Derivare și integrare (matematică Ⅱ, programa japoneză)

Din (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ rezultă (x³)′=3x². Varianta x² apare când se uită coborârea exponentului în față, 3x³ când se uită micșorarea exponentului cu o unitate, iar 2x provine din confuzia cu (x²)′.

Derivând termen cu termen obținem 6x−4+0=6x−4, iar termenul liber 5 dispare. Varianta 6x+4 provine dintr-o greșeală de semn, 6x din uitarea derivatei lui −4x, iar 3x−4 dintr-o tratare greșită a coeficientului lui 3x².

Înlocuind x=2 în f′(x)=2x−3 obținem 4−3=1. Varianta −2 apare când se calculează f(2), adică atunci când se uită derivarea, 4 când se ia doar termenul 2x, iar 7 dintr-o greșeală de semn, folosind 2x+3.

Derivata f′(a) este limita pentru h→0 a raportului de variație (f(a+h)−f(a))/h și reprezintă panta tangentei la grafic în punctul x=a. Ea nu trebuie confundată nici cu valoarea funcției f(a), nici cu raportul mediu de variație ca atare.

Din y′=2x rezultă panta f′(1)=2. Ordonând y−1=2(x−1) obținem y=2x−1. Varianta y=2x+1 provine dintr-o greșeală de semn, y=2x din uitarea calculului ordonatei la origine, iar y=x din nefolosirea derivatei pentru pantă. Verificarea se face observând că pentru x=1 se obține y=1.

Înlocuind x=0 în y′=3x²−3 obținem panta −3. Din y−2=−3(x−0) rezultă y=−3x+2. Varianta 3x+2 provine dintr-o greșeală de semn, −3x din netratarea punctului prin care trece tangenta, iar y=2 din presupunerea greșită că panta ar fi 0.

Din f′(x)=2x+a rezultă f′(2)=4+a=5, deci a=1. Varianta a=0 apare când condiția este citită greșit ca f(2)=5, adică drept o condiție asupra valorii funcției, a=3 când se folosește greșit f′(1)=5, iar a=5 când se uită scăderea lui 4.

Avem (f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. Varianta 2 este f′(1), iar 6 este f′(3), ambele provenind din confuzia cu derivata; 8 apare când se uită împărțirea diferenței f(3)−f(1) la lungimea intervalului.

Notând punctul de tangență cu (t, t²), tangenta are ecuația y=2tx−t². Condiția de a trece prin (1, −3) dă −3=2t−t², adică t²−2t−3=0, deci (t−3)(t+1)=0 și t=3, −1. Pantele sunt 2t, adică 6 și −2. Varianta 3 și −1 dă chiar abscisele punctelor de tangență, iar 2 se limitează la calculul lui y′(1).

Avem y′=3x²−3=3(x+1)(x−1). Din tabelul de variație, în x=−1 funcția are un maxim local egal cu (−1)³−3×(−1)=2. Varianta −2 este minimul local, atins în x=1, iar −1 este abscisa punctului de maxim, confundată cu valoarea.

Avem y′=6x²−6=6(x+1)(x−1). În x=1 funcția are minimul local 2−6=−4, iar în x=−1 maximul local 4. Varianta 4 provine din confuzia cu maximul local, iar 1 și −1 sunt abscisele punctelor respective.

Avem y′=3x²−6x=3x(x−2). Inegalitatea y′>0 este verificată pentru x<0, 2<x, iar pe aceste intervale funcția crește. Intervalul 0<x<2 este cel pe care y′<0, adică intervalul de descreștere, iar indicarea lui este greșeala clasică de inversare.

Avem y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1). În x=−3 funcția are maximul local −27+27+27+1=28, iar în x=1 minimul local −4. Varianta −4 provine din confuzia cu minimul, −3 este abscisa punctului de maxim, iar 1 este doar termenul liber.

Din y′=3x(x−2) rezultă că minimul local se atinge în x=2. Din 8−12+a=0 obținem a=4. Varianta a=−4 provine dintr-o greșeală de semn în relația a−4=0, a=0 din scrierea ecuației în x=0, unde este maximul, iar a=2 din confuzia cu abscisa.

Candidatele sunt valorile din capete și din punctele de extrem local: f(0)=0, f(1)=−2, un minim local, și f(3)=27−9=18. Valoarea maximă este cea din capătul din dreapta, 18. Varianta 2 este maximul local din x=−1, aflat în afara domeniului, iar −2 este valoarea minimă. Valorile din capete trebuie comparate întotdeauna.

Avem f′=3x(x−2), iar candidatele sunt f(0)=5, f(2)=8−12+5=1, un minim local, și f(3)=27−27+5=5. Valoarea minimă este 1, atinsă în x=2. Varianta 5 este valoarea maximă, 2 este abscisa punctului de minim, iar −4 este minimul local al funcției x³−3x², adică fără termenul +5.

Condiția este ca f′=3x²+2ax+3 să aibă două soluții reale distincte, deci D/4=a²−9>0, de unde a<−3, 3<a. Includerea egalității ar da o soluție dublă, în care semnul nu se schimbă și nu apar extreme locale, deci este greșită. Varianta −3<a<3 provine din inversarea sensului inegalității.

Din f′=3x²−3a=0 rezultă x=±√a, iar minimul local se atinge în x=√a. Din f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 obținem a√a=8, adică a^(3/2)=8 și a=4. Verificare: pentru a=4 avem f(x)=x³−12x, iar minimul local din x=2 este 8−24=−16. Pentru a=2 s-ar obține −2×2√2≒−5.7, ceea ce nu corespunde.

Din x(x²−3)=0 rezultă x=0, ±√3, adică 3 soluții. La o ecuație de gradul al treilea care se poate descompune, primul pas este scoaterea factorului comun x. Dacă cele două soluții ale ecuației x²−3=0 sunt trecute cu vederea, se răspunde greșit 1.

Pentru f(x)=x³−3x+1, maximul local este f(−1)=3>0, iar minimul local f(1)=−1<0. Extremele locale având semne opuse, graficul taie axa x în trei puncte, deci există 3 soluții reale. Chiar și fără descompunere în factori, numărul soluțiilor se citește din semnele valorilor extreme.

Descompunând obținem (x+1)(x−2)²=0, deci x=−1, 2, adică 2 soluții distincte. Minimul local fiind f(2)=8−12+4=0, graficul este tangent axei x în x=2. Răspunsul 3 apare când soluția dublă x=2 este numărată de două ori.

Funcția y=x³−3x are maximul local 2, în x=−1, și minimul local −2, în x=1. Dreapta orizontală y=a taie graficul în trei puncte doar când −2<a<2. Varianta −2≦a≦2 este greșită fiindcă în capete apare o soluție dublă și rămân doar 2 soluții distincte, iar a=±2 este chiar cazul cu exact 2 soluții.

Separând sub forma a=x³−3x², este suficient ca a să se afle între maximul local g(0)=0 și minimul local g(2)=−4 ale funcției g(x)=x³−3x², deci −4<a<0. Varianta 0<a<4 provine dintr-o greșeală de semn, iar includerea egalităților dă soluții duble, deci doar 2 soluții distincte.

Cum y′=3x²≧0, funcția este mereu crescătoare; în x=0 avem y′=0, dar semnul nu se schimbă, deci nu există extreme locale. Din (−x)³=−x³ rezultă simetria față de origine, adică funcția este impară. Simetria față de axa y apare la funcțiile pare, precum y=x².

Pentru f(x)=2x³−3x²−12x+k avem f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2), maximul local f(−1)=7+k și minimul local f(2)=−20+k. Condiția pentru 3 soluții este ca maximul local să fie pozitiv și minimul local negativ: 7+k>0 și k−20<0, deci −7<k<20. Varianta −20<k<7 provine din confundarea maximului cu minimul, iar includerea egalităților dă soluții duble, adică doar 2 soluții.

Pentru f(x)=x³−3x+1 avem f(0)=1>0, f(1)=−1<0 și f(2)=3>0, deci există câte o soluție pozitivă în intervalele (0, 1) și (1, 2), adică 2 în total. Soluția rămasă este negativă, fiindcă f(−2)=−1<0 și f(−1)=3>0. Dintre cele 3 soluții reale, 2 sunt pozitive.

Cum ∫2xdx=x² și ∫3dx=3x, rezultatul este x²+3x+C. Varianta x²+3x corespunde uitării constantei de integrare C, 2x²+3x+C uitării împărțirii lui 2x la 2, iar x²+3+C netransformării integralei constantei în 3x.

Mărind cu 1 exponentul fiecărui termen și împărțind la noul exponent obținem x³−2x²+x+C. Varianta 3x³−… apare când se uită împărțirea lui 3x² la 3, x³−4x²+… când se uită împărțirea lui −4x la 2, iar 6x−4 corespunde derivării în loc de integrare.

Primitiva [x²] evaluată de la 1 la 3 dă 9−1=8. Varianta 10 provine din adunarea 9+1, 9 din uitarea evaluării în capătul inferior, iar 6 din simpla înlocuire x=3 în funcția de sub integrală, calculând 2×3.

Primitiva [x³+x²] evaluată de la 0 la 1 dă (1+1)−0=2. Varianta 5 apare când nu se integrează și se înlocuiește direct x=1, calculând 3+2, 1 când se calculează doar termenul x³, iar 3 din influența coeficientului lui 3x².

Primitiva [x³+x²+x] evaluată de la −1 la 1 dă 3−(−1)=4. Partea impară, 2x, se anulează, iar același rezultat se obține din 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4. Varianta 3 este doar valoarea din capătul superior, 2 provine dintr-o greșeală de semn, adunând 3+(−1), iar 6 din tratarea tuturor termenilor ca pari și dublarea integralei.

Primitiva [x³/3−x] evaluată de la 1 la 2 dă (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3. Varianta 0 provine din greșeala de semn prin care valoarea −2/3 din capătul inferior este luată ca +2/3, 2/3 este doar valoarea din capătul superior, iar 6 apare când integrala lui x² este luată ca x³, fără împărțirea la 3, adică [x³−x] de la 1 la 2, care dă 6−0=6.

Punctele de intersecție sunt x=±2, iar pe acest interval y≦0. Avem S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] de la −2 la 2, adică (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3. Varianta −32/3 apare când se calculează ∫(x²−4)dx fără schimbarea semnului, deși o arie este pozitivă, 16/3 când se integrează doar de la 0 la 2, iar 64/3 când în formula cu 6 de la numitor se împarte la 3.

Punctele de intersecție se află din x²=x+2, deci x=−1, 2. Avem S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2. Varianta 27/2 apare când se împarte la 2 în loc de 6, 9 când se împarte la 3, iar 3 este chiar valoarea diferenței β−α. Calculând direct integrala definită se obține tot 9/2.

Integrala definită este o constantă, deci notăm A=∫[0→1]f(t)dt și scriem f(x)=x²−A. Înlocuind obținem A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A, deci 2A=1/3 și A=1/6, de unde f(x)=x²−1/6. Varianta x²−1/3 apare când ecuația nu este rezolvată și A rămâne 1/3, x²+1/6 provine dintr-o greșeală de semn, iar x²−1/4 din calculul greșit ∫t²dt=1/2, care duce la A=1/4.