 이다. y−1=2(x−1) 을 정리하면 y=2x−1 이다. y=2x+1 은 부호 실수, y=2x 는 절편 계산을 잊은 것, y=x 는 기울기에 미분을 쓰지 않은 실수이다. x=1 에서 y=1 을 지나는 것으로 검산할 수 있다.

y′=3x²−3 에 x=0 을 대입하여 기울기는 −3 이다. y−2=−3(x−0) 에서 y=−3x+2 이다. 3x+2 는 부호 실수, −3x 는 지나는 점의 처리를 잊은 것, y=2 는 기울기를 0 으로 잘못 본 실수이다.

f′(x)=2x+a 이므로 f′(2)=4+a=5, 즉 a=1 이다. a=0 은 f(2)=5 처럼 함숫값의 조건으로 잘못 읽은 실수, a=3 은 f′(1)=5 로 잘못한 실수, a=5 는 4 를 빼는 것을 잊은 실수이다.

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4 이다. 2 는 f′(1), 6 은 f′(3) 처럼 미분계수와 혼동한 실수, 8 은 차 f(3)−f(1) 을 구간의 폭으로 나누지 않은 실수이다.

접점을 (t, t²) 이라 하면 접선은 y=2tx−t² 이다. 점 (1, −3) 을 지날 조건에서 −3=2t−t², 즉 t²−2t−3=0, (t−3)(t+1)=0 이므로 t=3, −1 이다. 기울기는 2t 이므로 6 과 −2 이다. '3 과 −1' 은 접점의 x 좌표를 그대로 답한 실수이고, 2 는 y′(1) 을 계산했을 뿐인 실수이다.

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1) 이다. 증감표에서 x=−1 일 때 극댓값 (−1)³−3×(−1)=2 이다. −2 는 x=1 에서의 극솟값이고, −1 은 극대를 주는 x 좌표로 값과 혼동한 실수이다.

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1) 이다. x=1 에서 극솟값 2−6=−4, x=−1 에서 극댓값 4 이다. 4 는 극댓값과 뒤바꾼 실수, 1 과 −1 은 x 좌표를 답한 실수이다.

y′=3x²−6x=3x(x−2) 이다. y′>0 이 되는 것은 x<0, 2<x 이고 이 범위에서 증가한다. 0<x<2 는 y′<0 인 감소 구간이며 거꾸로 답하는 흔한 실수이다.

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1) 이다. x=−3 에서 극댓값 −27+27+27+1=28, x=1 에서 극솟값 −4 이다. −4 는 극솟값과 뒤바꾼 실수, −3 은 극대를 주는 x 좌표, 1 은 상수항만 본 실수이다.

y′=3x(x−2) 이므로 극소는 x=2 에서이다. 8−12+a=0 에서 a=4 이다. a=−4 는 a−4=0 에서 부호를 틀린 값, a=0 은 극대인 x=0 으로 식을 세운 실수, a=2 는 x 좌표와의 혼동이다.

후보는 끝점과 극값점에서의 값이다. f(0)=0, f(1)=−2(극소), f(3)=27−9=18 이다. 최댓값은 끝점의 18 이다. 2 는 구간 밖 x=−1 에서의 극댓값을 답한 실수, −2 는 최솟값이다. 끝점의 값을 반드시 비교해야 한다.

f′=3x(x−2) 이다. 후보는 f(0)=5, f(2)=8−12+5=1(극소), f(3)=27−27+5=5 이다. 최솟값은 1 이다(x=2). 5 는 최댓값, 2 는 최소를 주는 x 좌표, −4 는 상수항 +5 를 잊은 x³−3x² 의 극솟값이다.

f′=3x²+2ax+3 이 서로 다른 두 실근을 가질 조건이며, 판별식 D/4=a²−9>0 에서 a<−3, 3<a 이다. 등호를 포함하면 중근이 되어 부호가 바뀌지 않으므로 극값을 가지지 않아 틀리다. −3<a<3 은 부등호의 방향을 반대로 한 실수이다.

f′=3x²−3a=0 에서 x=±√a 이고 x=√a 가 극소이다. f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 에서 a√a=8, 즉 a^(3/2)=8 이므로 a=4 이다. 검산: a=4 이면 f(x)=x³−12x 이고 x=2 에서의 극솟값은 8−24=−16 이다. a=2 에서는 −2×2√2≒−5.7 로 맞지 않는다.

x(x²−3)=0 에서 x=0, ±√3 의 3 개이다. 인수분해되는 삼차방정식은 먼저 공통인수 x 를 묶어 낸다. x²−3=0 의 두 해를 놓치면 1 개라고 잘못 답하게 된다.

f(x)=x³−3x+1 의 극댓값은 f(−1)=3>0, 극솟값은 f(1)=−1<0 이다. 극값의 부호가 다르므로 그래프는 x축과 세 점에서 만나고 실근은 3 개이다. 인수분해되지 않아도 극값의 부호로 개수를 알 수 있다.

인수분해하면 (x+1)(x−2)²=0 이므로 x=−1, 2 의 2 개이다. 극솟값 f(2)=8−12+4=0 이므로 그래프는 x=2 에서 x축에 접한다. 3 개는 중근 x=2 를 두 개로 센 실수이다.

y=x³−3x 는 극댓값 2(x=−1), 극솟값 −2(x=1)를 가진다. 수평선 y=a 가 세 점에서 만나는 것은 −2<a<2 일 때이다. −2≦a≦2 는 끝에서 중근이 생겨 2 개가 되므로 틀리고, a=±2 는 딱 2 개인 경우이다.

a=x³−3x² 으로 분리하고, g(x)=x³−3x² 의 극대 g(0)=0 과 극소 g(2)=−4 의 사이에 있으면 되므로 −4<a<0 이다. 0<a<4 는 부호를 틀린 실수이고, 등호를 포함하면 중근이 되어 2 개가 된다.

y′=3x²≧0 이므로 항상 증가하고, x=0 에서 y′=0 이지만 부호가 바뀌지 않아 극값을 가지지 않는다. (−x)³=−x³ 이므로 원점 대칭(기함수)이다. y축 대칭인 것은 y=x² 같은 우함수이다.

f(x)=2x³−3x²−12x+k 의 f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2) 이다. 극대 f(−1)=7+k, 극소 f(2)=−20+k 이다. 3 개일 조건은 (극댓값)>0 이고 (극솟값)<0 이므로 7+k>0 이고 k−20<0 에서 −7<k<20 이다. −20<k<7 은 극대와 극소를 뒤바꾼 실수이고, 등호를 포함하면 중근이 되어 2 개가 된다.

f(x)=x³−3x+1 은 f(0)=1>0, f(1)=−1<0, f(2)=3>0 이므로 구간 (0, 1) 과 (1, 2) 에 하나씩 양의 해를 가져 모두 2 개이다. 남은 1 개는 f(−2)=−1<0, f(−1)=3>0 에서 음의 해이다. 실근 3 개 중 양수는 2 개이다.

∫2xdx=x², ∫3dx=3x 이므로 x²+3x+C 이다. 'x²+3x' 는 적분상수 C 를 쓰지 않은 것, 2x²+3x+C 는 2x 를 2 로 나누지 않은 실수, x²+3+C 는 상수의 적분을 3x 로 하지 않은 실수이다.

각 항의 지수를 하나씩 올리고 나누면 x³−2x²+x+C 이다. 3x³−… 은 3x² 을 3 으로 나누지 않은 실수, x³−4x²+… 은 −4x 를 2 로 나누지 않은 실수, 6x−4 는 적분이 아니라 미분을 해 버린 실수이다.

[x²] 를 1 부터 3 까지 하면 9−1=8 이다. 10 은 9+1 로 더한 실수, 9 는 아래 끝의 대입을 잊은 실수, 6 은 2×3 처럼 피적분함수에 대입만 한 실수이다.

[x³+x²] 를 0 부터 1 까지 하면 (1+1)−0=2 이다. 5 는 적분하지 않고 x=1 을 대입한 3+2, 1 은 x³ 항만 계산한 실수, 3 은 3x² 의 계수에 끌린 실수이다.

[x³+x²+x] 를 −1 부터 1 까지 하면 3−(−1)=4 이다. 기함수 2x 부분은 사라지고 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 로 해도 같다. 3 은 위 끝만의 값, 2 는 아래 끝을 3+(−1) 로 더한 부호 실수, 6 은 모든 항을 우함수로 보아 2 배 한 실수이다.

[x³/3−x] 를 1 부터 2 까지 하면 (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3 이다. 0 은 아래 끝의 값 −2/3 을 +2/3 으로 본 부호 실수의 결과, 2/3 은 위 끝만의 값, 6 은 x² 의 적분을 x³ 으로 하여 3 으로 나누지 않은 실수이다([x³−x] 를 1 부터 2 까지 하면 6−0=6).

교점은 x=±2 이고 이 구간에서는 y≦0 이다. S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] 를 −2 부터 2 까지 하면 (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3 이다. −32/3 은 부호를 붙이지 않고 ∫(x²−4)dx 를 계산한 실수이고(넓이는 양수이다), 16/3 은 0 부터 2 까지만 적분한 실수, 64/3 은 1/6 공식의 6 을 3 으로 나눈 실수이다.

교점은 x²=x+2 에서 x=−1, 2 이다. S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2 이다. 27/2 은 6 이 아니라 2 로 나눈 실수, 9 는 3 으로 나눈 실수, 3 은 β−α 의 값 그 자체이다. 정적분을 직접 계산해도 9/2 가 된다.

정적분은 상수이므로 A=∫[0→1]f(t)dt 로 놓으면 f(x)=x²−A 이다. 이를 대입하면 A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A 이고 2A=1/3 에서 A=1/6 이다. 따라서 f(x)=x²−1/6 이다. x²−1/3 은 방정식을 풀지 않고 A=1/3 그대로 둔 실수, x²+1/6 은 부호 실수, x²−1/4 은 ∫t²dt 를 1/2 로 잘못 보아 A=1/4 로 한 실수이다.