Turunan dan Integral

Dari (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ diperoleh (x³)′=3x². Bentuk x² adalah kesalahan karena pangkatnya lupa diturunkan ke depan sebagai koefisien, 3x³ karena derajatnya lupa diturunkan, dan 2x karena tertukar dengan (x²)′.

Turunkan tiap suku sehingga 6x−4+0=6x−4; suku konstan 5 hilang. Bentuk 6x+4 adalah kesalahan tanda, 6x karena turunan −4x terlupakan, dan 3x−4 karena koefisien pada 3x² salah diproses.

Substitusikan x=2 ke f′(x)=2x−3 sehingga 4−3=1. Nilai −2 muncul karena yang dihitung f(2) (lupa menurunkan), 4 karena hanya suku 2x, dan 7 karena tandanya keliru menjadi 2x+3.

f′(a) adalah nilai limit dari laju perubahan rata-rata (f(a+h)−f(a))/h saat h→0, dan menyatakan gradien garis singgung grafik di x=a. Jangan tertukar dengan nilai fungsi f(a) ataupun dengan laju perubahan rata-rata itu sendiri.

Dari y′=2x diperoleh gradiennya f′(1)=2. Rapikan y−1=2(x−1) menjadi y=2x−1. Bentuk y=2x+1 adalah kesalahan tanda, y=2x karena perhitungan perpotongan sumbunya terlewat, dan y=x karena gradiennya tidak dicari lewat turunan. Pemeriksaannya, garis itu melalui y=1 saat x=1.

Substitusikan x=0 ke y′=3x²−3 sehingga gradiennya −3. Dari y−2=−3(x−0) diperoleh y=−3x+2. Bentuk 3x+2 adalah kesalahan tanda, −3x karena titik yang dilaluinya tidak diperhitungkan, dan y=2 karena gradiennya keliru dianggap 0.

Dari f′(x)=2x+a diperoleh f′(2)=4+a=5 sehingga a=1. Jawaban a=0 muncul karena syaratnya salah dibaca sebagai nilai fungsi f(2)=5, a=3 karena keliru memakai f′(1)=5, dan a=5 karena lupa mengurangkan 4.

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4. Nilai 2 adalah f′(1) dan 6 adalah f′(3), yaitu tertukar dengan nilai turunan, sedangkan 8 muncul karena selisih f(3)−f(1) lupa dibagi lebar selangnya.

Dengan titik singgung (t, t²), garis singgungnya y=2tx−t². Syarat melalui titik (1, −3) memberi −3=2t−t², yaitu t²−2t−3=0 dan (t−3)(t+1)=0 sehingga t=3, −1. Karena gradiennya 2t, nilainya 6 dan −2. Jawaban 3 dan −1 adalah kesalahan karena absis titik singgungnya langsung dijawab, sedangkan 2 hanyalah hasil perhitungan y′(1).

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1). Dari tabel naik-turunnya, di x=−1 terdapat nilai maksimum lokal (−1)³−3×(−1)=2. Nilai −2 adalah nilai minimum lokal di x=1, sedangkan −1 adalah absis tempat maksimum lokal itu yang tertukar dengan nilainya.

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1). Di x=1 terdapat nilai minimum lokal 2−6=−4, dan di x=−1 terdapat nilai maksimum lokal 4. Jawaban 4 tertukar dengan nilai maksimum lokal, sedangkan 1 dan −1 adalah absisnya.

y′=3x²−6x=3x(x−2). Nilai y′>0 terjadi pada x<0 dan 2<x, dan pada rentang itulah fungsinya naik. Rentang 0<x<2 justru selang turun tempat y′<0, dan menjawabnya adalah kesalahan klasik karena terbalik.

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1). Di x=−3 terdapat nilai maksimum lokal −27+27+27+1=28, dan di x=1 terdapat nilai minimum lokal −4. Jawaban −4 tertukar dengan nilai minimum lokal, −3 adalah absis tempat maksimum lokalnya, dan 1 muncul karena hanya suku konstannya yang dilihat.

Dari y′=3x(x−2), minimum lokalnya di x=2. Dari 8−12+a=0 diperoleh a=4. Jawaban a=−4 berasal dari kesalahan tanda pada a−4=0, a=0 karena persamaannya disusun di x=0 yang merupakan maksimum lokal, dan a=2 karena tertukar dengan absisnya.

Calonnya adalah nilai di titik ujung dan di titik ekstrem: f(0)=0, f(1)=−2 (minimum lokal), dan f(3)=27−9=18. Nilai maksimumnya 18 di titik ujung. Jawaban 2 adalah nilai maksimum lokal di x=−1 yang berada di luar selang, sedangkan −2 adalah nilai minimumnya. Selalu bandingkan juga nilai di titik ujungnya.

f′=3x(x−2). Calonnya f(0)=5, f(2)=8−12+5=1 (minimum lokal), dan f(3)=27−27+5=5. Nilai minimumnya 1 (di x=2). Jawaban 5 adalah nilai maksimumnya, 2 adalah absis tempat minimumnya, dan −4 adalah nilai minimum lokal x³−3x² tanpa suku konstan +5.

Syaratnya f′=3x²+2ax+3 memiliki dua akar real yang berbeda, sehingga dari diskriminan D/4=a²−9>0 diperoleh a<−3, 3<a. Menyertakan tanda sama dengan keliru karena pada akar kembar tandanya tidak berubah sehingga tidak ada nilai ekstrem. Bentuk −3<a<3 adalah kesalahan karena arah tandanya terbalik.

Dari f′=3x²−3a=0 diperoleh x=±√a, dan x=√a adalah titik minimum lokalnya. Dari f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 didapat a√a=8, yaitu a^(3/2)=8 sehingga a=4. Pemeriksaan: untuk a=4 berlaku f(x)=x³−12x dan nilai minimum lokalnya di x=2 adalah 8−24=−16. Untuk a=2 hasilnya −2×2√2≒−5.7 yang tidak cocok.

Dari x(x²−3)=0 diperoleh x=0, ±√3, yaitu 3 akar. Pada persamaan pangkat tiga yang dapat difaktorkan, keluarkan lebih dulu faktor bersama x. Bila dua akar dari x²−3=0 terlewat, jawabannya keliru menjadi 1.

Untuk f(x)=x³−3x+1, nilai maksimum lokalnya f(−1)=3>0 dan nilai minimum lokalnya f(1)=−1<0. Karena kedua nilai ekstremnya berlawanan tanda, grafiknya memotong sumbu x di 3 titik sehingga akar realnya 3. Meskipun tidak dapat difaktorkan, banyaknya akar tetap dapat diketahui dari tanda nilai ekstremnya.

Setelah difaktorkan diperoleh (x+1)(x−2)²=0 sehingga akarnya x=−1, 2, yaitu 2 akar. Karena nilai minimum lokalnya f(2)=8−12+4=0, grafiknya menyinggung sumbu x di x=2. Jawaban 3 adalah kesalahan karena akar kembar x=2 dihitung dua kali.

Fungsi y=x³−3x memiliki nilai maksimum lokal 2 (di x=−1) dan nilai minimum lokal −2 (di x=1). Garis mendatar y=a memotongnya di 3 titik bila −2<a<2. Bentuk −2≦a≦2 keliru karena di ujungnya muncul akar kembar sehingga akarnya tinggal 2, sedangkan a=±2 justru kasus yang tepat memberi 2 akar.

Pisahkan menjadi a=x³−3x². Cukup bila a berada di antara nilai maksimum lokal g(0)=0 dan nilai minimum lokal g(2)=−4 dari g(x)=x³−3x², yaitu −4<a<0. Bentuk 0<a<4 adalah kesalahan tanda, dan bila tanda sama dengan disertakan muncul akar kembar sehingga akarnya tinggal 2.

Karena y′=3x²≧0 fungsinya selalu naik, dan meskipun y′=0 di x=0, tandanya tidak berubah sehingga tidak ada nilai ekstrem. Karena (−x)³=−x³, grafiknya simetris terhadap titik asal (fungsi ganjil). Yang simetris terhadap sumbu y adalah fungsi genap seperti y=x².

Untuk f(x)=2x³−3x²−12x+k berlaku f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2). Nilai maksimum lokalnya f(−1)=7+k dan nilai minimum lokalnya f(2)=−20+k. Syarat 3 akar adalah nilai maksimum lokal >0 sekaligus nilai minimum lokal <0, yaitu 7+k>0 dan k−20<0 sehingga −7<k<20. Bentuk −20<k<7 adalah kesalahan karena maksimum dan minimum lokalnya tertukar, dan bila tanda sama dengan disertakan muncul akar kembar sehingga tinggal 2.

Untuk f(x)=x³−3x+1 berlaku f(0)=1>0, f(1)=−1<0, dan f(2)=3>0, sehingga terdapat satu akar positif pada selang (0, 1) dan satu lagi pada (1, 2), seluruhnya 2 akar. Sisanya satu akar negatif, terlihat dari f(−2)=−1<0 dan f(−1)=3>0. Jadi dari 3 akar real, yang positif ada 2.

Karena ∫2xdx=x² dan ∫3dx=3x, hasilnya x²+3x+C. Bentuk x²+3x keliru karena konstanta integrasi C lupa ditulis, 2x²+3x+C karena 2x lupa dibagi 2, dan x²+3+C karena integral dari konstanta tidak dijadikan 3x.

Naikkan pangkat tiap suku satu tingkat lalu bagi dengan pangkat barunya sehingga diperoleh x³−2x²+x+C. Bentuk 3x³−… keliru karena 3x² lupa dibagi 3, x³−4x²+… karena −4x lupa dibagi 2, dan 6x−4 karena yang dilakukan justru penurunan, bukan pengintegralan.

Nilai [x²] dari 1 sampai 3 adalah 9−1=8. Jawaban 10 muncul karena dijumlahkan 9+1, 9 karena substitusi batas bawahnya terlewat, dan 6 karena hanya disubstitusikan ke fungsi yang diintegralkan sebagai 2×3.

Nilai [x³+x²] dari 0 sampai 1 adalah (1+1)−0=2. Jawaban 5 muncul karena tidak diintegralkan melainkan langsung disubstitusi x=1 sebagai 3+2, 1 karena hanya suku x³ yang dihitung, dan 3 karena terbawa koefisien pada 3x².

Nilai [x³+x²+x] dari −1 sampai 1 adalah 3−(−1)=4. Bagian fungsi ganjil 2x saling meniadakan, sehingga 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 memberi hasil yang sama. Jawaban 3 hanyalah nilai di batas atas, 2 berasal dari kesalahan tanda karena batas bawahnya dijumlahkan sebagai 3+(−1), dan 6 karena semua suku dianggap fungsi genap lalu dikalikan dua.

Nilai [x³/3−x] dari 1 sampai 2 adalah (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3. Jawaban 0 muncul karena nilai batas bawah −2/3 keliru bertanda +2/3, 2/3 hanyalah nilai di batas atas, dan 6 karena integral x² ditulis x³ tanpa dibagi 3 (yaitu [x³−x] dari 1 sampai 2 memberi 6−0=6).

Titik potongnya x=±2, dan pada selang itu y≦0. S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] dari −2 sampai 2 = (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3. Jawaban −32/3 muncul karena ∫(x²−4)dx dihitung tanpa membalik tandanya (luas selalu positif), 16/3 karena hanya diintegralkan dari 0 sampai 2, dan 64/3 karena pembagi 6 pada rumus 1/6 keliru menjadi 3.

Titik potongnya dari x²=x+2, yaitu x=−1, 2. S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2. Jawaban 27/2 muncul karena dibagi 2 dan bukan 6, 9 karena dibagi 3, dan 3 hanyalah nilai β−α. Menghitung integral tentunya secara langsung pun memberi 9/2.

Karena integral tentu itu sebuah konstanta, misalkan A=∫[0→1]f(t)dt sehingga f(x)=x²−A. Substitusikan kembali: A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A, jadi 2A=1/3 dan A=1/6. Dengan demikian f(x)=x²−1/6. Bentuk x²−1/3 muncul karena persamaannya tidak diselesaikan sehingga A=1/3 dibiarkan begitu saja, x²+1/6 adalah kesalahan tanda, dan x²−1/4 karena ∫t²dt keliru dihitung 1/2 sehingga A=1/4.