微分与积分

由 (xⁿ)′=nxⁿ⁻¹ 得 (x³)′=3x²。x² 是忘了把指数拿到前面的错误，3x³ 是忘了降次的错误，2x 是与 (x²)′ 混淆。

逐项求导得 6x−4+0=6x−4。常数项 5 会消失。6x + 4 是符号错误，6x 是忘了对 −4x 求导的错误，3x − 4 是 3x² 的系数处理出错。

把 x=2 代入 f′(x)=2x−3 得 4−3=1。−2 是算成 f(2) 的错误（忘了求导），4 是只算了 2x 那一项，7 是写成 2x+3 的符号错误。

f′(a) 是平均变化率 (f(a+h)−f(a))/h 当 h→0 时的极限值，表示图象在 x=a 处的切线斜率。不要与函数值 f(a) 或平均变化率本身混淆。

由 y′=2x 得斜率 f′(1)=2。把 y−1=2(x−1) 整理得 y=2x−1。y = 2x + 1 是符号错误，y = 2x 是忘了算截距，y = x 是没有用求导去求斜率的错误。可以用它经过 x=1 时 y=1 来验算。

把 x=0 代入 y′=3x²−3 得斜率 −3。由 y−2=−3(x−0) 得 y=−3x+2。3x + 2 是符号错误，−3x 是忘了处理所经过的点（截距），y = 2 是把斜率误当成 0 的错误。

由 f′(x)=2x+a 得 f′(2)=4+a=5，所以 a=1。a = 0 是把条件误读成函数值 f(2)=5 的错误，a = 3 是误算成 f′(1)=5 的错误，a = 5 是忘了减去 4 的错误。

(f(3)−f(1))/(3−1)=(9−1)/2=4。2 是 f′(1)，6 是 f′(3)，都是与某点处的导数混淆，8 是忘了用区间的宽度去除差 f(3)−f(1) 的错误。

设切点为 (t, t²)，则切线为 y=2tx−t²。由它经过点 (1, −3) 得 −3=2t−t²，即 t²−2t−3=0，(t−3)(t+1)=0，所以 t=3, −1。斜率是 2t，所以是 6 与 −2。3 与 −1 是直接答切点横坐标的错误，2 是只算了 y′(1) 的错误。

y′=3x²−3=3(x+1)(x−1)。由增减表知在 x=−1 处取极大值 (−1)³−3×(−1)=2。−2 是 x=1 处的极小值，−1 是取到极大值的横坐标，与值混淆了。

y′=6x²−6=6(x+1)(x−1)。在 x=1 处取极小值 2−6=−4，在 x=−1 处取极大值 4。4 是与极大值弄反的错误，1 与 −1 是答成横坐标的错误。

y′=3x²−6x=3x(x−2)。使 y′>0 的是 x<0, 2<x，函数在这些范围内递增。0 < x < 2 是 y′<0 的递减区间，答反了是常见错误。

y′=3x²+6x−9=3(x+3)(x−1)。在 x=−3 处取极大值 −27+27+27+1=28，在 x=1 处取极小值 −4。−4 是与极小值弄反的错误，−3 是取到极大值的横坐标，1 是只看了常数项的错误。

由 y′=3x(x−2) 知极小值在 x=2 处取到。由 8−12+a=0 得 a=4。a = −4 是把 a−4=0 的符号弄错的结果，a = 0 是在取极大值的 x=0 处列式的错误，a = 2 是与横坐标混淆。

候选是端点与极值点处的值：f(0)=0、f(1)=−2（极小）、f(3)=27−9=18。最大值是端点处的 18。2 是区间外 x=−1 处的极大值，−2 是最小值。一定要把端点的值也拿来比较。

f′=3x(x−2)。候选是 f(0)=5、f(2)=8−12+5=1（极小）、f(3)=27−27+5=5。最小值是 1（在 x=2 处）。5 是最大值，2 是取到最小值的横坐标，−4 是漏掉常数项 +5 的 x³−3x² 的极小值。

条件是 f′=3x²+2ax+3 有两个不同的实数解，由判别式 D/4=a²−9>0 得 a<−3, 3<a。若含等号则为重根，f′ 的符号不改变，也就没有极值，所以不对。−3 < a < 3 是把不等号方向弄反的错误。

由 f′=3x²−3a=0 得 x=±√a，其中 x=√a 处取极小值。由 f(√a)=a√a−3a√a=−2a√a=−16 得 a√a=8，即 a^(3/2)=8，所以 a=4。验算：a=4 时 f(x)=x³−12x，x=2 处的极小值是 8−24=−16。a=2 时为 −2×2√2≒−5.7，不符合。

由 x(x²−3)=0 得 x=0, ±√3，共 3 个。对可以因式分解的三次方程，先把公因式 x 提出来。漏看 x²−3=0 的两个解就会答成 1 个。

f(x)=x³−3x+1 的极大值是 f(−1)=3>0，极小值是 f(1)=−1<0。极值异号，所以图象与 x 轴交于 3 点，实数解有 3 个。即使不能因式分解，也能由极值的符号判断个数。

因式分解得 (x+1)(x−2)²=0，所以 x=−1, 2，共 2 个。极小值 f(2)=8−12+4=0，图象在 x=2 处与 x 轴相切。答 3 个是把重根 x=2 数成了两个。

y=x³−3x 的极大值是 2（x=−1）、极小值是 −2（x=1）。水平线 y=a 与它交于 3 点的条件是 −2<a<2。−2 ≦ a ≦ 2 在端点处会出现重根、变成 2 个解，所以不对；a = ±2 正是只有 2 个解的情形。

分离成 a=x³−3x²，只要 a 落在 g(x)=x³−3x² 的极大值 g(0)=0 与极小值 g(2)=−4 之间即可，所以 −4<a<0。0 < a < 4 是符号弄错的结果；若含等号则出现重根，只有 2 个解。

因为 y′=3x²≧0，所以始终递增；虽然 x=0 时 y′=0，但符号不改变，所以没有极值。又因为 (−x)³=−x³，所以关于原点对称（奇函数）。关于 y 轴对称的是 y=x² 这样的偶函数。

对 f(x)=2x³−3x²−12x+k，f′=6x²−6x−12=6(x+1)(x−2)。极大值 f(−1)=7+k，极小值 f(2)=−20+k。有 3 个解的条件是（极大值）>0 且（极小值）<0，由 7+k>0 与 k−20<0 得 −7<k<20。−20 < k < 7 是把极大与极小弄反的错误；若含等号则出现重根，只有 2 个解。

对 f(x)=x³−3x+1，有 f(0)=1>0、f(1)=−1<0、f(2)=3>0，所以在区间 (0, 1) 与 (1, 2) 内各有一个正解，共 2 个。剩下的 1 个由 f(−2)=−1<0、f(−1)=3>0 可知是负解。3 个实数解中正解有 2 个。

∫2xdx=x²、∫3dx=3x，所以是 x²+3x+C。x² + 3x 是漏写积分常数 C，2x² + 3x + C 是忘了把 2x 除以 2 的错误，x² + 3 + C 是没有把常数的积分写成 3x 的错误。

把各项的指数升高 1 再除以新指数，得 x³−2x²+x+C。3x³−… 是忘了把 3x² 除以 3 的错误，x³−4x²+… 是忘了把 −4x 除以 2 的错误，6x − 4 是做成了求导而不是积分的错误。

[x²] 从 1 到 3 得 9−1=8。10 是算成 9+1 的错误，9 是忘了代入下限的错误，6 是只把 x=3 代入被积函数、算成 2×3 的错误。

[x³+x²] 从 0 到 1 得 (1+1)−0=2。5 是没有积分、直接代入 x=1 算成 3+2 的错误，1 是只算了 x³ 那一项的错误，3 是受 3x² 的系数影响而写出的错误答案。

[x³+x²+x] 从 −1 到 1 得 3−(−1)=4。奇函数 2x 的部分会抵消，用 2∫[0→1](3x²+1)dx=2×2=4 也一样。3 是只算了上限处的值，2 是把下限算成 3+(−1) 的符号错误，6 是把所有项都当成偶函数、乘 2 倍的错误。

[x³/3−x] 从 1 到 2 得 (8/3−2)−(1/3−1)=2/3−(−2/3)=4/3。0 是把下限处的值 −2/3 误写成 +2/3 的结果，2/3 是只算了上限处的值，6 是把 x² 的积分写成 x³、忘了除以 3 的错误（[x³−x] 从 1 到 2 得 6−0=6）。

交点是 x=±2，在这一区间内 y≦0。S=∫[−2→2](4−x²)dx=[4x−x³/3] 从 −2 到 2 得 (8−8/3)−(−8+8/3)=32/3。−32/3 是没有调整符号、直接算 ∫(x²−4)dx 的错误（面积为正），16/3 是只在 0 到 2 上积分的错误，64/3 是把 1/6 公式里的 6 误用成 3 去除的错误。

由 x²=x+2 得交点 x=−1, 2。S=∫[−1→2]{(x+2)−x²}dx=(2−(−1))³/6=27/6=9/2。27/2 是除以 2 而不是 6 的错误，9 是除以 3 的错误，3 则是 β−α 本身的值。直接算定积分同样得到 9/2。

定积分是一个常数，令 A=∫[0→1]f(t)dt，则 f(x)=x²−A。代回去得 A=∫[0→1](t²−A)dt=1/3−A，由 2A=1/3 得 A=1/6。所以 f(x)=x²−1/6。x²−1/3 是没有解方程、直接取 A=1/3 的错误，x²+1/6 是符号错误，x²−1/4 是把 ∫t²dt 误算成 1/2、从而得到 A=1/4 的错误。